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1、1,自动控制理论基础,第二十三讲,2,第七章 非线性系统,7-1 常见的非线性特性,一、死区（不灵敏区）,其数学表达式为：,式中：,3,二、饱和特性,其数学表达式为：,4,在输入 信号时,该环节是放大倍数为k 的比例环节,当 时出现了饱和,随着 的不断增大其等效放大倍数逐渐降低.其等效增益如图所示：,5,三、间隙特性,在各种传动机构中，由于加工精度及运动部件的动作需要，总会存在间隙。,其特性如图所示：,6,四、继电特性：,7,7-2 非线性系统的特点,一、定义：,凡控制系统不能直接进行线性化处理，或其运动方程不能用线性微分方程式来描述的，均称为非线性系统。例如：,8,二、非线性系统的特点：,1
2、.非线性系统不服从迭加原理,迭加原理只适用于线性系统，非线性系统用非线性微分方程来描述，至今没有统一求解方法，其理论也不完善。工程上目前也没有通用的方法可很好地解决所有非线性问题。,2.非线性系统的稳定性和运动形式,线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数（即系统的特征根），而与输入信号及初始条件无关。,9,但非线性系统则不然，它的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，还与输入信号及初始条件有关。因此不能笼统地泛指某个非线性系统是否稳定，而必须指明不同条件下系统的稳定性。,3.非线性系统的自激振荡,线性系统只在阻尼比为零时，产生周期性的等幅振荡；而且这样情况极少出现，极易变化。但是在非线性系统中，
3、常会出现具有一定频率、一定振幅的稳定的等幅振荡，即自激振荡。,10,非线性系统的自激振荡的特点是：当系统的结构参数在一定范围内变动时，自振现象仍能存在，只是振荡参数稍有变化。,在经典控制理论中，自激振荡是不稳定的，但在现代控制理论中，按Lyapunov的定义，系统是稳定的，只要自激振荡的幅值在允许的范围内。,自激振荡是非线性理论研究的重要内容。在多数情况下，不希望有振荡存在，必须设法消除它，但某些情况下，特意引入自激振荡，使系统具有良好的静、动态特性。,11,三、分析非线性系统的方法：,1.线性化近似方法,使用原则：（a）非线性因素对系统影响很小；（b）变量的变化微小。,2.描述函数法,它是非
4、线性系统的频率法，适用于具有低通滤波特性的各种阶次的非线性系统。,3.相平面法,12,相平面法是非线性系统的图解法。只适用于一、二阶系统。,4.Lyapunov第二方法,判定非线性系统稳定性的主要方法。,7-3 典型非线性系统的描述函数,一、描述函数的定义,设所讨论的非线性系统如下图所示：,13,(线性部分传递函数),(非线性元件描述函数),设 ，则,将y(t)展开为富氏级数，有,14,其中：,本章所讨论的非线性特性，均属奇对称函数，故有:,15,又因一般线性系统的低通滤波器特性，故高次谐波均可忽略不计。于是有,上式表明:一个非线性元件在正弦输入作用下,其输出近似为一个同频率的正弦量,仅是振幅
5、和相位发生了变化.该式称为谐波线性化,只能用于分析非线性系统的自激振荡.,16,描述函数或正弦描述函数是由输出的一次谐波分量对输入的复数比来定义的，即,其中：X正弦输入振幅；,-输出的一次谐波分量振幅；,-输出的一次谐波分量的相位移；,如果在非线性元件中不含有储能元件，那么N只是输入振幅的函数；若包含储能元件，那么N便是输入的振幅和频率二者的函数。,17,二、典型非线性特性的描述函数,1、饱和特性的描述函数,饱和非线性的输入-输出特性曲线如图所示：,可以求得其描述函数为：,18,2、死区特性的描述函数,死区非线性的输入-输出特性曲线如图所示：,19,可以求得其描述函数为：,如果： ，则:,死区
6、描述函数等于K减去饱和描述函数.,3、间隙特性的描述函数,间隙非线性的输入-输出特性曲线如图所示：,20,饱和与死区特性均为单值奇对称。但间隙特性为非单值奇对称，2b为间隙宽度。其描述函数为：,21,上式表明，间隙特性的描述函数是X的复函数，因Xb，所以其虚部为负，这说明间隙特性会造成相位滞后。,4、继电特性的描述函数,继电非线性的输入-输出特性曲线如图所示：,这是具有死区和滞环的继电特性。,22,原因是继电器的动作电流大于返回电流，故继电器特性不仅含有死区特性，而且还含有滞环特性。此种继电特性也是非单值奇对称的，其描述函数为：,若h=0，则成为理想继电特性，其描述函数为：,23,若m=1，则继电特性变为三位式继电特性，有死区，无滞环。其描述函数为：,若m=-1，则称为具有滞环的两位式继电特性，其描述函数为：,24,7.6 习题: 1,25,再见,
