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1、摘要 在通信系统中，要提高信息传输的有效性，我们将信源的输出经过信源编码用较少的符号来表达信源消息，这些符号的冗余度很小，效率很高，但对噪声干扰的抵抗能力很弱。汉明码（Hamming Code）是一种能够自动检测并纠正一位错码的线性纠错码，即SEC（Single Error Correcting）码，用于信道编码与译码中，提高通信系统抗干扰的能力。为了提高信息传输的准确性，我们引进了差错控制技术。而该技术采用可靠的，有效的信道编码方法来实现的。 纠错码是一种差错控制技术，目前已广泛应用于各种通信系统和计算机系统中，纠错编码主要用于数字系统的差错控制，对于保证通信、存储、媒体播放和信息转移等数字
2、传递过程的质量有着重要意义，是通信、信息类科知识结构中不可缺少的一部分。关键字：通信系统、MATLAB 线性分组码、Hamming码 一、引言1二、设计原理22.1 汉明码的构造原理22.2 监督矩阵H32.3 生成矩阵G42.4 校正子（伴随式）S5三、（7，4）汉明码编码的设计73.1 （7，4）汉明码编码方法73.2 编码流程图73.3 （7，4）汉明码编码程序设计7四、（7，4）汉明码的译码器的设计84.1 （7，4）汉明码译码方法84.2 译码流程图104.3（7，4）汉明码译码程序的设计10五、（7，4）汉明码编译码程序的编译及仿真波形11六、总结13七、参考文献14附录15 一、
3、引言当计算机存储或移动数据时，可能会产生数据位错误，这时可以利用汉明码来检测并纠错，简单的说，汉明码是一个错误校验码码集，由Bell实验室的R.W.Hamming发明，因此定名为汉明码。与其他的错误校验码类似，汉明码也利用了奇偶校验位的概念，通过在数据位后面增加一些比特，可以验证数据的有效性。利用一个以上的校验位，汉明码不仅可以验证数据是否有效，还能在数据出错的情况下指明错误位置。 在接受端通过纠错译码自动纠正传输中的差错来实现码纠错功能，称为前向纠错FEC。在数据链路中存在大量噪音时，FEC可以增加数据吞吐量。通过在传输码列中加入冗余位(也称纠错位)可以实现前向纠错。但这种方法比简单重传协议
4、的成本要高。汉明码利用奇偶块机制降低了前向纠错的成本。二、设计原理 2.1 汉明码的构造原理线性分组码是一类重要的纠错码，应用很广泛。在（n，k）分组码中，若监督码元是按线性关系模2相加而得到的，则称其为线性分组码。一般来说，若汉明码长为n，信息位数为k，则监督位数r=n-k.若希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示一位错码的n种可能位置，则要求 或 =346035614562aaaaaaaaaaaa现在以(7,4)分组码为例来说明线性分组码的特点。设其码字为A=，前4位是信息元，后3位是监督元，可用下列线性方程组来描述该分组码产生监督元： 显然，这3个方程是线性无关的。代入上述公式可得(
5、7,4)码的全部码组，如表1所示。表1 （7，4）汉明码的全部码组信息位a6 a5 a4 a3监督位a2 a1 a0信息位a6 a5 a4 a3监督位a2 a1 a00000000100011100010111001100001010110100100011110101100101001101100001010110111010100110011111010001110001111111由上表可知：（7，4）汉明码的最小码距=3，它能纠1位错或检2位错。由此可见，汉明码是能够纠正单个错误的线性分组码，其特点是：最小码距=3，码长n与监督位r满足关系式：，说明上述所说的（7，4）线性分组码就是汉
6、明码。同时，由于码率，故当很大和很小时，码率接近1，可见,汉明码是一种高效码。2.2 监督矩阵H式（3.1）所示的（7，4）汉明码的监督方程可以改写为： （式2.2.1）用矩阵的形式可以将上式表示为： （摸2） （式2.2.2）上式可以简记为： 或 式中 A=a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 0=0 0 0右上标“T”表示将矩阵转置。例如，HT是H的转置，即HT的第一行为H的第一列，HT的第二行为H的第二列等等。其中，H成为监督矩阵，只要监督矩阵H给定，编码时信息位和监督位的关系也就随即确定下来了。2.3 生成矩阵G 上面汉明码例子中的监督位公式为 （式2.3.1） 也可改写成矩阵形式
7、： （式2.3.2） 或者写成 （式2.3.3） 式中，Q为一个k*r阶矩阵，它为P的转置，即Q=PT 上式表示，在信息位给定后，用信息位的行矩阵车乘矩阵Q就产生出监督位。若将（2.2.1式）的监督方程补充完整并写成矩阵的形式：（式2.3.4）即：A=G=GM即汉明码的编码原理 上式中 G= （式2.3.5）G为生成矩阵，根据式2.3.4知：由G和信息码就能产生所有码字。生成矩阵也可分为两部分，即 G= （式2.3.6） 上式中 Q= （式2.3.7） Q为阶矩阵，为阶单位阵。 因此，如果找到了码的生成矩阵G，则编码的方法就完全确定了。具有KQ形式的生成矩阵称为典型生成矩阵。由典型生成矩阵得出
8、的码组A中，信息位的位置不变，监督位附加于其后，这种形式的码称为系统码。2.4 校正子（伴随式）S设一发送码组A=，在传输的过程中可能发生误码。接受码组B=，收发码组之差定义为错误图样E。E=B-A (式2.4.1) 其中，E=,令S=。 (式2.4.2) 式中S称为校正子，他用来表示错码位置。可见：校正子S与错误图样E之间由确定的线性变换关系。若和之间一一对应，则将能代表错码位置。（7，4）汉明码的校正子和错误图样之间的对应关系如表2所示。表2 (7,4)汉明码S 与E 对应关系错误码位错误图样E校正子S错误位置C 0 0 0 0 0 0 10 0 110 0 0 0 0 1 00 1 02
9、0 0 0 0 1 0 01 0 030 0 0 1 0 0 00 1 140 0 1 0 0 0 01 0 150 1 0 0 0 0 01 1 061 0 0 0 0 0 01 1 17无错0 0 0 0 0 0 00 0 0无错由上表可知：当S=001时，则出错在1 位，即b0 出错；当S=010时，则出错在2 位，即b1 出错；当S=100时，则出错在3 位，即b2 出错；当S=011时，则出错在4 位，即b3 出错；当S=101时，则出错在5 位，即b4 出错；当S=110时，则出错在6 位，即b5 出错；当S=111时，则出错在7 位，即b6 出错；当S=000时，则无错。三、（7
10、，4）汉明码编码的设计3.1 （7，4）汉明码编码方法(7,4)汉明码的编码就是将输入的4 位信息码M= 加上3 位监督码从而编成7位汉明码，编码输出B= .由式A = MG=G 可知，信息码M与生成矩阵G 的乘积就是编好以后的(7,4)汉明码。3.2 编码流程图编码程序的设计流程图开始输入信息码a6a5a4a3编出监督位b2b1b0输出（7，4）汉明码a6a5a4a3a2a1a0结束3.3 （7，4）汉明码编码程序设计根据(7,4)汉明码的编码原理，将上式计算所得的监督位和输入的信息位一起输出，则此次编码就算完成了。 （7，4）汉明码的编码源程序见下文附录。四、（7，4）汉明码的译码器的设计
11、4.1 （7，4）汉明码译码方法(7,4)汉明码的译码器的功能就是把输入的7 位汉明码B= 译为4位信息码，并且根据伴随矩阵S 从而纠正编码中可能出现的1 位错码。根据监督矩阵H和生成矩阵G的关系，即：H = ，其中是的单位阵，G = ，其中 是的单位阵， （式4.1.1）生成矩阵 G= 由式（4.1.1），得P=监督矩阵 （式4.1.2）由式（2.2.2）知，其中E=从而即可得到校正子S与（7，4）汉明码各位之间的关系： （式4.1.3） 算出校正子S（）后，对照表2，即可判断出哪位出错，并纠正出错的那位，从而输出正确的码字。表3 （7，4）汉明码译码输入、输出对应关系序号译码输入译码输出校
12、正子S错误码位错码位置C00000010000001021000111100011003200101010010000无错0300111100011000无错0401011100100011450100101010101146001001101101006701110000111000无错0810001111000000无错091001101100100111010100001010010211101110110111003121101001110001141311110001101101514101010011101106150111111111111174.2 译码流程图译码程序设计的流程图：开始译码输入七位码b6b5b4b3b2b1b0b2b1b0根据输入求出校
