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1、结构力学 Structural mechanics,5 结构的动力计算,Tacoma Narrows Bridge 1940.7.1-11. 7,地表破坏之建筑物,梁的剪切破坏-交叉斜裂缝,地表破坏之建筑物,预制板结构教室,上部结构横向位移,上部结构竖向位移,15-1 动力计算概述,一、动力计算的特点、目的和内容,1、特点：静力荷载与动力荷载的特点及其效应。,“静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定的。,“动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷
2、载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。,2、目的和内容,计算结构的动力反应：内力、位移、速度与加速度，使结构在动内力与静内力共同作用下满足强度和变形的要求。,动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。,涉及到内外两方面的因素： 1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）； 2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和阻尼等等），类似静力学中的I、S等；,计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。,简谐荷载（按正余弦规律变化）,一般周期荷载,二、动力荷载分类 按起变化规律及其作用特点可分为： 1）周期荷载：随时间作周期性变化。（
3、转动电机的偏心力）,3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载）,2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）,tr,P,tr,P,三、动力计算中体系的自由度 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。,实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下： 1、集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。,m,mm梁,m,+m梁,I,I,2I,m,+m柱,厂房排架水平振时的计算简图,单自由度体系,4个自由度,m1,m2,m3,2个自由度,2个自由度,
4、2个自由度,自由度与质量数不一定相等,水平振动时的计算体系,多自由度体系,构架式基础顶板简化成刚性块,(t),v(t),u(t),无限自由度体系,2、广义座标法：,如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示,用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系，其中, 是根据边界约束条件选取的函数，称为形状函数。,ak(t) 称广义座标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，用此法可将无限自由度体系简化为有限自由度体系。,a1， a2， an,四、动力计算的方法,动力平衡法（达朗伯尔原理）,运动方程,设其中,P(t),I(t),平衡方程,I(t)惯性力，与加速度成正比，方向相反,改写成,虚功原理（
5、拉格朗日方程）,哈米顿原理（变分方程）,都用到抽象的虚位移概念,思考： 自由度个数的确定,15-2 单自由度体系的自由振动,自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。,自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。,研究单自由度体系的自由振动重要性在于：,1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。,2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。,自由振动反映了体系的固有动力特性。,要解决的问题包括：,建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼.,一、运动微分方程的建立,方法：达朗伯尔原理,应用条件：微幅振动（线性微分方程）,1、 刚度法：研究作用于被隔离的质量上的力，建
6、立平衡方程。,m,yj,yd,质量m在任一时刻的位移 y(t)=yj+yd,k,力学模型,yd,m,m,W,I(t),(a),其中 kyj=W及,上式可以简化为,或,由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。,重力 W,弹性力,恒与位移反向,惯性力,2、 柔度法： 研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。,可得与 (b) 相同的方程,刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。,二、自由振动微分方程的解,改写为,其中,它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：,积分常数C1，C2由初始条件确定,设 t=0 时,（d）式可以写成,由式可知，位移是由初位移y引起的余弦运动
7、和由初速度v引起的正弦运动的合成。,(e)式改写成,它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定,振幅,相位角,为了便于研究合成运动，令,三、结构的自振周期和频率,由式,及图可见位移方程是一个周期函数。,周期,工程频率（频率）,圆频率,其中是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。 k使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。 st=W在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移。 计算时可根据体系的具体情况，视、 k、 st 三参数中哪一个最便于计算来选用。,自振周期计算公式：,圆频率计算公
8、式：,一些重要性质： （1）自振周期是结构动力特性的重要数量标志，与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅A。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。 （3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。,例1. 计算图示结构的频率和周期。,例2、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比
9、较三者的自振频率。,解：1）求,3l/16,5l/32,l/2,据此可得：1 2 3= 1 1.512 2,结构约束越强,其刚度越大;刚度越大,其自振频率也越大。,例3.计算图示结构的水平和竖向振动频率。,例4.计算图示刚架的频率和周期。,由截面平衡,例5、求图示结构的自振圆频率。,解法1：求 k,=1/h,MBA=kh = MBC,解法2：求 ,例6、求图示结构的自振频率。,解：求 k,对于静定结构一般计算柔度系数方便。 如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为刚架)计算刚度系数方便。,一端铰结的杆的侧移刚度为：,两端刚结的杆的侧移刚度为：,四、简谐自由
10、振动的特性,由式,可得，加速度为：,在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。,惯性力为：,它们的幅值产生于,时，其值分别为：,既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。,习题： p205 15.3 15.5,五、阻尼对振动的影响,实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生非弹性的内力，非弹性力起阻尼作用。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些结论也反应了结构的振
11、动规律，如：,1、阻尼的存在,忽略阻尼的振动规律,考虑阻尼的振动规律,结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。,简谐荷载作用下有可能出现共振。,自由振动的振幅永不衰减。,自由振动的振幅逐渐衰减。,共振时的振幅趋于无穷大,共振时的振幅较大但为有限值。,事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减直到停止；共振时振幅也不会无限增大，而是一个有限值。 非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构的振动规律，就要研究阻尼。,2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素,1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量；,2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向
12、周围扩散，振动波在土壤中传播而耗散能量；,3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。,关于阻尼，有两种定义或理解：,1）使振动衰减的作用；,2）使能量耗散。,振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述不同，目前主要有两种阻尼理论：,*粘滞阻尼理论非弹性力与变形速度成正比：,*滞变阻尼理论,3、阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系： 1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 3）与质点速度无关（如摩擦力）。,其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。,平衡方程,4、阻尼对自
13、由振动的影响,令,及,设解为：,特征方程,特征值,一般解,k,m,（1）低阻尼情形 ( 1 ),令,由初始条件确定C1和C2；,设,得,其中,ae-t,低阻尼y- t曲线,阻尼对自振频率的影响.,当0.2，则存在0.96r/1。在工程结构问题中，若0.010.2，可近似取:,称为振幅的对数递减率.,设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:,经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:,工程中常用此方法测定阻尼,阻尼对振幅的影响. 振幅ae- t 随时间衰减，相邻两个振幅的比,振幅按等比级数递减.,2)=1（临界阻尼）情况,这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。,临界阻尼常数cr
14、为=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）,阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。,3)1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。,例6. 对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时顶部侧移2cm，振动一周T=1.4s后，回摆1.6cm，求大梁的重量W及6周后的振幅。,解：(1)大梁的重量,由,(2)自振频率,(3)阻尼特性,(4)6周后的振幅,例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m,，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c。
15、,解：,习题： p205 15.9,15-3 单自由度体系的受迫振动,受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。,k,弹性力ky、惯性力,和荷载P(t)之间的平衡方程为:,单自由度体系强迫 振动的微分方程,一、简谐荷载：,特解：,最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移）。,特解可写为：,通解可写为：,设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：,过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段； 平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）,按自振频率振动,按荷载频率振动,平稳阶段：,最大动位移（振幅）为：,动力系数为：,重要的特性： 当/0时,1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。 当01，并且随/的增大而增大。 当/ 1时,。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75 / 1.25称为共振区。,当/ 1时,的绝对值随/的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。,当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可。,例：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 , P=20kN,=80
