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1、第二节 Euler方法,5.2.1.Euler方法,设节点为xk=x0+kh (h=(b-a)/n k=0,1,n),方法一 泰勒展开法 （将y(xk+1)在xk泰勒展开得）,则可得：,方法二 数值微分法（用向前差商近似导数）,方法三 数值积分法,依上述公式逐次计算可得：,也称Euler为单步法，,又称为显格式的单步法。,2 欧拉法的几何意义：,也称欧拉折线法.,从上述几何意义上得知，由Euler法所得的折线明显偏离了积分曲线，可见此方法非常粗糙。,3.欧拉法的局部截断误差：,定义,在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1
2、 称为局部截断误差,定义,若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度。,欧拉法的局部截断误差：,欧拉法具有 1 阶精度。,5.2.2 后退的 欧拉公式（隐式欧拉公式）,由于未知数 yn+1 同时出现在等式的两边，故称为隐式 欧拉公式，而前者称为显式 欧拉公式。隐式公式不能直接求解，一般需要用Euler显式公式得到初值，然后用Euler隐式公式迭代求解。因此隐式公式较显式公式计算复杂，但稳定性好。,几何意义：,见上图， 显然，这种近似也有一定误差， 如何估计这种误差y(xn+1) yn+1 ？ 方法同上，基于Taylor展开估计局部截断误差。 但是注意，隐式公式中右边含有f(
3、xn+1 , yn +1 ) , 由于yn +1不准确，所以不能直接用 y (xn+1)代替f(xn+1 , yn +1 ),设已知曲线上一点 Pn (xn , yn ),过该点作弦线，斜率为(xn+1 , yn +1 ) 点的方向场f(x,y)方向,若步长h充分小，可用弦线和垂线x=xn+1的交点近似曲线与垂线的交点。,几何意义,隐式欧拉法的局部截断误差：,1 Eulers Method,隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。,1 Eulers Method,比较欧拉显式公式和隐式公式及其局部截断误差,显式公式,隐式公式,若将这两种方法进行算术平均， 即可消除误差 的主
4、要部分而获得更高的精度, 称为梯形法,5.2.3 梯形公式,在用数值积分的方法推导欧拉公式时，右端的积分用梯形积分公式可得：,梯形法的迭代计算和收敛性,注：的确有局部截断误差 ， 即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。,5.2.4 改进的欧拉格式,欧拉方法容易计算，但精度较低；梯形公式精度高，但是隐式形式，不易求解；若将二者结合，可得到改进的欧拉格式。,上述方法也可以表示为下述两种形式：,5.2.5 欧拉两步公式,假设 ，则可以导出 即中点公式也具有 2 阶精度，且是显式的。,需要2个初值 y0和 y1来启动
5、递推过程，这样的算法称为双步法,预测-校正系统 中点法具有二阶精度，且是显式的，与梯形公式精度相匹配，用中点公式作预测，梯形公式作校正，得到如下预测校正系统：,校正误差约为预测误差的1/4,预测误差和校正误差的事后误差估计式,利用上两式可以估计预测值和校正值与准确值的误差，可以期望，利用这两个误差分别作预测值和校正值的补偿，有可能提高精度。 设pn,cn分别为第n步的预测值和校正值，即,此时cn+1未知，故用pn -cn代替,预测-校正-改进公式,注：利用该算法计算yn+1时，需要,例：试分别用欧拉格式和改进的欧拉格式求解下列初值问题：,解：欧拉格式的具体算式为：,改进的欧拉格式为：,改进的欧拉格式的具体算式为：,结果列表如下：,1.1,1.095 909 091,1.191 818 182,1.184 096 569,1.277 437 834,1.266 201 361,
