《材料力学》第9章 压杆稳定 习题解

《《材料力学》第9章 压杆稳定 习题解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《材料力学》第9章 压杆稳定 习题解（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1第九章 压杆稳定 习题解习题 9-1 在9-2 中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图 a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式 。试分析当分别取图 b,c,d 所示坐标系及挠曲2lEIPcr线形状时，压杆在 作用下的挠曲线微分方程是否与图 a 情况下的相同，由此所得 公crF crF式又是否相同。解： 挠曲线微分方程与坐标系的 y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是。（c）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)(xMEIw，显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。临界力只与压杆的抗弯刚度、

2、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：。2lEIPcr2习题 9-2 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：压杆能承受的临界压力为： 。由这公式可知，对于材料和截面相同的压2).(lEIPcr杆，它们能承受的压力与 原压相的相当长度 的平方成反比，其中， 为与约束情况有关的长度系数。（a） ml51（b） 9.47.0（c） l（d） m2（e） l81（f） （下段）； （上段）5.37.0 ml5.2.0故图 e 所示杆 最小，图 f 所示杆 最大。

3、crFcrF3习题 9-3 图 a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图 a）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图 b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2min).(lEIPcr？为什么？并由此判断压杆长因数 是否可能大于 2。螺旋千斤顶（图 c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为 的压杆是否偏于安全？l解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)的下支座，所以它们的临界力计算公式不同。(b)为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素 ，其2临界力为： 。但是，(a) 为一端

4、弹簧支座，一端自由的情况，它的长度2min).(lEIPcr因素 ，因此，不能用 来计算临界力。22min).(lIcr4为了考察（a）情况下的临界力，我们不妨设下支座（B）的转动刚度，且无侧向位移，则：lEIMC20)() wFxMIwcr令 ，得： 2kEIFcr2k微分方程的通解为： xBAcossinkkwin 由边界条件： ， ， ； ，0xCFMcr lxw解得： ， ，CkFAcrBkllkcrossin整理后得到稳定方程： 20/tanlEIl用试算法得： 496.1kl故得到压杆的临界力： 。22)1.().(lIlIFcr 5因此，长度因素 可以大于 2。这与弹性支座的转动

5、刚度 C 有关，C 越小，则 值越大。 当 时， 。0C螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以看作是固定端。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。这种情况， ，算出来的临界力比“把它看作下端固定（固2定于底座上）、上端自由、长度为 的压杆”算出来的临界力要小。譬如，设转动刚度l，则： ， 。因此，校核lEIMC20105.2弹 簧固 端crP弹 簧固 端

6、,1025.crcrP丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为 的压杆不是偏l于安全，而是偏于危险。习题 9-4 试推导两端固定、弯曲刚度为 ，长度为 的等截面中心受压直杆的临界应力EIl的欧拉公式。crP解：设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反力为 ，水平反力为 0，约束反力偶矩两端相等，用 表示，crPeM下标 表示端部 end 的意思。若取下截离体为研究对象，则e的转向为逆转。Mecrxv)()()( xvPEIcrecrxv)(，令 ，则 EIMIPr Ikcr2EIPkcr12crekv2上述微分方程的通解为：.(a)crePMkxBAvossin

7、kinc 6边界条件： ； ： ； 。0xvcrePMBA0ossincre ： ； 。 ickA把 A、B 的值代入（a）得：)cos1(kxPMvrexPvcresin边界条件： ； ： ， Lx0v)os1(kLMcre0cos1k ： Pcreini以上两式均要求： ，nkL2,.)310(其最小解是： ，或 。故有： ，因此：EIPLkcr22)5.0(。2)5.0(LEIPcr习题 9-5 长 的 10 号工字钢，在温度为 时安装在两个固定支座之间，这时杆不mC0受力。已知钢的线膨胀系数 ， 。试问当温度升高至多17)(125lGPaE20少度时，杆将丧失稳定性？解： 习题 9-6

8、 两根直径为 的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。d试根据杆端的约束条件，分析在总压力 F 作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲7线形状，分别写出对应的总压力 F 之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力的算式。crP解：在总压力 F 作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况：（a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：（b）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳失稳时整体在面内弯曲，则 1，2 两杆组成一组合截面。（c）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳8故面外失稳时 最小： 。crP24318lEdcr习题 9-7 图示结构 AB

9、CD 由三根直径均为 的圆截面钢杆组成，在 B 点铰支，而在 A 点和 C 点固定，D 为铰接点， 。若结构由于杆件在平面 ABCD 内弹性失稳而丧失承载0dl能力，试确定作用于结点 D 处的荷载 F 的临界值。解：杆 DB 为两端铰支 ，杆 DA 及 DC 为一端铰支一端固定，选取 。此结构为超静定结构，当杆 DB 失稳时结构仍能继续承载，直到杆 AD 及 DC 也失稳时整个结构才丧失承载能力，故204.36lEI习题 9-8 图示铰接杆系 ABC 由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆件在平面 ABC 内失稳而引起毁坏，试确定荷载 F 为最大时的 角（假设 ）。20解：要使设

10、计合理，必使 AB 杆与 BC 杆同时失稳， 即： cos2, FlEIPABcr9sin2, FlEIPBCcr2cot)(taosinBAlFrct2习题 9-9 下端固定、上端铰支、长 的压杆，由两根 10 号槽钢焊接而成，如图所ml4示，并符合钢结构设计规范中实腹式 b 类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为 Q235 钢，强度许用应力 ，试求压杆的许可荷载。MPa170解：查型钢表得：m习题 9-10 如果杆分别由下列材料制成：（1）比例极限 ，弹性模量 的钢；MPaP20GPaE190（2） ， ，含镍 3.5%的镍钢；49E15（3） ， 的松木。PG试求可用欧拉公式计算临界力的

11、压杆的最小柔度。解：（1）（2）10（3）习题 9-11 两端铰支、强度等级为 TC13 的木柱，截面为 150mm150mm 的正方形，长度，强度许用应力 。试求木柱的许可荷载。ml5.3MPa10解：由公式（9-12a）：习题 9-12 图示结构由钢曲杆 AB 和强度等级为 TC13 的木杆 BC 组成。已知结构所有的连接均为铰连接，在 B 点处承受竖直荷载 ，木材的强度许用应力 。kNF3.1MPa10试校核 BC 杆的稳定性。解：把 BC 杆切断，代之以轴力 N，则0AM01sincos13. CCNin.8.05.12si26.co2)(9.08.31kNN A11)(2134012

12、43 mbhI)(57.Ai 91.264.103il由公式（912b）得： 0597.21680MPast .mNA581.04092因为 ，所以压杆 BC 稳定。st习题 9-13 一支柱由 4 根 的角钢组成（如图），并符合钢结构设m680计规范中实腹式 b 类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰支，柱长 ，压力为ml6。若材料为 Q235 钢，强度许用应力 ，试求支柱横截面边长 a 的尺kN450 MPa170寸。解： （查表： ， ），查表得： m412= mm习题 9-14 某桁架的受压弦杆长 4m,由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式 b类截面中心受压杆的要求，截面形式如

13、图所示，材料为 Q235 钢， 。若按两MPa170端铰支考虑，试求杆所能承受的许可压力。解：由型钢表查得 角钢：得 查表： 故 习题 9-15 图示结构中，BC 为圆截面杆，其直径 ；AC 边长 的正方md80ma70形截面杆。已知该结构的约束情况为 A 端固定，B、C 为球形铰。两杆的材料均为 Q235 钢，弹性模量 ，可各自独立发生弯曲互不影响。若结GPaE210构的稳定安全系数 ，试求所能承受的许可压力。5.stn解：BC 段为两端铰支， )(2096814.3644 mdI24322 0/.NlEIPcr 13kN27.10427)(65.nPFstcrBCAB 杆为一端固定，一端铰

14、支， 7.0)(2837012444 maI kNmNlEIPcr 4.93621.934010208/.)(2 )(376.5.493 knFstcrAC故 k76习题 9-16 图示一简单托架，其撑杆 AB 为圆截面木杆，强度等级为 TC15。若架上受集度为 的均布荷载作用， AB 两端为柱形铰，材料的强度许用应力 ，试求撑杆所需的直径 d。解：取 以上部分为分离体，由 ，有m设 ， m14则 求出的 与所设 基本相符，故撑杆直径选用 m。习题 9-17 图示结构中杆 AC 与 CD 均由 Q235 钢制成， C， D 两处均为球铰。已知 mm， mm， mm； ， ， ；强度安全因数 ，

15、稳定安全因数 。试确定该结构的许可荷载。解：（1）杆 CD 受压力 3FCD梁 BC 中最大弯矩 2MB（2）梁 BC 中（3）杆 CD （Q235 钢的 )10P= （由梁力矩平衡得）故，由（2）、（3）可知， kNF5.115习题 9-18 图示结构中，钢梁 AB 及立柱 CD 分别由 16 号工字钢和连成一体的两根角钢组成，杆 CD 符合钢结构设计规范中实腹式 b 类截面中心受压杆m563的要求。均布荷载集度 。梁及柱的材料均为 Q235 钢， ，kNq/48 MPa170。试验算梁和立柱是否安全。GPaE210解：（1）求多余约束力 CDF把 CD 杆去掉，代之以约束反力。由变形协调条件可知，CDFlwCDcFCqlEAlIElBAB48353lFIlqlCDBCDAB3查型钢表得：16 号工字钢的 ，4130cmIz31cW