《2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4学案：第一讲 三 2. 直线的极坐标方程 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4学案：第一讲 三 2. 直线的极坐标方程 （8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2直线的极坐标方程 对应学生用书P8 1直线的极坐标方程 (1)若直线经过点 M(0，0)，且极轴到此直线的角为 ，则直线 l 的极坐标 方程为 sin()0sin(0) (2)当直线 l 过极点，即 00 时，l 的方程为 . (3)当直线 l 过点 M(a,0)且垂直于极轴时，l 的方程为 cos_a. (4)当直线 l 过点 M(b， )且平行于极轴时，l 的方程为：sin_b. 2 2图形的对称性 (1)若 ()()，则相应图形关于极轴对称 (2)若 ()()，则图形关于射线 所在直线对称 2 (3)若 ()()，则图形关于极点对称 对应学生用书P8 求直线的极坐标方程 例 1 求从极
2、点出发，倾斜角是 的射线的极坐标方程 4 思路点拨 将射线用集合表示出来，进而用坐标表示 解 设 M(，)为射线上任意一点(如图)，则射线就是集合 PError!Error! 将已知条件用坐标表示，得 (0) 4 这就是所求的射线的极坐标方程方程中不含 ，说明射线上点的极坐标 中的 ，无论取任何正值， 的对应值都是 . 4 求直线的极坐标方程，首先应明确过点 M(0，0)，且极轴到此直线的角为 的直线极坐标方程的求法另外，还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三 种特殊情况的直线的极坐标方程 1求过 A且垂直于极轴的直线的方程 (2， 4) 解：如图所示，在直线 l 上任意取点 M(，)，A， (
3、2， 4) |OH|2sin . 42 在 RtOMH 中， |OH|OM|cos ， cos ，即 cos ， 22 过 A且垂直于极轴的直线方程为 cos . (2， 4)2 2设点 A 的极坐标为，直线 l 过点 A 且与极轴所成的角为 ，求直线 (2， 6) 3 l 的极坐标方程 解：设 P(，)为直线上任意一点(如图) 则 ， 3 6 6 ， ( 3) 2 3 在OPA 中，有， sin 6 2 sin 2 3 即 sin1. ( 3) 直线的极坐标方程的应用 例 2 在极坐标系中，直线 l 的方程是 sin1，求点 P到 ( 6) (2， 6) 直线 l 的距离 思路点拨 将极坐标
4、问题转化为直角坐标问题 解 点 P的直角坐标为(，1) (2， 6)3 直线 l：sin1 可化为 ( 6) sin cos cos sin 1， 6 6 即直线 l 的直角坐标方程为 xy20. 3 点 P(，1)到直线 xy20 的距离为 33 d1. | 3 32| 1 323 故点 P到直线 sin1 的距离为1. (2， 6) ( 6)3 对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角 坐标方程，在直角坐标系下研究 3(广东高考)在极坐标系中，曲线 C1和 C2的方程分别为 sin2cos 和 sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平
5、面直 角坐标系，则曲线 C1和 C2的交点的直角坐标为_ 解析：由 sin2cos 2sin2cos y2x，又由 sin 1y1，联 立Error!Error!Error!Error!故曲线 C1和 C2交点的直角坐标为(1,1) 答案：(1,1) 4已知直线的极坐标方程为 sin( )，则点 A到这条直线的 4 2 2 (2， 7 4) 距离是_ 解析：点 A的直角坐标为(，) (2， 7 4)22 直线 sin， ( 4) 2 2 即 sin cos cos sin 的直角坐标方程为 4 4 2 2 xy，即 xy1. 2 2 2 2 2 2 点 A(，)到直线 xy10 的距离为 22
6、 d， | 2 21| 11 2 2 故点 A(2，)到直线 sin的距离为. 7 4 ( 4) 2 2 2 2 答案： 2 2 对应学生用书P9 一、选择题 1在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) Acos Bsin Ccos 1 Dsin 1 解析：设 P(，)是直线上任意一点，则显然有 cos 1，即为此直线的 极坐标方程 答案：C 27cos 2sin 0 表示( ) A直线 B圆 C椭圆 D双曲线 解析：两边同乘以 得：7cos 2sin 0. 即 7x2y0，表示直线 答案：A 3极坐标方程 cos (0)表示的曲线是( ) 2 2 A余弦曲线 B两条相交直
7、线 C一条射线 D两条射线 解析：cos ， 2 2 2k(kZ) 4 又0， cos 表示两条射线 2 2 答案：D 4过点 A(5,0)和直线 垂直的直线的极坐标方程是( ) 4 Asin Bcos ( 4) 5 2 2 ( 4) 5 2 2 Csin5 Dsin ( 4) ( 4) 5 2 2 解析：因为直线 即直线 yx， 4 所以过点 A(5,0)和直线 垂直的直线方程为 4 yx5，其极坐标方程为 sin. ( 4) 5 2 2 答案：A 二、填空题 5把极坐标方程 cos( )1 化为直角坐标方程是 6 _ 解析：将极坐标方程变为cos sin 1，化为直角坐标方程为 3 2 1
8、 2 x y1，即xy20. 3 2 1 23 答案：xy20 3 6若直线 sin( )与直线 3xky1 垂直，则常数 k_. 4 2 2 解析：直线极坐标方程化为sin cos ，即为 xy10，由 2 2 2 2 2 2 题意知 1，k3. 3 k 答案：3 7在极坐标系中，曲线 C1：(cos sin )1 与曲线 C2：a(a0)的 2 一个交点在极轴上，则 a_. 解析：曲线 C1的直角坐标方程为xy1，曲线 C2的直角坐标方程为 2 x2y2a2，C1与 x 轴的交点坐标为(，0)，此点也在曲线 C2上，代入解得 2 2 a. 2 2 答案： 2 2 三、解答题 8求过(2,3
9、)点且斜率为 2 的直线的极坐标方程 解：由题意知，直线的直角坐标方程为 y32(x2)， 即：2xy70. 设 M(，)为直线上任意一点， 将 xcos ，ysin 代入直角坐标方程 2xy70 得：2cos sin 70， 这就是所求的极坐标方程 9在极坐标系中，已知圆 O：cos sin 和直线 l： sin.(0,02) ( 4) 2 2 (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当 (0，)时，求直线 l 与圆 O 的公共点的极坐标 解：(1)圆 O：cos sin ，即 2cos sin ， 则圆 O 的直角坐标方程为：x2y2xy0， 直线 l：sin，即 sin co
10、s 1， ( 4) 2 2 则直线 l 的直角坐标方程为：xy10. (2)由(1)知圆 O 与直线 l 的直角坐标方程， 将两方程联立得Error!Error!解得Error!Error! 即圆 O 与直线 l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)， 将(0,1)转化为极坐标为，即为所求 (1， 2) 10已知双曲线的极坐标方程为 ，过极点作直线与它交于 3 12cos A、B 两点，且|AB|6. 求直线 AB 的极坐标方程 解：设直线 AB 的极坐标方程为 1. A(1，1)，B(2，1)， 1，2. 3 12cos 1 3 12cos1 3 12cos 1 |AB|12| ， | 3 12cos 1 3 12cos 1| | 6 14cos21| 1，cos 10 或 cos 1 1 14cos21 2 2 故直线 AB 的极坐标方程为 ， 或 . 2 4 3 4
