结构力学第10章-结构动力计算基础

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1、第十章 结构动力计算基础,主要内容,10-1 概述,10-2 单自由度体系无阻尼自由振动,10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动,10-4 单自由度体系有阻尼自由振动,10-7 多自由度体系在简谐荷载作用下的受迫振动,10-5 单自由度体系有阻尼受迫振动,10-6 多自由度体系的自由振动,10-1 概述,1）结构动力计算的特点和内容,动力荷载：指大小、方向和作用位置等随时间变化，并且使结构产生不可忽视的惯性力的荷载。区分静力荷载和动力荷载，主要看其对结构产生的影响。 动力特性：指结构自由振动时，结构的自振频率、振型和阻尼参数等指标。研究结构的动力计算方法，需要分析结构的自由振动和动力荷载作用下的

2、受迫振动两种情况，前者计算结构的动力特性，后者进一步计算结构的动力响应。,10-1 概述,2）动力荷载的分类,周期荷载：随时间呈周期变化的荷载。 冲击荷载：短时间内作用在结构上的一种幅值较大的荷载。(3)突加荷载：在瞬间突然施加在结构上且保持一段较长时间的荷载。 (4)随机荷载：在任一时刻其数值是随机量，其变化规律不能用确定的函数关系进行表示。 前三种荷载都属于确定性荷载，本章只涉及确定性荷载的作用。,10-1 概述,3）结构的振动自由度,概念：结构振动时，确定某一时刻全部质量的位置所需要的独立几何参数的数目，称为结构的振动自由度。 集中质量法：这种方法是将连续分布的质量集中到结构的若干点上，

3、即结构动力计算简图为有限质点体系。,(a) 一个质量点 (b) 若干质量点,10-1 概述,3）结构的振动自由度,通常对于杆系结构，质点惯性力矩对结构动力响应的影响很小，因此可忽略不计，即质点的角位移不作为基本未知量。对于受弯杆件通常还忽略轴向变形的影响，即假定变形后杆上任意两点之间距离保持不变。,(a) 自由度示意 (b) 附加链杆,10-1 概述,3）结构的振动自由度,确定结构的振动自由度可采用附加链杆的方法：加入最少的链杆使结构上全部质点均不能运动，则结构振动的自由度为所加链杆的数目。,(a)二质点三自由度结构 (b)三质点二自由度结构,10-1 概述,3）结构的振动自由度,由以上几个例

4、子可以看出： 结构振动自由度的数目不一定等于体系集中质量的数目； 结构振动自由度的数目与体系是静定或超静定无关； 结构振动自由度的数目与计算精度有关。,10-2 单自由度体系无阻尼自由振动,1）运动微分方程的建立,利用动静法建立运动微分方程有两种方法：刚度法和柔度法。,(a) 简支梁振动 (b) 力系平衡条件 (c) 变形协调条件,10-2 单自由度体系无阻尼自由振动,1）运动微分方程的建立,刚度法： 设质点m在振动中任一时刻的位移为y(t)。取质点m为隔离体(图b)，其受力情况为：弹性恢复力 ，其中k11为结构刚度系数，FS与质点位移y(t)的方向相反；惯性力 ，它与质点加速度 的方向相反。

5、若将质点位移的计算始点取在质点静力平衡位置上，则质点重量的影响不必考虑。 对于无阻尼自由振动，质点在惯性力FI和弹性恢复力FS作用下处于动力平衡状态，则有 ,即 ，此式可改写为 此式为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，这种由力系平衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。,10-2 单自由度体系无阻尼自由振动,1）运动微分方程的建立,(2)柔度法： 将惯性力FI作为静力荷载加于体系的质点上(图c)，则惯性力FI引起的位移等于质点的位移y(t)，即运动方程为 ,此式可改写为 这种由变形协调条件建立运动微分方程的方法称为柔度法。对单自由度体系，有 ，令 ，得到统一的运动方程为 其通解为 ，式中的

6、c1和c2为积分常数，由初始条件确定。,10-2 单自由度体系无阻尼自由振动,1）运动微分方程的建立,若当t=0时， ， ，则有 上式可改写为如下形式 其中 ， 无阻尼的自由振动是以静平衡位置为中心的简谐振动。式中A表示体系振动时质点m的最大动位移，称为振幅。 称为初始相位角， 称为相位角。,10-2 单自由度体系无阻尼自由振动,2）运动分析,简谐振动是周期运动，质点m的位移是周期性的，其周期为 ，T称为结构的自振周期，自振周期的倒数f称为工程频率 ，体系自由振动的圆频率或角频率为 结构自振频率 的计算公式为 式中，W表示重力， 是由重力产生的静力位移。相应地，结构的自振周期T的计算公式为：,

7、10-2 单自由度体系无阻尼自由振动,【例1】简支梁承受静荷载F=12kN，梁EI为常数。设在t=0 时刻把这个静荷载突然撤除，不计梁的阻力，试求系统的自振频率和质点m的位移。 解：自振频率是系统的固有特性，与荷载无关。可先求出柔度系数 ，再求固有频率 。由结构的 图, ，则 当静荷载撤除后，梁的运动为单自由度体系的无阻尼自由振动。初始时刻质点速度为零，即 ， 可由图乘法计算得到， ，则质点m的位移,10-2 单自由度体系无阻尼自由振动,【例2】门式刚架。两个立柱的截面抗弯刚度分别为E1I1和E2I2，横梁的截面抗弯刚度EI= ，横梁的总质量为m，立柱的质量不计。求刚架作水平振动时的频率。 解

8、：当横梁产生单位位移时，由位移法知，左右两柱的杆端剪力分别为 ， 。因而，使刚架产生单位水平位移所施加的力 为： 刚架水平振动时的自振频率为：,10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动,1）运动微分方程的建立,体系在动力荷载作用下所产生的振动称为受迫振动。,(a)单自由度体系无阻尼振动模型 (b)受力分析图,10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动,1）运动微分方程的建立,在荷载F(t)作用下，其位移为y(t)。用刚度法建立其运动微分方程，对质量块m进行受力分析，在荷载F(t)、弹性恢复力 和惯性力 的共同作用下，质量块保持平衡。即： 整理得 改写为 此式即为单自由度体系无阻尼受迫振动的微分方程。式中

9、 , 下面分别讨论几种常见动力荷载作用下结构的动力性能。,10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动,2）简谐荷载,设荷载的表达式为 ，则微分方程 ，其通解为 。 设齐次方程的通解为 ，设特解 ，将特解代入微分方程可得待定系数 ，则方程通解为： 其中c1,c2为积分常数，由初始条件而定。 前两项是按固有频率自由振动，在阻尼作用下，其为衰减函数，将会在一段时间内逐渐消失。第三项是按动荷载的频率振动，称为纯受迫振动或稳态受迫振动。一般把振动刚开始阶段几种振动同时存在的阶段称为过渡阶段，而把后面只存在纯受迫振动的阶段称为平稳阶段。通常过渡阶段比较短，因此在实际问题中分析平稳阶段的动力特性更为重要。,10-

10、3 单自由度体系无阻尼受迫振动,2）简谐荷载,第三项是纯受迫振动的质点位移，其最大动位移(即振幅)为 由于 ，代入上式，有 式中 ，表示将动荷载的幅值F作为静荷载作用于结构时所引起的位移。令 则,10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动,2）简谐荷载,称为动力系数，它表示质点的最大动位移与静位移的比值。可先求出简谐荷载的幅值作为静荷载所产生的静位移 ，然后再乘以动力系数，即可得到在动荷载作用下的最大动位移A，这一方法称为动力系数法。 对于单自由度体系，若荷载作用在质点上，并且其作用线与质点的位移一致时，结构的动内力与动位移成正比，因此动内力和动位移有相同的动力系数，最大动内力按与最大动位移相同方法

11、进行计算。例如，结构的最大动弯矩 其中， 为荷载幅值作为静荷载时所产生的弯矩。,10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动,2）简谐荷载,动力系数的变化规律，令 ，称为频率比，则 以为横坐标，的绝对值为纵坐标，绘出动力系数随频率比变化的图形,无阻尼情况下动力系数随频率比变化图,10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动,2）简谐荷载,讨论： 当 时， 。此时动荷载的频率比结构固有频率小得多，动荷载随时间变化缓慢，其引起的动位移幅值与静位移 趋于一致，故可将动荷载作为静荷载处理； 当 时， 。这说明当简谐荷载的频率与结构自振频率接近时，振幅将趋于无穷，较小的荷载即可产生很大的位移和内力，这种情况称为共振。在

12、工程结构设计时，常常需要避免发生共振现象； 当 时，动力系数 ，且随值的增大而增大； 当 时，为负值，说明振动过程中动位移与动荷载反向，并且 随增大而逐渐减小趋于零，说明当荷载频率远大于结构固有频率时，动位移幅值反而比静位移 要小。,10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动,【例3】简支梁跨中安装一台电动机。已知电动机重Q=35kN，转速为n=400r/min。转动时由于偏心产生的离心力F=10kN，离心力的竖向分量为Fsint 。梁的截面抗弯刚度EI=1.848 104kN.m2。忽略梁的自重，求梁的最大弯矩和最大挠度。 解：最大弯矩和最大挠度发生在梁的中点，它们是在电机重力Q和动荷载Fsint

13、共同作用下引起的。梁在电机重力作用下跨中的弯矩和挠度为：,10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动,将荷载幅值F作用在结构上，其跨中弯矩和位移为 结构的自振频率为 动荷载的频率为 动力系数为 梁跨中截面动弯矩幅值和动位移幅值为 梁截面的最大弯矩和最大位移为：,10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动,【例4】试求所示结构在简谐荷载作用下的质点动位移幅值，并画出动弯矩幅值图。已知： 。 解：质点位移是由惯性力和动荷载共同引起的，用柔度法建立位移幅值方程 整理得,10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动,由 图和 图，利用图乘法求得 体系的自振频率为 位移的动力系数为 则质点动位移幅值为 质点惯性力幅值为 将

14、惯性力幅值FI和荷载幅值F共同作用在结构上，即可作出动弯矩幅值图，如图d所示。,10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动,3）一般动力荷载,在一般动力荷载作用下，特解可用如下方法推导。 若t=0时，作用在质点的荷载大小为F，作用时间为t ，则瞬时冲量为Q=Ft。 设静止的单自由度体系在t=0时刻受冲量Q的作用，根据动量定理 ，则 ，因此在荷载F作用的终了时刻，质点将获得初始速度 ，而由于作用时间很短，质点的初位移 ，因此瞬时冲量作用过后，质点将产生自由振动。则质点m的位移方程为,10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动,3）一般动力荷载,若瞬时冲量在 时作用在质点上，则质点位移在 时为零，在 时有 其中，瞬时冲量 ，上式即为在 时瞬时冲量Q引起的无阻尼单自由度系统的动力响应