《2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1学案创新应用：第一讲 四 直角三角形的射影定理 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1学案创新应用：第一讲 四 直角三角形的射影定理 （19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、四直角三角形的射影定理 对应学生用书 P14 1射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上 的正射影 (2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段 (3)射影：点和线段的正射影简称为射影 2射影定理 (1)文字语言： 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在 斜边上射影与斜边的比例中项 (2)图形语言：如图，在 RtABC 中，CD 为斜边 AB 上的高， 则有 CD2ADBD， AC2ADAB， BC2BDAB. 对应学生用书 P14 射影定理的有关计算 例 1 如图，在 RtABC 中，C
2、D 为斜边 AB 上的高，若 AD2 cm，DB6 cm，求 CD，AC，BC 的长 思路点拨 在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理 解 CD2ADDB2612， CD2(cm) 123 AC2ADAB2(26)16， AC4(cm) 16 BC2BDAB6(26)48， BC4(cm) 483 故 CD、AC、BC 的长分别为 2 cm,4 cm,4 cm. 33 (1)在 RtABC 中，共有 AC、BC、CD、AD、BD 和 AB 六条线段，已知其中任意两条， 便可求出其余四条 (2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条 1.如图，在 RtABC
3、中，C90，CD 是 AB 上的高已知 BD4，AB29，试求出图中其他未知线段的长 解：由射影定理，得 BC2BDAB， BC2. BDAB4 2929 又ADABBD29425. 且 AC2AB2BC2， AC5. AB2BC22924 2929 CD2ADBD， CD10. ADBD25 4 2已知：CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高，如果两直角边 AC，BC 的长度比为 ACBC34. 求：(1)ADBD 的值； (2)若 AB25 cm，求 CD 的长 解：(1)AC2ADAB， BC2BDAB， . ADAB BDAB AC2 BC2 ()2( )2. AD BD AC
4、 BC 3 4 9 16 (2)AB25 cm，ADBD916， AD259(cm)， 9 916 BD2516(cm) 16 916 CD12(cm). ADBD9 16 与射影定理有关的证明问题 例 2 如图所示，CD 垂直平分 AB，点 E 在 CD 上， DFAC，DGBE，F、G 分别为垂足 求证：AFACBGBE. 思路点拨 先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明 所要的结论 证明 CD 垂直平分AB， ACD 和BDE 均为直角三角形，且 ADBD. 又DFAC，DGBE， AFACAD2， BGBEDB2. AD2DB2， AFACBGBE. 将
5、原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个 比例式的目的在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图 形进行求解或证明 3如图所示，设 CD 是 RtABC 的斜边 AB 上的高 求证：CACDBCAD. 证明：由射影定理知： CD2ADBD， CA2ADAB， BC2BDAB. CACDAD， AD2BDABBDAB BCADAD. ABBD 即 CACDBCAD. 4RtABC 中有正方形 DEFG，点 D、G 分别在 AB、AC 上， E、F 在斜边 BC 上 求证：EF2BEFC. 证明：过点 A 作 AHBC 于 H. 则 DEAHG
6、F. ，. DE AH BE BH GF AH FC CH . DEGF AH2 BEFC BHCH 又AH2BHCH， DEGFBEFC. 而 DEGFEF， EF2BEFC. 对应学生用书 P15 一、选择题 1已知 RtABC 中，斜边 AB5 cm，BC2 cm，D 为 AC 上一点，DEAB 交 AB 于 E，且 AD3.2 cm，则 DE( ) A1.24 cm B1.26 cm C1.28 cm D1.3 cm 解析：如图，AA， RtADERtABC， ， AD AB DE BC DE1.28. ADBC AB 3.2 2 5 答案：C 2已知直角三角形中两直角边的比为 12，
7、则它们在斜边上的射影比为( ) A12 B21 C14 D41 解析：设直角三角形两直角边长分别为 1 和 2，则斜边长为，两直角边在斜边上 5 的射影分别为和. 1 5 4 5 答案：C 3一个直角三角形的一条直角边为 3 cm，斜边上的高为 2.4 cm，则这个直角三角形 的面积为( ) A7.2 cm2 B6 cm2 C12 cm2 D24 cm2 解析：长为 3 cm 的直角边在斜边上的射影为1.8(cm)，由射影定理知斜边 322.42 长为5(cm)， 32 1.8 三角形面积为 52.46(cm2) 1 2 答案：B 4如图所示，在ABC 中，ACB90，CDAB，D 为垂足，若
8、 CD6 cm，ADDB12，则 AD 的值是( ) A6 cm B3 cm 2 C18 cm D3 cm 6 解析：ADDB12， 可设 ADt，DB2t. 又CD2ADDB，36t2t， 2t236，t3(cm)，即 AD3 cm. 22 答案：B 二、填空题 5若等腰直角三角形的一条直角边长为 1，则该三角形在直线 l 上的射影的最大值为 _ 解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长 答案： 2 6如图所示，四边形 ABCD 是矩形，BEF90，这 四个三角形能相似的是_ 解析：因为四边形 ABCD 为矩形， 所以AD90. 因为BEF90，所以1290. 因为2390，所以13.
9、所以ABEDEF. 答案： 7在ABC 中，A90，ADBC 于点 D，AD6，BD12，则 CD_，AC_，AB2AC2_. 解析：如图，AB2AD2BD2， 又 AD6，BD12， AB6. 5 由射影定理可得，AB2BDBC， BC15. AB2 BD CDBCBD15123. 由射影定理可得，AC2CDBC， AC3. 3 155 4. AB2 AC2 BDBC CDBC BD CD 12 3 答案：3 3 41 5 三、解答题 8如图：在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，DE 是 RtBCD 斜边 BC 上的高， 若 BE6，CE2. 求 AD 的长是多少 解：因为在 R
10、tBCD 中，DEBC，所以由射影定理可得：CD2CEBC， 所以 CD216， 因为 BD2BEBC， 所以 BD4. 6 83 因为在 RtABC 中，ACB90， CDAB， 所以由射影定理可得： CD2ADBD， 所以 AD. CD2 BD 16 4 3 4 3 3 9如图，在ABC 中，CDAB 于 D，且 CD2ADBD，求证： ACB90. 证明：CDAB， CDABDC90. 又CD2ADBD， 即 ADCDCDBD， ACDCBD.CADBCD. 又ACDCAD90， ACBACDBCD ACDCAD90. 10已知直角三角形周长为 48 cm，一锐角平分线分对边为 35 两
11、部分 (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长 解：(1)如图，设 CD3x，BD5x， 则 BC8x， 过 D 作 DEAB， 由题意可得， DE3x，BE4x， AEAC12x48. 又 AEAC， AC246x，AB242x. (246x)2(8x)2(242x)2， 解得：x10(舍去)，x22. AB20，AC12，BC16， 三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm. (2)作 CFAB 于 F 点， AC2AFAB. AF(cm)； AC2 AB 122 20 36 5 同理：BF(cm) BC2 AB 162 20 64 5 两直角边在斜边上的射
12、影长分别为 cm， cm. 36 5 64 5 对应学生用书 P16 近两年高考中，由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同但都主要考查相 似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；一般试题难度不大，解题 中要注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果在使用平行线分线段 成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系 1.如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB4，CD2，E，F 分 别为 AD，BC 上的点，且 EF3，EFAB，则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为_ 解析：由 CD2，AB4，EF3， 得 EF (CDAB
13、)， 1 2 EF 是梯形 ABCD 的中位线， 则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 有相同的高，设为 h， 于是两梯形的面积比为 (34)h (23)h75. 1 2 1 2 答案：75 2.如图，圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D，点 D 在半径 OC 上的射影为 E.若 AB3AD，则的值为_ CE EO 解析：连接 AC，BC，则ACB90. 设 AD2，则 AB6， 于是 BD4，OD1. 如图，由射影定理得 CD2ADBD8，则 CD2. 2 在 RtOCD 中，DE. ODCD OC 1 2 2 3 2 2 3 则 CE ， DC2DE2 88 9 8 3 EOOC
14、CE3 . 8 3 1 3 因此 8. CE EO 8 3 1 3 答案：8 对应学生用书 P16 平行线分线段相关定理 平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理，其实质是揭示一组平行线在与其相 交的直线上截得的线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线 段的长度，也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中，平行线等分线段定 理是线段的比为 1 的特例 例 1 如图，在ABC 中，DEBC，DHGC. 求证：EGBH. 证明 DEBC， . AE AC AD AB DHGC，. AH AC AD AG AEABACADAHAG. .EGBH. AE AH AG AB 例 2 如图，直线 l 分别交ABC 的边 BC，CA，AB 于点 D，E，F，且 AF AB，BD BC，试求. 1 3 5 2 EC AE 解 作 CNAB 交 DF 于点 N，并作 EGAB 交 BC 于点 G，由 平行截割定理，知，
