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1、第三章 基本体及立体表面交线,任何立体都是由表面（平面或曲面）所围成。 单一的几何立体称为基本体。 表面全部为平面的立体称为平面立体，如棱柱、棱锥、棱台等。 表面为曲面或既有曲面又有平面的立体称为曲面立体，常见的曲面立体是回转体，如圆柱、圆锥、球和圆环等，如图3-1所示。,第一节 平面立体的投影,常见的基本立体,平面立体,曲面立体,圆锥,圆环,图3-1 常见基本体,表面全部由平面围成的立体，称为平面立体。平面立体上相邻表面的交线称为棱线。 平面立体主要分为棱柱和棱锥两种。 立体的投影图是立体各表面同面投影的总和。 绘制平面立体的投影就是绘制它所有多边形表面的投影，即绘制这些多边形的边和顶点的投
2、影。 注意：当轮廓线的投影为可见时，画粗实线； 不可见时，画细虚线； 当粗实线与细虚线重合时，应画粗实线。,一、棱柱,棱柱由两个底面和若干个侧棱面组成，底面为多边形，侧棱线互相平行（侧棱面与侧棱面的交线称为侧棱线）。侧棱线与底面垂直的称为直棱柱，常见的棱柱有三棱柱、四棱柱、六棱柱等。,1. 棱柱的投影分析,图示所示为一个正六棱柱，它的上、下底面为正六边形，放置成平行于H面，并使其前后两个侧面平行于V面。,图3-2 正六棱柱的投影,水平投影为正六边形，反映顶面和底面实形。,正面投影为三个矩形线框，,侧面投影为两个矩形线框,图3-3 正六棱柱的投影分析,如果某个投影的图形对称，则应该画出对称中心线
3、。 在投影图中，当多种图线发生重叠时，则应按粗实线、虚线、点画线等顺序优先绘制。,1. 棱柱的作图,图3-4 正六棱柱的投影作图,棱柱的投影特征： 一面投影为多边形，其边是各棱面的积聚性投影；另两面投影均为一个或多个矩形线框拼成的矩形框。,图3-5 棱柱的投影示例,二、棱锥,棱锥的底面为多边形，各侧面均为三角形且具有公共的顶点，即为棱锥的锥顶。 棱锥到底面的距离为棱锥的高。,图3-6 三棱锥,1. 棱锥的投影分析,该图是一正三棱锥，锥顶为S，底面为正三角形ABC，三个侧面为全等的等腰三角形。,图3-7 正三棱锥,2. 棱锥作图：,由于底面ABC为水平面，所以水平投影abc反映底面实形，正面和侧
4、面投影分别积聚成平行X轴和Y轴的直线段abc和a“b“c“。,a(c),b,图3-8 正三棱锥的投影,棱锥的投影特征： 一面投影是共顶点的三角形拼合成的多边形；另两面投影均为共顶点的三角形拼合成的三角形，其底边重合于一条线。,图3-9 常见棱锥和平面体的投影示例,三、平面立体表面上取点 1. 棱柱表面上的点,棱柱体表面上取点和平面上取点的方法相同。,图3-10 棱柱体表面上取点,( ),a(c),b,2. 棱锥表面上的点,图3-11 棱锥体表面上的点,(a) (b),图3-12 棱锥体表面上取点,(c) (d),图3-12 棱锥体表面上取点,第二节 回转体的投影,表面由平面与曲面围成，或全部由
5、曲面围成的立体称为曲面立体。,常见曲面是回转面，它是由一直线或曲线以一定直线为轴线回转形成。由回转曲面组成的立体，称回转体，如圆柱体、圆锥体、球体等。,图3-13 回转体的形成,一、圆柱体,圆柱体是由顶面、底面和圆柱面所组成。 圆柱面上任意一条平行于轴线的直线，称为圆柱面的素线。,图3-14 圆柱体的投影分析,1. 圆柱体的投影分析,当圆柱体的轴线垂直于H面时，水平投影为一圆，圆周是圆柱面的积聚性投影。 该圆柱体的正面投影为矩形。矩形的上、下边线是圆柱体顶面和底面的积聚性投影，圆柱面上最外的两条素线轮廓素线。 轮廓素线是圆柱面可见与不可见的分界线。,2.圆柱的作图,画圆柱体投影时，一般先画出轴
6、线和圆的中心线及投影为圆的那个投影，然后画出其余投影。,图3-15 圆柱体的三视图,(a) (b),*轮廓素线与圆柱体的对应,图3-16 圆柱体的轮廓素线分析,已知圆柱表面上点M、N的正面投影，求作它们的水平及侧面投影。,3. 圆柱面上取点,图3-17 圆柱体表面取点、取线,图3-18 常见圆柱的三面投影示例,二、圆锥体,圆锥面是由一直母线绕着与它相交的轴线旋转而成。 在圆锥面上通过锥顶S的任一直线称为圆锥面的素线。,圆锥体由圆锥面和底面所围成。,图3-19 圆锥体的形成及三面投影,1. 圆锥体的投影分析,图3-20 圆锥体的投影分析,该圆锥体的v和w投影为全等的等腰三角形。两腰分别是圆锥面上
7、各轮廓素线的投影。 H面投影为圆 。,画圆锥体投影时，一般先画出轴线和圆的中心线及投影为圆的那个投影，然后画出其余投影。,2. 圆锥体的作图,图3-21 圆锥体的三视图析,3. 圆锥体表面上的点,因为圆锥面在三个投影面上的投影都没有积聚性，所以必须用作辅助线的方法实现在圆锥体表面上取点。作辅助线的方法有两种： （1）素线法 （2）纬圆法,辅助素线法。,已知圆锥表面上点K的正面投影k，求作其水平投影k和侧面投影k“。,图3-21 圆锥体表面取点,(b),(2) 辅助纬圆法。,图3-22 圆锥体表面取点,图3-23 常见圆锥的三面投影示例,三、圆球,球面是由母线圆（或半圆）绕其直径旋转而成。,图3
8、-24 圆球的形成,1. 圆球的投影分析,圆球的三面投影均为与其直径相等的圆。它们分别是球三个不同方向的轮廓圆的投影。,图3-25 圆球的投影分析,a,2. 圆球的作图,注意：轮廓线的投影与曲面可见性的判断,3. 圆球面上的点,辅助圆法,圆的半径？,提示：圆球辅助圆可选用正平圆、水平圆或侧平圆。,图3-26 圆球表面取点,(a) (b) (c),图3-27 圆球表面上取点,图3-28 常见圆球的三面投影示例,四、圆环,圆环的表面由环面构成。,图3-29 圆环的形成及三面投影,图3-30 常见圆环的三面投影示例,第三节 平面与立体相交,截切立体的平面称为截平面，截平面与立体表面的交线叫截交线，截
9、交线所围成的截面图形称为截断面或断面，如图3-31所示。 截平面可以是一个（图3-31a），也可以是两个以上的截平面，这样截平面不仅与立体有交线，还与其它截平面有交线，如图（3-31b）所示。,一、截交线,立体被平面截切所形成的立体称为截切体。,（a） 图3-31 截交线的概念,（b）,1.截交线的性质 1）共有性: 截交线为平面与立体表面的共有线，即交线上的每一点均为截平面与立体表面的共有点； 2）封闭性：立体的表面是封闭的，因此与截平面的交线也是封闭的平面图形。 2.截交线的形状 截交线的形状取决于立体的几何性质及其与截平面的相对位置，通常为直线线框、曲线线框或直线与曲线组成的线框。,二、
10、平面与平面立体的截交线 平面与平面立体相交，其截交线是一封闭的直线线框。根据平面截切平面立体的性质可知，求平面立体截交线的投影，实际上就是求截平面与平面立体各棱线交点的投影，或是求截平面与平面立体表面交线的投影。,作截交线的步骤： 1.补全基本体的三面投影，理解基本体的投影关系； 2.分析截平面具有积聚性投影的端点和分点（截平面与基本体投影的交点），并判断其可见性，找点时充分利用面的积聚性； 3.依次连接各点,判断立体的存在域。,图3-32 完成切割三棱锥的三面投影,【例3-1】 完成图3-32（a）所示截切正三棱锥的三面投影。,（1）补画完整三棱锥的三面投影，如图3-32（b）所示，理解正面
11、投影中sa、sb、sc各为一条棱线。,图3-32 完成切割三棱锥的三面投影,（2）分析P面在正面投影积聚成线的端点和分点，端点1、3分别是截平面P与棱线sa、sc的交点，而sa、sc各为一条棱线，因此两端点各为一点；分点2是截平面P与棱线sb的交点，sb是一条棱线，所以分点为一点。如图3-32（c）所示。,图3-32 完成切割三棱锥的三面投影,（3）依次连接各点，判断切割体的存在域，S、S、S被正垂面切割，按可见性整理轮廓线，依次连接、点的同面投影，这样就完成了切割三棱锥的三面投影，如图3-32（d）所示 。,【例3-2】 完成图3-33（a）所示截切正六棱柱的三面投影。,图3-33 完成切割
12、六棱柱的三面投影,（1）补画六棱柱的侧面投影，如图3-33（a）所示，理解正面投影中的四条纵向线，左右纵向线各为一条棱线，而中间的两条纵向线各表示两条棱线。,图3-33 完成切割六棱柱的三面投影,（2）分析P面在正面投影中积聚成线的端点和分点。如图3-33（b）所示。,图3-33 完成切割六棱柱的三面投影,分析正面投影里Q面具有积聚性投影的端点（无分点），如图3-33（c）所示。,图3-33 完成切割六棱柱的三面投影,（3）依次连接各点的同面投影。由于六棱柱的右棱线没被切到，其侧面投影不可见，因此1以上为虚线，1以下的实线为左棱线，如图3-33（d）所示。,第四节 平面与回转体相交,平面与回转
13、体相交，其截交线是一封闭的线框。截交线的形状取决于回转面的形状及截平面与回转面轴线的相对位置，一般为平面曲线线框、直线与曲线构成的平面线框、直线线框。当截平面与回转体轴线垂直时，截交线均为圆。 求回转面截交线的步骤： （1）画出回转体的三面投影，理解回转体的投影关系，特别是回转面的转向轮廓线，并且分析截平面与回转体轴线的相对位置，了解截交线的形状； （2）分析截平面的积聚性投影的特殊点和一般点。找点时，充分利用积聚性，并判断其可见性； （3）光滑连接各点，并判断立体的存在域。,1.平面与圆柱的截交线 当平面与圆柱的轴线平行、垂直、倾斜时，产生的截交线分别是矩形、圆、椭圆，如表3-1所示。,表3
14、-1 平面与圆柱的截交线,【例3-3】 完成图3-34（a）所示截切圆柱的侧面投影。,图3-34 完成开槽圆柱的三视图,图3-34 完成开槽圆柱的三视图,【例3-4】 完成图3-35（a）所示截切圆柱的侧面投影。,图3-35 完成斜切圆柱的侧面投影,图3-35 完成斜切圆柱的侧面投影,2.平面与圆锥的截交线 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，平面截切圆锥所形成的截交线有五种：三角形、圆、椭圆、抛物线和双曲线，如表3-2所示。,表3-2平面与圆锥的截交线,【例3-5】 完成图3-36（a）所示截切圆锥的三面投影。,图3-36 完成截切圆锥的三面投影,（1）补画圆锥的侧面投影，如图3-36（a）
15、所示，理解正面投影中点画线是圆锥的侧面转向轮廓线（两条）。,图3-36 完成截切圆锥的三面投影,（2）分析截交线的特殊点，如图3-36（b）所示。,图3-36 完成截切圆锥的三面投影,分析截交线的一般点，如图3-36（c）所示。,图3-36 完成截切圆锥的三面投影,（3）依次光滑连接各点，判断存在域。如图3-36（d）所示。,3.平面与圆球的截交线 圆球被任何位置的平面截切，其截交线都是圆。由于截平面相对于投影面的位置不同，截交线的投影可能是圆、椭圆或直线。 截平面平行于投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆； 截平面垂直于投影面时，在该投影面上的投影为直线；截平面倾斜于投影面时，在该投影面上的投影为椭圆。,图3-37 平面与圆球的交线,当截平面平行于投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆，如图3-37所示的俯视图，当截平面垂直于投影面时，在该投影面上的投影为直线如图3-37所示的主、左视图,图3-38 垂直于投影面的截平面与圆球相交,当截平面倾斜于投影面时，在该投影面上的投影为椭
