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1、,线 性 代 数 习 题 课 一,一、内 容 提 要,二、典 型 例 题 ,一、内 容 提 要,行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,性质2 对换两行, 行列式值反号.,性质3 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到 行列式记号的外面.,性质4 若行列式某一行的元素都是两数之和, 则该行 拆开, 原行列式可以表为相应的两个行列式之和.,性质5 把行列式某一行的各元素乘以同一数, 然后加 到另一行对应的元素上去, 行列式的值不变.,对 n 阶矩阵 A, 有 det(kA) = kn det A.,设 A, B 为 n 阶矩阵, 则有,一、内 容 提 要,Laplace 按行列展开
2、定理,行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余 子式乘积之和. 即,设 A = (aij)为 n 阶方阵, 则有,一、内 容 提 要,伴随阵,设 A 为 n 阶方阵, Aij 为(i, j)元的代数余子式, 记,称 A 为方阵 A 的转置伴随阵.,伴随阵的性质,设 A 为 n 阶方阵 A 的伴随阵, 则有,如果 | A | 0, 那么, 称方阵 A 为非奇异矩阵.,逆阵计算公式,非奇异矩阵 A 的逆阵为,逆矩阵,如果存在矩阵 B, 使 AB = BA = E 那么, 称方阵 A 为可逆的, 并称 B 为 A 的逆矩阵.,定理 设 A, B 为 n 阶方阵, 若 AB = E, 则 A, B
3、 可逆, 且有,一、内 容 提 要,逆矩阵的性质,设 A, B 为 n 阶可逆矩阵, 则有,一、内 容 提 要,分块对角阵的性质,(3) A 可逆的充分必要条件是 Ai(i=1,s)都可逆, 且有,一、内 容 提 要,设 Ai(i=1,s)都是方阵,设 A, B 都是方阵, 则有,矩阵 A 与 B 行等价的充要条件是: 存在可逆矩阵 P, 使 B = PA.,矩阵 A 与 B 列等价的充要条件是: 存在可逆矩阵 Q, 使 B = AQ.,具体地有,一、内 容 提 要,等价矩阵,如果矩阵 A 经过有限次初等(行, 列)变换, 化为矩阵 B, 就称矩阵 A 与 B (行, 列)等价, 记为 AB.
4、,行最简形矩阵,行阶梯形矩阵,一、内 容 提 要,矩阵的秩,一、内 容 提 要,如果矩阵 A 的等价标准形为,那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩, 记为 R(A).,性质1 等价矩阵有相等的秩.,性质2,性质4,行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数.,性质5,矩阵的秩,一、内 容 提 要,如果矩阵 A 的等价标准形为,那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩, 记为 R(A).,性质7,性质8,性质9,性质6,逆矩阵的初等变换求法,矩阵初等变换的应用,线性方程组的最简形解法,将线性方程组的增广矩阵化为行最简形, 写出同解 方程组, 解便一目了然.,矩阵方程 AX = B, XA
5、 = B 的初等变换解法,一、内 容 提 要,(1) 当 R(A, b)R(A) 时,方程组无解;,(2) 当 R(A, b)=R(A) = n 时,方程组有唯一解;,(3) 当 R(A, b)=R(A) n 时,方程组有无穷多解.,设 n 元线性方程组 Ax = b.,n 元方程组 Ax = 0 有非零解的充要条件是 R(A) n.,AX = B 有解的充要条件是 R(A) = R(A, B).,线性方程组的可解性定理,当 A为方阵时, Ax = 0 有非零解的充要条件是 | A| = 0.,一、内 容 提 要,齐次通解结构定理,设 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系为 x1
6、, xn-r , 其中 r = R( A), 则 Ax = 0 的通解为,(k1, kn-r 为任意数),非齐次通解结构定理,(k1, kn-r 为任意数),设 x = h 是 n 元非齐次线性方程组 Ax = b 的一个解 (称特解), x1, xn-r 是导出组 Ax = 0 的一个基础解系, 则 Ax = b 的通解为,一、内 容 提 要,二、典 型 例 题,例1 设 a1, a2, a3, b 均为3维列向量, 矩阵A = (a1, a2, a3),解,B = (3a1, 2a2, b), 且已知行列式 det A = 2, det B = 6. 计算 det (3A-B) 和 det
7、 (3A+B).,解,例3 计算行列式,解,例4 计算行列式,(特点是行和相等),解,例5,解,解,例6,解,例7,由 AB = B+A, 得,证明,例8 设 A 满足方程 A2 +2A-9E = O, 证明 A 与 A+4E 都可逆, 并求它们的逆阵.,由 A2 +2A-9E = O, 得,因此 A 可逆, 且有,因此 A+4E 可逆, 且有,因为,例9 设 A, B 为 n 阶方阵, 证明,分析,证一,两边取行列式即得,例9 设 A, B 为 n 阶方阵, 证明,分析,证二,证1,例10 设 mn 矩阵 A 的秩 R(A) = m, 证明,所以 R(A, Em ) = m = R(A),从而方程 AX = Em 有解,设解为 X = K,于是,由矩阵秩的性质知,由矩阵秩的性质知,所以 R(BA) = R(B).,证2,例10 设 mn 矩阵 A 的秩 R(A) = m, 证明,于是存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q, 使,因此有,因 R(A) = m,可知 A 的等价标准形为,
