《2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：1.3空间几何体的表面积与体积 第1课时 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：1.3空间几何体的表面积与体积 第1课时 （15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 1 课时课时 柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积 学习目标 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2. 了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式，能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算 和解决有关实际问题 知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 思考 1 正方体与长方体的展开图如图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面 积有何关系？ 答案 相等 思考 2 棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？ 答案 是 梳理 图形表面积 多 面 体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就 是展开图的面积 知识点二 圆柱、圆锥、圆台
2、的表面积 思考 1 圆柱 OO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？ 答案 S侧2rl， S表2r(rl) 思考 2 圆锥 SO 及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？ 答案 底面周长是 2r，利用扇形面积公式得 S侧 2rlrl， 1 2 S表r2rlr(rl) 思考 3 圆台 OO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？ 答案 如图，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周 长， 如图， ，解得 x xl r R xl. r Rr S扇环S大扇形S小扇形 (xl)2R x2r 1 2 1 2 (Rr)xRl(r
3、R)l， 所以 S圆台侧(rR)l， S圆台表(r2rlRlR2) 梳理 图形表面积公式 圆柱 底面积：S底2r2 侧面积：S侧2rl 表面积：S2r(rl) 圆锥 底面积：S底r2 侧面积：S侧rl 表面积：Sr(rl) 旋 转 体 圆台 上底面面积：S上底r2 下底面面积：S下底r2 侧面积：S侧(rlrl) 表面积：S(r2r2rlrl) 类型一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 例 1 (1)如图所示，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC90， ABACa，AA1B1AA1C160，BB1C190.侧棱长为 b，则其侧面积为( ) A.ab B.ab 3 3 4 32 2 C()a
4、bD.ab 32 2 3 2 2 答案 C 解析 斜棱柱的侧面积等于各个侧面面积之和，斜棱柱的每个侧面都是平行四边形由题意 知斜三棱柱的底面是等腰直角三角形ABACa，BCa. 2 AA1B1AA1C160，ABACa，AA1b， absin 60ab. 1 11 1 ACC AABB A SS AA 3 2 又BB1C190，侧面 BB1C1C 为矩形， ab， 1 1 矩形BB C C S 2 S斜三棱柱侧ababab()ab. 3 2 3 2232 故选 C. (2)已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边 长为 6，高和下底面边长都是 12，求它
5、的侧面积 解 如图，E、E1分别是 BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则 O1O 为正四棱台的高，则 O1O12.连接 OE、O1E1， 则 OE AB 126，O1E1 A1B13. 1 2 1 2 1 2 过 E1作 E1HOE，垂足为 H， 则 E1HO1O12，OHO1E13， HEOEO1E1633. 在 RtE1HE 中，E1E2E1H2HE212232153， 所以 E1E3. 17 所以 S侧4 (B1C1BC)E1E 1 2 2(612)3108. 1717 引申探究 本例(2)中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求出棱台的侧面积吗？ 解 如
6、图，将正四棱台的侧棱延长交于一点 P. 取 B1C1、BC 的中点 E1、E，则 EE1的延长线必过 P 点O1、O 分别是正方形 A1B1C1D1与正 方形 ABCD 的中心由正棱锥的定义，CC1的延长线过 P 点， 且有 O1E1 A1B13，OE AB6， 1 2 1 2 则有 ， PO1 PO O1E1 OE 3 6 即 ，所以 PO1O1O12. PO1 PO1O1O 1 2 在 RtPO1E1中，PE PO O1E 12232153， 2 12 12 1 在 RtPOE 中，PE2PO2OE224262612， 所以 E1EPEPE1633. 171717 所以 S侧4 (BCB1
7、C1)E1E 1 2 2(126)3108. 1717 反思与感悟 棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长 等构成的直角三角形(或梯形)求解 跟踪训练 1 已知正三棱锥 VABC 的正视图、俯视图如图所示，其中 VA4，AC2， 3 求该三棱锥的表面积 解 由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图，如图所示， 且 VAVBVC4，ABBCAC2， 3 取 BC 的中点 D，连接 VD，则 VDBC， 所以 VD， VB2BD242 3213 则 SVBC VDBC 2， 1 2 1 213339 SABC (2)23， 1 23 3 23 所以三棱锥 VABC 的表面
8、积为 3SVBCSABC333() 393393 类型二 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积 例 2 (1)已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等若圆柱的底面半径为 r，圆柱的侧面积 为 S，则圆锥的侧面积为_ 答案 42r4S2 2 解析 设圆柱的高为 h，则 2rhS，h. S 2r 设圆锥的母线为 l，l. r2h2 r2 S2 42r2 圆锥的侧面积为 rlr. r2 S2 42r2 42r4S2 2 (2)圆台的上、下底面半径分别为 10 cm 和 20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为 180，那 么圆台的表面积是_(结果中保留 ) 答案 1 100 cm2 解析 如图所示，设圆台的
9、上底面周长为 c， 因为扇环的圆心角是 180，故 cSA210， 所以 SA20，同理可得 SB40， 所以 ABSBSA20， 所以 S表面积S侧S上S下 (r1r2)ABr r 2 12 2 (1020)201022021 100(cm2) 故圆台的表面积为 1 100 cm2. 反思与感悟 解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下 底面圆的周长是展开图的弧长 跟踪训练 2 (1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是 ( ) A. B. 12 2 12 4 C. D. 12 14 2 答案 A 解析 设圆柱的母线长为 l，l2r，
10、r， l 2 则圆柱的表面积为 2r2l22l2l2，侧面积为 l2， l2 42 21 2 圆柱的表面积与侧面积的比是l2l2. 21 2 21 2 故选 A. (2)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A4 倍 B3 倍 C.倍 D2 倍 2 答案 D 解析 设圆锥底面半径为 r，由题意知母线长 l2r，则 S侧 r2r2r2，2. S侧 S底 2r2 r2 类型三 简单组合体的表面积 例 3 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A20 B24 C28 D32 答案 C 解析 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均
11、为 4，圆锥的母线长 l4，所以圆锥的侧面积为 S锥侧 448，圆柱的侧面积 S柱侧 2 3222 1 2 4416，所以组合体的表面积 S816428，故选 C. 反思与感悟 求组合体的表面积，首先弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应 怎样求面积，然后根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减 跟踪训练 3 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是_ cm2. 答案 7 2 解析 其直观图如图 由直观图可知，该几何体为一个正方体和一个三棱柱的组合体， 其表面积 S6(11)2 1117. 1 222 1圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是 S，则它的侧面积是( )
12、 A. BS C2S D4S S 答案 B 解析 圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是 S， 圆柱的母线长为，底面圆的直径为， SS 圆柱的侧面积 SS. SS 故选 B. 2如图，已知 ABCDA1B1C1D1为正方体，则正四面体 DA1BC1的表面积与正方体的表 面积之比是( ) A. B. C. D. 2 2 3 332 答案 B 解析 设正方体的棱长为 1，则正方体的表面积为 6，正四面体 DA1BC1的棱长为，表 2 面积为 4 sin 602，正四面体 DA1BC1的表面积与正方体的表面积之比 1 2223 是，故选 B. 3 3 3圆台的上、下底面半径和高的比为 144，母线长为
13、 10，则圆台的侧面积为( ) A100 B81 C169 D14 答案 A 解析 圆台的上、下底面半径和高的比为 144，母线长为 10，设圆台上底面的半径为 r，则下底面半径和高分别为 4r 和 4r，由 100(4r)2(4rr)2，得 r2，故圆台的侧面积等 于 (r4r)l(28)10100，故选 A. 4表面积为 3 的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_ 答案 2 解析 设圆锥的母线为 l，圆锥底面半径为 r，则 l2r23，l2r，r1，即圆锥 1 2 的底面直径为 2. 5直角三角形的两条直角边长分别为 15 和 20，以它的斜边为轴旋转生成的旋转体，求旋
14、转体的表面积 解 设此直角三角形为 ABC，AC20，BC15，ACBC，则 AB25. 过 C 作 COAB 于点 O，直角三角形绕 AB 所在直线旋转生成的旋转体，它的上部是圆锥(1)， 它的下部是圆锥(2)，两圆锥底面圆相同，其半径是 OC，且 OC12，圆锥(1)的 20 15 25 侧面积 S11220240，圆锥(2)的侧面积 S21215180.旋转体的表面积应为 两个圆锥侧面积之和，即 SS1S2420. 1多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和 2有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面 中求解而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解 3S圆柱表2r(rl)；S圆锥表r(rl)；S圆台表(r2rlRlR2) 课时作业课时作业 一、选择题 1如图所示，圆锥的底面半径为 1，高为，则圆锥的表面积为( ) 3 A B2 C3 D4 答案 C 解析 设圆锥的母线长为 l，则 l2，圆锥的表面积为 S1(12)3. 31 2一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是 32，则母线长为( ) A2 B2 C4 D8 2 答案 C 解析
