《2018版高中数学人教B版选修1-1学案：第三单元 3.1.3 导数的几何意义 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版选修1-1学案：第三单元 3.1.3 导数的几何意义 （8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、31.3 导数的几何意义导数的几何意义 学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数 的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切 线，并会求其方程 知识点 导数的几何意义 如图，Pn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3,4，)，P 的坐标为(x0，y0)，直线 PT 为过点 P 的切 线 思考 1 割线 PPn的斜率 kn是多少？ 思考 2 当点 Pn无限趋近于点 P 时，割线 PPn的斜率 kn与切线 PT 的斜率 k 有什么关系？ 梳理 (1)切线的定义：当 Pn趋近于点 P 时，割线 PPn趋近于
2、极限位置，这个极限位置的直 线 PT 称为曲线在_的切线 (2)导数 f(x0)的几何意义：函数 f(x)在 xx0处的导数就是切线的斜率 k，即 k_. (3)切线方程：曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为_ 类型一 求切线方程 命题角度 1 曲线在某点处的切线方程 例 1 已知曲线 C：y x3 ，求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程 1 3 4 3 反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤 跟踪训练 1 曲线 yx21 在点 P(2,5)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是_ 命题角度 2 曲线过某点的切线方程 例 2 求抛物线 y x2过点(4， )的切线方程 1
3、 4 7 4 反思与感悟 过点(x1，y1)的曲线 yf(x)的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x0，y0) (2)建立方程 f(x0). y1y0 x1x0 (3)解方程得 kf(x0)，x0，y0，从而写出切线方程 跟踪训练 2 求过点(1,0)与曲线 yx2x1 相切的直线方程 类型二 求切点坐标 例 3 已知曲线 y1x21 在 xx0处的切线与曲线 y21x3在 xx0处的切线互相平行，求 x0的值 引申探究 1若将本例条件中的“平行”改为“垂直” ，求 x0的值 2若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程 反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0)
4、(2)求导函数 f(x) (3)求切线的斜率 f(x0) (4)由斜率间的关系列出关于 x0的方程，解方程求 x0. (5)点(x0，y0)在曲线 f(x)上，将 x0代入求 y0，得切点坐标 跟踪训练 3 已知直线 l：y4xa 与曲线 C：yx32x23 相切，求 a 的值及切点坐标 类型三 导数几何意义的应用 例 4 已知函数 f(x)在区间0,3上的图象如图所示，记 k1f(1)，k2f(2)，k3kAB，则 k1，k2，k3之间的大小关系为_(请用“”连接) 反思与感悟 导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提 供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解
5、相关问题，此处常与函数、方程、不等式 等知识相结合 跟踪训练 4 (1)若函数 yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数 yf(x)在区间a，b 上的图象可能是( ) (2)已知曲线 f(x)2x2a 在点 P 处的切线方程为 8xy150，则实数 a 的值为_ 1已知曲线 yf(x)2x2上一点 A(2,8)，则曲线在点 A 处的切线斜率为( ) A4 B16 C8 D2 2若曲线 yx2axb 在点(0，b)处的切线方程是 xy10，则( ) Aa1，b1 Ba1，b1 Ca1，b1 Da1，b1 3曲线 y 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( ) 9 x A45 B60 C13
6、5 D120 4如图，函数 f(x)的图象是折线段 ABC，其中 A，B，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 函数 f(x)在 x1 处的导数 f(1)_. 5已知曲线 yf(x)2x24x 在点 P 处的切线斜率为 16，则点 P 的坐标为_ 1导数 f(x0)的几何意义是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率，即 k lim x0 f(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度 fx0xfx0 x 2 “函数 f(x)在点 x0处的导数”是一个常数，不是变量， “导函数”是一个函数，二者有本质 的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数 yf(x)在 x
7、x0处的一个函数值 3利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以 该点为切点的切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则应先设出切点 (x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点 答案精析答案精析 问题导学 知识点 思考 1 割线 PPn的斜率为 kn. fxnfx0 xnx0 思考 2 kn无限趋近于切线 PT 的斜率 k. 梳理 (1)点 P 处 (2)li f(x0) (3)yf(x0)f(x0)(xx0) m x0 fx0xfx0 x 题型探究 例 1 解 将 x2 代入曲线 C 的方程得 y4， 切点坐标为 P(2,4)
8、y|x2 lim x0 y x lim x0 1 32x3 4 3 1 3 234 3 x 42x (x)24， lim x0 1 3 ky|x24. 曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y44(x2)，即 4xy40. 跟踪训练 1 3 例 2 解 设切线在抛物线上的切点坐标为(x0， x )， 1 4 2 0 y|xx0 lim x0 1 4x0x2 1 4x2 0 x ( x0 x) x0， lim x0 1 2 1 4 1 2 x0， 1 4x2 0 7 4 x04 1 2 即 x 8x070，解得 x07 或 x01. 2 0 切线过抛物线 y x2上的点(7，)，(1， )， 1
9、 4 49 4 1 4 故切线方程为 y (x7)或 y (x1)， 49 4 7 2 1 4 1 2 化简得 14x4y490 或 2x4y10， 即为所求的切线方程 跟踪训练 2 解 设切点坐标为(x0，x x01)， 2 0 则切线斜率为 k lim x0 x0x2x0x1x2 0x01 x 2x01. 又 k， x2 0x010 x01 x2 0x01 x01 2x01， x2 0x01 x01 解得 x00 或 x02. 当 x00 时，切线的斜率为 k1，过(1，0)的切线方程为 y0x1，即 xy10； 当 x02 时，切线的斜率为 k3，过(1,0)的切线方程为 y03(x1)
10、，即 3xy30. 故所求切线方程为 xy10 或 3xy30. 例 3 解 y1|xx0 lim x0 y x 2x0， lim x0 x0x21x2 01 x y2|xx0 lim x0 y x 3x . lim x0 1x0x31x3 0 x2 0 由题意得 2x03x ， 2 0 解得 x00 或 . 2 3 引申探究 1解 y1|xx02x0， y2|xx03x . 2 0 又曲线 y1x21 与 y21x3在 xx0处的切线互相垂直， 2x0(3x )1， 2 0 解得 x0. 3 36 6 2解 由例 3 知，x00 或 . 2 3 当 x00 时，两条平行切线方程分别为 y1，
11、y1. 当 x0 时，曲线 yx21 的切线方程为 12x9y130. 2 3 曲线 y1x3的切线方程为 36x27y110. 所求两平行切线方程为 y1 与 y1 或 12x9y130 与 36x27y110. 跟踪训练 3 解 设直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0，y0) f(x)|xx0 lim x0 fx0xfx0 x lim x0 x0x32x0x23x3 02x2 03 x 3x 4x0， 2 0 又由题意可知 k4，3x 4x04， 2 0 解得 x0 或 x02， 2 3 切点坐标为( ，)或(2,3) 2 3 49 27 当切点坐标为( ，)时，有4( )a，解得 a. 2 3 49 27 49 27 2 3 121 27 当切点坐标为(2,3)时，有 342a，解得 a5. 当 a时，切点坐标为( ，)； 121 27 2 3 49 27 当 a5 时，切点坐标为(2,3) 例 4 k1k3k2 解析 由导数的几何意义，可得 k1k2. k3表示割线 AB 的斜率， f2f1 21 k1k3k2. 跟踪训练 4 (1)A (2)7 当堂训练 1C 2.A 3.C 4.2 5.(3,30)
