《2018版高中数学人教B版选修1-1学案：第二单元 2.2.1 双曲线及其标准方程 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版选修1-1学案：第二单元 2.2.1 双曲线及其标准方程 （11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、22.1双曲线及其标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题知识点一双曲线的定义观察图形，思考下列问题思考1图中动点M的几何性质是什么？思考2若|MF1|MF2|F1F2|，则动点M的轨迹是什么？梳理把平面内到两个定点F1，F2的距离的_等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做_，_叫做双曲线的焦距知识点二双曲线的标准方程思考1双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？思考2如图，类比椭圆中a，b，c的意义，对于双曲线，你能在y轴上找一点B，使|
2、OB|b吗？梳理焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c，c2a2b2类型一求双曲线的标准方程例1求下列双曲线的标准方程(1)与椭圆1有公共焦点，且过点(2，)；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)过点P(3，)，Q(，5)，且焦点在坐标轴上反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0，b0)，点A，B均在双曲
3、线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|m，F1为双曲线的左焦点，则ABF1的周长为_引申探究本例(2)中若F1PF290，其他条件不变，求F1PF2的面积(2)已知双曲线1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，则F1PF2的面积为_反思与感悟求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积(2)方法二：利用公式SPF1F2|F1F
4、2|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，特别是与|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|间的关系跟踪训练2已知双曲线的方程是1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点)命题角度2与双曲线有关的轨迹问题例3已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_反思与感悟定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值(2)当差的绝对值为常数时要注
5、意常数与两定点间距离的大小问题(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上跟踪训练3在ABC中，已知A(2，0)，B(2，0)，且三内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，求顶点C的轨迹方程1到两定点F1(3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是()A椭圆 B线段C双曲线 D两条射线2设F1，F2分别是双曲线x21的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于()A4 B8C24 D483椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a的值是()A. B1或2C1或 D14若kR，方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则
6、k的取值范围是()A3k2 Bk3Ck2 Dk25求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a3，c4，焦点在x轴上；(2)焦点为(0，6)，(0,6)，经过点A(5,6)；(3)以椭圆1长轴的顶点为焦点，且过(3，)1双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2ab不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2.3用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解答案精析问题导学知识点一思考1|MF1|MF2|常数(常数|F
7、1F|或|F2F|)且常数0，b0)，则有解得故所求双曲线的方程为1.方法二由椭圆方程1知焦点在y轴上，设所求双曲线方程为1(1625)因为双曲线过点(2，)，所以1，解得20或7(舍去)，故所求双曲线的方程为1.(2)双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0，b0)，c，b2c2a26a2.由题意知1，1，解得a25或a230(舍)b21.双曲线的标准方程为y21.(2)设双曲线方程为mx2ny21(mn0)点P(4，2)和点Q(2，2)在双曲
8、线上，解得双曲线的方程为1.(3)椭圆1的焦点坐标为F1(0，3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为1.由题意，知解得故双曲线的方程为1.例2(1)4a2m(2)16解析(1)由双曲线的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a.又|AF2|BF2|AB|，所以ABF1的周长为|AF1|BF1|AB|4a2|AB|4a2m.(2)由1，得a3，b4，c5.由双曲线定义和余弦定理，得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，SF1PF2|PF1|P
9、F2|sinF1PF26416.引申探究解由双曲线方程知a3，b4，c5，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a6，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36.在RtF1PF2中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100.将代入得|PF1|PF2|32，所以SF1PF2|PF1|PF2|16.跟踪训练2解设双曲线的另一个焦点为F2，连接PF2，ON是三角形PF1F2的中位线，所以|ON|PF2|，因为|PF1|PF2|8，|PF1|10，所以|PF2|2或18，|ON|PF2|1或9.例3x21(x1)解析如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根
10、据两圆外切的条件 |MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|, 因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|2，这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2且26|C1C2|.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a1，c3，则b28，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x21 (x1)跟踪训练3解由正弦定理，得sin A，sin B，sin C(R为ABC的外接圆半径)因为2sin Asin C2sin B，所以2ac2b，即ba，从而有|CA|CB|AB|2)当堂训练1D2.C3.D4.A5解(1)由题设知，a3，c4，由c2a2b2，得b2c2a242327.因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为1.(2)由已知得c6，且焦点在y轴上，因为点A(5,6)在双曲线上，所以2a|135|8，则a4，b2c2a2624220.所以所求双曲线的标准方程为1.(3)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c2.设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则有a2b2c28.因为过(3，)点，所以1，解得a23，b25.故所求双曲线的标准方程为1.
