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1、精锐教育学科教师辅导教案学员编号:XA0002390 年 级:高三 课 时 数: 3学员姓名: 辅导科目:数学 学科教师:授课类型T同步:三角函数的化简、计算、证明的恒等变形T同步:三角函数周期的求法 T同步: 三角函数图象变换及解三角形星级教学目标1. 三角函数整个知识是高考的重点,学生不仅需要掌握基本概念,也需要掌握一定的技巧方法;2. 掌握三角函数的整体知识体系,能够熟练运用。授课日期及时段2013/4/22 10:10-12:10教学内容T同步:三角函数的化简、计算、证明的恒等变形课堂引入:我们在三角函数整个知识方面不仅需要掌握所有的知识体系,在做题方面我们通常不知道如何下手,那么题目
2、我们就没有办法了吗?接下来老师和你分享一些解题的技巧方法。知识讲解: 基本思路是:一角二名三结构。首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:一巧变角:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如,典例精讲:例题1.已知,那么的值是_。例题2.已知,且,求值。例题3.已知为锐角,则与的函数关系为_(答:1);2);3)二三角函数名互化(切化弦),例题3.求值 (答:1);例题4.已知,求的值 (答:)三公式变形使用。例题5.已知A、B为
3、锐角,且满足,则_ (答:);例题6.设中,则是_三角形(答:等边)四三角函数次数的降升例题7.若,化简为_ (答:);例题8.函数的单调递增区间为_(答:)五式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。例题9. 求证:; 例题10.化简: (答:)六常值变换主要指“1”的变换(等),例题11.已知,求 (答:).七正余弦“三兄妹”的内存联系“知一求二”,例题12.若 ,则 _ (答:),特别提醒:这里;例题13.若,求的值。 (答:);例题14.已知,试用表示的值 (答:)。八辅助角公式(收缩代换)的应用:(其中角所在的象限由a, b的符号确定,角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。
4、例题14.若方程有实数解,则的取值范围是_. (答:2,2);例题15.当函数取得最大值时,的值是_ (答:);例题16.如果是奇函数,则= (答:2);例题17.求值:_ (答:32)课后总结:T同步:三角函数周期及最值教学目标:知识讲解:一三角函数周期的求法 1定义法:定义:一般地f(x),对于函数,如果存在一个不为零的常数,使得当取定义域内的每一个值时,(T)()都成立,那么就把函数()叫做周期函数;不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说,如果在所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时,一般指的是三角函数折最小正周期
5、。例1求函数y=3sin()的周期解:y=f(x)=3sin()=3sin(+2) =3sin()=3sin = f(x+3)这就是说,当自变量由增加到x+3,且必增加到x+3时,函数值重复出现。函数y=3sin()的周期是T=3。2公式法:(1)如果所求周期函数可化为y=Asin()、y=Acos()、tan()形成(其中A、为常数,且A0、0、R),则可知道它们的周期分别是:、。例2:求函数y=1-sinx+cosx的周期解:y=1-2( sinx-cosx) =1-2(cossinx-sin cosx) =1-2sin(x-)这里=1 周期T=2(2)如果f(x)是二次或高次的形式的周期
6、函数,可以把它化成sinx、cosx、tanx的形式,再确定它的周期。例3:求f(x)=sinxcosx的周期解:f(x)=sinxcosx=sin2x这里=3,f(x)=sinxcosx的周期为T=3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式,再利用公式求周期(转化法)例4 求函数的周期 解: 例5 已知函数求周期 解: 4、遇到绝对值时,可利用公式 , 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 的周期解: 二、三角函数最值问题的几种常见类型1.利用三角函数的有界性求最值利用正弦函数、余弦正数的有界性:sinx1,cosx1,可求形如y=Asin(x+),y=Acos(Asin(x+)(A0, 0)的
7、函数最值.例1:已知函数y=cos2x+sinxcosx+1,xR,当函数y取得最大值时,求自变量x的集合.解:y=(2cos2x-1)+(2sinxcosx)+1 =cos2x+sin2x+ =sin(2x+)+ y得最大值必须且只需2x+=+2k,kZ.即 x=+k, kZ.所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为x|x=+ k, kZ.2.反函数法 例2:求函数的值域分析 此为型的三角函数求最值问题,分子、分母的三角函数同名、同角,先用反解法,再用三角函数的有界性去解。解法一:原函数变形为,可直接得到:或解法一:原函数变形为或 3.配方法转化为二次函数求最值例3:求函数y=f(x)=c
8、os22x-3cos2x+1的最值.解 f(x)=(cos2x-)2-,当cos2x=1,即x= k,(kZ)时,y=min=-1, 当cos2x=-1,即x= k+,( kZ)时,y=max=5.这里将函数f(x)看成关于cos2x的二次函数,就把问题转化成二次函数在闭区间-1,1上的最值值问题了.4.引入辅助角法y=asinx+bcosx型处理方法:引入辅助角,化为y=sin(x+),利用函数即可求解。Y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型亦可以化为此类。例4:已知函数当函数y取得最大值时,求自变量x的集合。分析 此类问题为的三角函数求最值问题,它可通过降次化简整理为型求解。
9、解: 5. 利用数形结合 例5: 求函数的最值。 解:原函数可变形为 这可看作点的直线的斜率,而A是单位圆上的动点。由下图可知,过作圆的切线时,斜率有最值。由几何性质,6、换元法例6:若0x,求函数y=(1+)(1+)的最小值.解 y=(1+)(1+)=1+令 sinx+cosx=t(1t), 则sinxcosx=, y=1+=1+,由10,a1,不能用均值不等式求最值,适合用函数在区间内的单调性来求解。设,在(0,1)上为减函数,当t=1时,。8. 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值,要合理的拆添项,凑常数,同时要注意等号成立的条件,否则会陷入误区。例8: 求函数的最值。解:=当且仅
10、当即时,等号成立,故。9. 利用图像性质例9: 求函数的最大值和最小值。 分析:函数的解析式可以变换成关于的二次函数,定义域为,应该讨论二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间的位置,才能确定其最值。 解: 设 10. 判别式法例10 求函数的最值。分析 同一变量分子、分母最高次数齐次,常用判别式法和常数分离法。解:时此时一元二次方程总有实数解由y=3,tanx=-1,由11. 分类讨论法含参数的三角函数的值域问题,需要对参数进行讨论。例11 : 设,用a表示f(x)的最大值M(a).解:令sinx=t,则1. 当,即在0,1上递增, 2. 当即时,在0,1上先增后减,3. 当即在0,1上递减,
11、 附:1y=asinx+bcosx型的函数特点含有正余弦函数,并且是一次式方法解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可:y=sin(x+j),其中tgj=.(2005年广东高考第15题)值域2y=asin2x+bsinxcosx+cos2x 型的函数。特点含有sinx, cosx的二次式方法处理方式是降幂,再化为型1的形式来解。2005辽宁高考18题 何值时面积最大?3y=asin2x+bcosx+c型的函数特点含有sinx, cosx,并且其中一个是二次方法应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成二次函数来
12、求解。(2005年浙江高考第8题) 已知k-4,则函数y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是( )A. 1 B. 1 C. 2k+1 D. 2k+14y=型的函数特点一个分式,分子、分母分别会有正、余弦的一次式。几乎所有的分式型都可以通过分子,分母的化简,最后整理成这个形式方法多样,可以自己任意选择 例4求函数y=的最大值和最小值。解法1:原解析式即:sinx-ycosx=2-2y, 即sin(x+j)=, |sin(x+j)|1, 1,解出y的范围即可。解法2:表示的是过点(2, 2)与点(cosx, sinx)的斜率,而点(cosx, sinx)是单位圆上的点,观察图形可以得出在直线与圆相切时取极值。解法3:应用万能公式设t=tg() 则y= 即(2-3y)t2-2t+2-y=0 根据0解出y的最值即可。6含有sinx与cosx的和与积型的函数式。特点含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的式子方法处理方式是应用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx进行转化,变成二次函数的问题。例6求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。解:令sinx+cosx=t,(-t),则1+2s