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1、2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,1,结 构 力 学,第十一章 矩阵位移法,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,2,11-1 概 述,一、 矩阵位移法 有限单元法雏形（杆件有限元法）。 以传统结构力学理论（位移法）为基础； 以矩阵作为数学表述形式； 以电子计算机为计算手段。（三位一体）,二、发展历史 有限元法思想于20世纪40年代初提出，60年代命名为“有限单元法”（FEM)以来，有限元法蓬勃发展。70年代大型有限元通用程序出现，SAP程序、ADINA程序（基于DOS系统）， ANSYS程序、ALGOR程序（基于WINDOW系统）等等。成为结构分析必不
2、可少的一种重要手段。,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,3, 结构分析（手算） 力法 位移法 混合法, 结构矩阵分析（电算） 矩阵力法（柔度法） 矩阵位移法（直接刚度法) 矩阵混合法, 结构矩阵分析方法： 以结构力学的原理为基础 用矩阵代数表达计算公式 电子计算机为运算工具 矩阵位移法：传统位移法思路 矩阵公式推演 计算机程序运算 矩阵位移法程序简单、通用性强，适用各种杆系结构。,手算怕繁：讨厌重复性的大量运算，追求灵活的计算技巧， 运算次数较少的方法。 电算怕乱：讨厌头绪太多，零敲碎打的算法，追求计算过 程程序化，通用性强的方法。,2019年7月3日2时46分,By L
3、vyanping,4,基本环节： （1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析。,三、矩阵位移法的基本思路,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,5,四、 结构的离散化与正负符号规定,1、结构的离散化 划分单元,A,B,C,E,D,F, 局部（单元）坐标系 整体坐标系,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,6,指杆件有弯曲变形、轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有三个位移分量。,符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，,座标与杆轴重合；,1,2,E A I,l,(a),杆端位移、杆端力与坐标正向一致为正。,单元编号 杆端编号 局部座标,1
4、,2,(b),杆端位移编号,1,2,杆端力编号,(c),2、杆端位移、杆端力的正负号规定,一般单元：,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,7,1,2,1,2,（1）单元杆端位移向量,（2）单元杆端力向量,凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,8,单元刚度方程：由单元杆端位移求单元杆端力的一组方程，可以用“ ”表示，由位移求力称为正问题。,在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。,1,2,忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间
5、的相互影响,11-2 单元刚度矩阵(局部坐标系),一、一般单元,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,9,二、单元刚度方程,由虎克定律：,由转角位移方程，并考虑：,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,10,写成矩阵形式：,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,11,EA l,6EI l2,6EI l2,EA l,12EI l3,12EI l3,4EI l,2EI l,用矩阵符号记为,局部坐标系中的单元刚度方程。,0,0,0,0,0,0,6EI l2,0,6EI l2,0,-EA l,-6EI l2,-6EI l2,EA l,-12EI l
6、3,12EI l3,2EI l,4EI l,0,0,0,0,0,0,-6EI l2,0,6EI l2,0,只与杆件本身性质有关而与外荷载无关,局部坐标系的单元刚度矩阵,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,12,三、单元刚度矩阵的性质,1、单元刚度系数的意义,代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第i个杆端力分量。,2、单元刚度矩阵是对称矩阵,第j列元素分别表示当第j个杆端位移为1时引起的六个杆端力分量。,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,13,正问题,力学 模型,将单元视为“两端有六个人工 控制的附加约束的杆件”,控制附加约束加以指定。,解的 性质
7、,为任何值时，,都有唯一的解答。且总是一 个平衡力系，不可能是不平 衡力系。,反问题,将单元视为“两端自由的杆件”。,直接加在自由端作为 指定的杆端力,为不平衡力系时 没有静力解。,为平衡力系时 有无穷多组解。,3、一般单元的刚度矩阵是奇异矩阵，逆矩阵不存在；,力学上：,存在刚性位移问题,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,14,0,0,0,0,第二列元素变符号即第五列 第一列元素变符号即第四列 第二行元素变符号即第五行 第一行元素变符号即第四行,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,15,四、特殊单元,单元的某个或某些杆端位移的值已知为零。如梁单元、柱单
8、元。 特殊单元的单元刚度矩阵，可由一般单元的单元刚度矩阵删除 与零杆端位移对应的行和列得到。,为了使计算过程程序化、标准化、自动化，只采用一般单元 的刚度矩阵作为标准形式。各种特殊单元的刚度矩阵由计算 机程序去自动形成。 某些特殊单元的刚度矩阵是可逆的。,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,16,11-3 单元刚度矩阵（整体坐标系）,坐标转换矩阵,一、单元坐标转换矩阵,以x到x顺时针转为正,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,17,正交矩阵,T-1 =TT,或 TTT=TT T =I,于是可以有,同理可以有,单元杆端力的转换式 单刚的转换式,T0,T0,
9、2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,18,在局部座标系中单元刚度方程：,在整体座标系中单元刚度方程：,二、整体座标系中的单元刚度矩阵,（a）式可转换为：,两边前乘TT,比较式(b)和(d)可得：,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,19,例11-1 求图示刚架中各单元在整体 标系中的单元刚度矩阵。设各杆的几何 尺寸相同。l=5m，A=0.5m2, I=1/24m4 E=3107kN/m2,解：（1）求,104,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,20,（2）求,104,可先求子块：,2019年7月3日2时46分,By Lvyanpin
10、g,21, 刚度矩阵的转换关系分块计算式,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,22,第一二行对调 第一二列对调 第一行改号 第一列改号,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,23,一二行对调 一二列对调 二行改号 二列改号,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,24,11-4 连续梁的整体刚度矩阵,按传统的位移法,1,2,3,每个结点位 移对F的单 独贡献,F1,F2,F3,4i1,2i1,0,2i1,4i1+4i2,2i2,0,2i2,4i2,1,2,3,=,F=K,根据每个结点位移对附加约束上的约束力F的贡献大小进行叠加而计算所得。,
11、传统位移法,整体分析： 建立整体刚度方程（结构结点力与 结点位移的关系），导出整体刚度矩阵。 建立整体刚度方程的两种方法： 传统位移法 ：考虑每个结点位移对F的单独贡献； 单元集成法：也称刚度集成法或直接刚度法。,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,25,一、 单元集成法的力学模型和基本概念,分别考虑每个单元对F的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成,令 i2 =0，则,k =,4i1,2i1,4i1,2i1,F2,=,1,2,（a）,（b）,F2,=,4i1,2i1,4i1,2i1,0,0,0,0,0,1,2,3,单元 1 的贡献矩阵,单元 1 对结点力F的贡献,略去其它
12、单元的贡献。,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,26,k =,4i2,2i2,4i2,2i2,F2,=,4i2,2i2,4i2,2i2,0,0,0,0,0,1,2,3,K ,F =,设 i1 =0，则,单元 的贡献矩阵,单元对结点力F的贡献,略去单元的贡献。,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,27,k,K,K,F=F,+F,=（K,+K,）,1,2,F=K,整体刚度矩阵为：,单元集成法求整体刚度矩阵步骤：,根据单元和单元分别对结点力F的贡献，可得整体刚度方程：,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,28,2i2,2i2,4i2,K=
13、,4i1,2i1,4(i1+i2),2i1,0,2i2,0,2i2,4i2,4i1+4i2,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,29,二、按照单元定位向量由,(1)在整体分析中按结构的结点位移统一编码，称为总码。,(2)在单元分析中按单元两端结点位移单独编码，称为局部码。,以连续梁为例,位移统一编码 总码,单元,对应关系,局部码总码,单元定位向量,(1)1,(2)2,=,(1)2,(2)3,=,位移单独编码 局部码,由单元的结点 位移总码组成 的向量,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,30,单元,单元,(1),(2),(1),(2),4i1,2i1,2
14、i1,4i1,k =,(1),(2),(1),(2),4i2,2i2,4i2,2i2,单元定位向量描述了单元两种编码（总码、局部码）之间的对应关系，定义了整体坐标系下的单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的具体位置，故也称为“单元换码向量”。,单元贡献矩阵就是单元刚度矩阵利用“单元定位向量”进行“换码重排位”。,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,31,三、 单元集成法的实施,（定位 累加）,K,（1）将K置零，得K=0；,（2）将k的元素在K中按定位并进行累加，得K=K；,（3）将k的元素在K中按定位并进行累加，得K=K+K；,按此作法对所有单元循环一遍，最后即得整体刚度
15、矩阵K。,2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,32,1,2,3,0,（1）结点位移分量总码,（2）单元定位向量,=,=,=,（3）单元集成过程,1,2,2,1,k =,2,3,3,2,k =,0,3,3,0,K =,4i1,2i1,2i1,2i2,2i2,4i2,4i1,4i2+4i3,4i1+4i2,例.求连续梁的整 体刚度矩阵。,凡给定为零的结点位移分量,其总码均编为零。,在给结点位移编码时已经考虑了边界条件。 (先处理法),2019年7月3日2时46分,By Lvyanping,33,四、整体刚度矩阵 K 的性质,（1）整体刚度系数Kij的意义: j=1 (其余=0)时产生的结点力Fi,（2）K是对称矩阵,（3）对几何不变体系，K是可逆矩阵，如连续梁,F=K,（4）K是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁,1,2,3,
