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1、 初中数学解题教学初中数学解题教学20102010年年5 5月月2020日日北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心 吴晓吴晓燕燕北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心一一 精选精选二二 会用会用三三 善变善变例例1 如图，正方形如图，正方形ABCD的对的对角形相交于点角形相交于点O，O又是正方又是正方形形A1B1C1O的一个顶点，两的一个顶点，两个正方形的边长相等，那么个正方形的边长相等，那么无论正方形无论正方形A1B1C1O绕点绕点O怎怎样转动，两个正方形重叠部样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方分的面积，总等于一个正方形面积的形面积的1/4，想一想为什么，想
2、一想为什么？（？（教材八下教材八下P116）北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心选选-EABCDA1B1C1OFNM用用-还能发现哪些结论？还能发现哪些结论？BE+BF=AB=2AO，北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心ABCDA1B1C1OFEAE=BF, BE=CF , OE=OF1= 2， 12OEF是等腰直角三角形是等腰直角三角形 343+4=180 S四边形四边形OEBF=1/4S正方形正方形ABCD 变变- 引申引申北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心三角形三角形120五边形五边形 北京市东城区教师
3、研修中心北京市东城区教师研修中心72n边形边形? ? 变变-拓广拓广北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心例例2： 在一副三角板中，将一块含在一副三角板中，将一块含30 角的三角板角的三角板DEF的直角顶点的直角顶点D放在放在一块含一块含45角的三角板角的三角板ABC的斜边的斜边AC的中点上逆时针方向旋转，直角三角的中点上逆时针方向旋转，直角三角板板DEF的短直角边为的短直角边为DE，长直角边，长直角边为为DF，且，且AB=BC=4.(1)如图如图1，在上述旋转过程中，在上述旋转过程中，DM与与DN，BM与与CN有怎样的数量关系有怎样的数量关系；(2)在上述旋转过程中，两块三角板重在
4、上述旋转过程中，两块三角板重叠出四边形叠出四边形DMBN的面积是否发生变的面积是否发生变化？若变化，如何变化；若不变，求化？若变化，如何变化；若不变，求出当时四边形出当时四边形DMBN的面积的面积. （07山东临沂）山东临沂）ABCDEFMN图图1 1xy y=0.5x2-2x+4（0x4）（5）继续旋转至图）继续旋转至图2、3的位置，图的位置，图2延长延长AB、BC交交DE、DF于于M、N；图；图3延长延长FD 、ED 交交BC、AB于于N 、M.则则DM与与DN，BM与与CN有怎样的数量有怎样的数量关系，请写出结论关系，请写出结论.北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心ABCDM
5、NEF图图2 2ABCDMNEF图图3 3北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心（6 6）BN +BM =2BD ABCDEFMNABCDMNEFEF?ABCDMEFxyN06泰州泰州n如图，如图，O为矩形为矩形ABCD的中心，将直角三的中心，将直角三角板的直角顶点与角板的直角顶点与O点重合，转动三角板点重合，转动三角板使两直角边始终与使两直角边始终与BC、AB相交，交点分相交，交点分别为别为M、N. 如果如果AB=4，AD=6，OM=x，ON=y，则，则y与与x的关系是的关系是 .ABCDOMNGHxy（昌平二模昌平二模）ABC中，中，BAC=90，AB=AC，点，点D是是BC的中
6、点，的中点，把一个三角板的直角顶点放在点把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点处，将三角板绕点D旋转且使两条旋转且使两条直角边分别交直角边分别交AB、AC于于E、F .（1）如图）如图1，观察旋转过程，猜想线段，观察旋转过程，猜想线段AF与与BE的数量关系并证明你的数量关系并证明你的结论；的结论；（2）如图）如图2，若连接，若连接EF，请探索线段，请探索线段BE、EF、FC之间的关系；之间的关系；（3）如图）如图3，若将，若将“AB=AC，点，点D是是BC的中点的中点”改为：改为：“B=30，ADBC于点于点D”，其余条件不变，探索（，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不）中结
7、论是否成立？若不成立，请探索关于成立，请探索关于AF、BE的比值的比值. 图1图2图3123九上九上P57：把：把 ADF以点以点D为中心按逆时针为中心按逆时针方向旋转方向旋转90，可以得到什么结论呢？可以得到什么结论呢？ 变式变式：在四边形在四边形BEDF中，中，BD平分平分FBE ，若，若FBE=90， F与与E互补，则线段互补，则线段BE、BF、BD有怎样的数量关系？有怎样的数量关系？ F若把若把变式中的变式中的“FBE=90”换成换成“FBE=120”，其余条件不变，是否其余条件不变，是否还有上述结论成立？还有上述结论成立？BF+BE=2BD(2)(3)（2）AB+AD=AC. 证明如
8、下：证明如下： 过过C点分别作点分别作AD、AB的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为E、F（如图）（如图）. AC平分平分DAB， CE=CF. ABC+D=180， ABC+CBF=180， CBF=D. CED=CFB=90 ， CEDCFB . ED=BF. AD+AB=AE+ED+AB=AE+AF由（由（1）知）知AD+AB=AC . 对于第（对于第（2）小题：如图构造等边三角形：）小题：如图构造等边三角形：有两种常见添辅助线的添法：有两种常见添辅助线的添法：延长延长AD到到E，使，使AE=AC；过过C作作AB的平行线，交的平行线，交AD的延长线于的延长线于E.证明证明ACE是等边三角
9、形，是等边三角形，再证再证ACBECD，从而得到，从而得到AB=DE，最后得到所要结论最后得到所要结论.注意：由角平分线的作用，本小注意：由角平分线的作用，本小题延长题延长AB或者过或者过C作作AD的平行线的平行线也可以，如下图所示也可以，如下图所示.n对于第三小题，类比上一小题，构造等腰对于第三小题，类比上一小题，构造等腰直角三角形：直角三角形：n本小题也有两种辅助线添法，以下左图为本小题也有两种辅助线添法，以下左图为例，先构造等腰直角三角形例，先构造等腰直角三角形ACE， 再证再证ACBECD，从而得到，从而得到AB=DE，最后得到所要结论最后得到所要结论.例例3 如图，在等腰三角形如图，
10、在等腰三角形ABC中，中，C=90，P为为ABC内一点，已知内一点，已知PC=1，PA= ，PB=3，PA,PB,PC可以集中到可以集中到两个直角三角形中两个直角三角形中PABCDPD求求APC的度数的度数.由以上信息你可以得到哪些结论？由以上信息你可以得到哪些结论？PCP是等腰直角三角是等腰直角三角形形APBPP13如图如图1，在等边三角形，在等边三角形ABC内有一点内有一点P，且，且PA=2， PB=3 ， PC=1求求BPC度数度数的大小和等边三角形的大小和等边三角形ABC的边长的边长 如图如图2，在正方形，在正方形ABCD内有一点内有一点P，且，且PA= 5 ，BP= 2 ，PC=1求
11、求BPC度度数的大小和正方形数的大小和正方形ABCD的边长的边长 ABCPP图图1 1ABCDP图图2 2PE例例4：如图，把正方形：如图，把正方形ABCD绕点绕点A，按顺，按顺时针方向旋转得到正方形时针方向旋转得到正方形AEFG，边，边FG与与BC交于点交于点H.（1）若设正方形）若设正方形ABCD的边长为的边长为3，且旋转角，且旋转角为为30时，时，HB的长为多少？（的长为多少？（04上海上海）ABCDEFGH3030(2)若正方形的边长为若正方形的边长为2cm，重叠部分的面，重叠部分的面积为积为43/3cm2，求旋转的角度，求旋转的角度n.ABCDEFGHn 例例5 如图，正方形如图，正
12、方形ABCD的边长为的边长为1，G为为CD 边上的一个动点边上的一个动点(点点G与点与点C、D不重合不重合)， 以以CG为一边向正方形为一边向正方形ABCD外作正方形外作正方形 GCEF，连结，连结DE交交BG的延长线于的延长线于H.（1）求证：）求证： BCGDCE； BHDE；（2）当点）当点G运动到什么位置运动到什么位置 时，时，BH垂直平分垂直平分DE？ 请说明理由请说明理由.图2图1 （0707资阳）资阳） 如图如图1，已知，已知P为正方形为正方形ABCD的对的对角角 线线AC上一点上一点(不与不与A、C重合重合)，PEBC于于点点 E，PFCD于点于点F.n(3) 试选取正方形试选
13、取正方形ABCD的两个顶点，分别与四的两个顶点，分别与四边形边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形在四边形PECF绕点绕点C按逆时针方向旋转的过程按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论中长度始终相等，并证明你的结论 .变式变式1：将正方形将正方形CEPF绕点绕点C旋转到旋转到如下位置，取线段如下位置，取线段PA的中点的中点M.探究：线段探究：线段MD、ME的关系，并加以的关系，并加以证明证明.北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心ABCDEFPMHABCDEPFHMABCDEFPHM北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研
14、修中心设正方形设正方形ABCD的边长为的边长为b，正方形，正方形PECF的边长为的边长为a(b2a),（1）求）求PDB的面积的面积北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心ABCDPFMEH（2）正方形）正方形PECF在绕点在绕点C旋转过程中，旋转过程中，PDB的面积是否存在最大值和最小值？的面积是否存在最大值和最小值？ABCDEFPMNPDABEFCG图图1n（0808北京）北京）请阅读下列材料：请阅读下列材料：n问题：如图问题：如图1，在菱形，在菱形ABCD和菱形和菱形BEFG中，中，点点A、B、E在同一条直线上，在同一条直线上，P是线段是线段DF的中点，连结的中点，连结PG、PC
15、若若ABC=BEF=60，探究，探究PG与与PC的位置的位置关系及关系及PG:PC的值的值n小聪同学的思路是：延长小聪同学的思路是：延长GP交交DC于点于点H，构造全等，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：同学的思路，探究并解决下列问题：n（1）写出上面问题中线段）写出上面问题中线段PG与与PC的位置关系及的位置关系及 PG:PC的值；的值；北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心H（2）将图）将图1中的菱形中的菱形BEFG绕点绕点B顺时针旋转，使顺时针旋转，使其对角线其对角线BF恰好与菱形恰好与菱
16、形ABCD的边的边AB在同一条直在同一条直线上，原问题中的其他条件线上，原问题中的其他条件不不变（如图如图2）.你在你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明的猜想并加以证明（3）若图）若图1中中ABC=BEF=2(090)，将将菱形菱形BEFG绕点绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的其他条件不变，请你直接写出PG:PC 的值（用的值（用含含的式子表示）的式子表示）北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心DCGPABEF图2HABCDEPFP例例6 6：如图，四边形如图，四
17、边形ABCD是正方形，点是正方形，点M是是AD边上不同于边上不同于A、D的点，点的点，点N是是CD的中点的中点. 若若sinABM= ，求证：求证：NMB=MBC.ABCDMNP方法一：构造三角形证明等腰方法一：构造三角形证明等腰一题多解，开阔思路一题多解，开阔思路方法二：构造梯形证明等腰方法二：构造梯形证明等腰 n作作NQMB交交BC于点于点Q.ABCDMNQ方法三：转移角方法三：转移角构造全等三角形构造全等三角形n作作BHMN于点于点H，连结，连结BN.ABCDMNH方法四：转移角方法四：转移角构造相似三角形构造相似三角形n作作NEMB于点于点E，连结，连结BN.ABCDMNE方法五：作中
18、位线转移角方法五：作中位线转移角n作作NFBC交交MB于点于点F.ABCDMNFK方法六：旋转图形转移角方法六：旋转图形转移角 延长延长DC到到G， 使使CG=AM.ABCDMNG 反反 思思n涉及的知识涉及的知识n使用的方法使用的方法n体现的思想体现的思想n达到的目的达到的目的n变式变式1 1 如图，四边形如图，四边形ABCD是正方形，点是正方形，点M是是AD边上边上 不同于不同于A、D的点，的点， 若若sinABM= ，求证：求证：ABCDMNP思路：构造等腰三角形，利用相似证全等思路：构造等腰三角形，利用相似证全等一题多变，思维灵活一题多变，思维灵活点点N是是CD的中点的中点.NMB=M
19、BC.Hn如图，四边形如图，四边形ABCD是正方形，点是正方形，点M是是AD边上不边上不同于同于A、D的点，点的点，点N是是CD的中点的中点. 若若求证：求证：ABCDMNP思路：构造等腰三角形，利用勾股定理思路：构造等腰三角形，利用勾股定理变式变式2 2NMB=MBC.sinABM= 求：求：?xa-xa/2(2a-x)/2aS=12- -atanAFB=3tanAFB=2k+1教材九上教材九上P75-5n例例7 已知点已知点C在线段在线段BD上，在上，在BD的同侧作两的同侧作两个等边三角形个等边三角形ABC和和ECD， AD交交CE于于点点G， BE交交AC于点于点F，交，交AD于点于点P
20、.北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心ABDCEFGP由题设可以得到哪些结论？由题设可以得到哪些结论？连结连结FG，求证：，求证： FGBD.DAC可以看作是可以看作是EBC经过什么样的变换经过什么样的变换得到的？说明理由得到的？说明理由.深化结论深化结论n如果点如果点C是是BD上一动点，上一动点，BD=10. 当点当点C运动到什么位置时，线段运动到什么位置时，线段FG有最大值？有最大值？最大值是多少？最大值是多少？北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心ABDCEFGPx10-xy变换图形变换图形n如果两个等边三角形不在如果两个等边三角形不在BD的同侧，还的同侧，还会有什
21、么结论成立会有什么结论成立?北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心（07锦州锦州）（）（1）如图）如图1，ABC和和CEF是两个是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接连接AF和和BE，线段，线段AF和和BE有怎样有怎样的大小关系？请证明你的结论；的大小关系？请证明你的结论；（2）将图）将图1中的中的CEF绕点绕点C旋转一旋转一定的角度定的角度,得到图得到图2，（，（1）中的结）中的结论还成立吗？作出判断并说明理由；论还成立吗？作出判断并说明理由；（3）若将图）若将图1中的中的ABC绕点绕点C旋转旋转一定的角度，请你画出一个变换后一定
22、的角度，请你画出一个变换后的图形（草图即可）（的图形（草图即可）（1）中的结）中的结论还成立吗？作出判断不必说明理论还成立吗？作出判断不必说明理由；根据以上证明、说理、画图，由；根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现归纳你的发现 .（东城二模东城二模）图（图（1）是边长不等的两个等边三角形纸片）是边长不等的两个等边三角形纸片ABC和和CDE叠放在一起（叠放在一起（C与与C重合）重合）.（1）操作：固定）操作：固定ABC，将，将CDE绕点绕点C顺时针旋转顺时针旋转30得到得到CDE，连结，连结AD、BE，CE的延长线交的延长线交AB于于F（图（图（2）；）； 探究：在图（探究：在图（2）中，线段
23、）中，线段BE与与AD之间有怎样的大小关系？试之间有怎样的大小关系？试证明你的结论证明你的结论（2）操作：将图（）操作：将图（1）中的）中的CDE固定，将固定，将ABC 移动，使顶移动，使顶点点C落在落在CD的中点，边的中点，边AC交交ED于于M，边，边BC交交CE于于N . 若若CDE的边长为的边长为a，ACD= ( (3090)如图如图(3); 探究：在图（探究：在图（3）中线段）中线段CNDM的值是否随的值是否随的变化而变化？如的变化而变化？如果没有变化，请求出果没有变化，请求出CNDM的值；如果有变化，请说明理由的值；如果有变化，请说明理由.a北京市东城区教师研修中心()()两点在一条
24、直线异侧两点在一条直线异侧已知：如图，已知：如图，A，B在直线在直线L的两侧，在的两侧，在L上求一上求一点，使得点，使得PA+PB最小。最小。 根据：根据：两点之间线段最短两点之间线段最短. 连接连接AB,线段线段AB与直线与直线L的交点的交点P ，就是所求。，就是所求。北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心P已知：如图已知：如图, 点点A、B在直线在直线L的同一侧，在的同一侧，在L上求一上求一点，使得点，使得PA+PB最小最小.BP() () 两点在一直线同侧两点在一直线同侧AB如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为8，点，点M在在DC 上，且上，且DM=2，N是是AC上
25、一动点，则上一动点，则 DN+MN的最小值为的最小值为 .MDCBA 如图，点如图，点A是半圆上一个三等分点，点是半圆上一个三等分点，点B是是弧弧AN 的中点，点的中点，点P是直径是直径MN上的一上的一动点，动点， O的半径为的半径为1，则，则AP+PB的最小的最小值为值为 BAPONM()()一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，在内部任意一点，在MON的两边的两边OM、ON上各取一点上各取一点B、C，组成，组成三角形，使三角形周长最小三角形，使三角形周长最小.北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心BCDEMONA（）两点在两
26、相交直线内部）两点在两相交直线内部(P47-9)(P47-9) 如图如图,A,A是马厩是马厩,B,B为帐篷为帐篷, ,牧马人某一天要从马牧马人某一天要从马厩牵出马厩牵出马, ,先到草地边某一处牧马先到草地边某一处牧马, ,再到河边饮再到河边饮马马, ,然后回到帐篷然后回到帐篷. .请你帮他确定这一天的最短请你帮他确定这一天的最短路线路线. .北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心ABABCD 在直角坐标系中，有四个点在直角坐标系中，有四个点在直角坐标系中，有四个点在直角坐标系中，有四个点A A（-8-8，3 3）、）、）、）、B B（-4-4，5 5）、）、）、）、C C（0 0，
27、n n）、）、）、）、D(mD(m，o),o),当四边形当四边形当四边形当四边形ABCDABCD的周长最短时，求的周长最短时，求的周长最短时，求的周长最短时，求m/nm/n的值。的值。的值。的值。北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心0606年北京年北京24已知抛物线已知抛物线y=ax2+bx+c与与y轴交于点轴交于点A(0，3)，与，与x轴分别交于轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点两点.（1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2）若点）若点D为线段为线段OA的一个三等分点，求直线的一个三等分点，求直线DC的解析式；的解析式；（3）若一个动点）若一个动点P自自OA的中
28、点的中点M出发，先到达出发，先到达x轴轴上的某点上的某点(设为点设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点设为点F)，最后运动到点，最后运动到点A.求使点求使点P运动的总路径运动的总路径最短的点最短的点E、点、点F的坐标，并求出这个最短总路径的的坐标，并求出这个最短总路径的长长.北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心 已已知知如如图图 ,线线 段段 AB,CD在在直直线线 L上上,且且CD=3，试试确确定定 C,D的的位位置置，使使 四四边边形形 ABDC的的周周长长最最短短 .ABBBCDL()()线段
29、在一直线外线段在一直线外0909衢州衢州n24. 如图如图,已知点已知点A(-4，8)和点和点B(2，n)在抛物线在抛物线y=ax2上上 (1)求求a的值及点的值及点B关于关于x轴对称点轴对称点P的坐标，并在的坐标，并在x轴上轴上找一点找一点Q，使得，使得AQ+QB最短，求出点最短，求出点Q的坐标；的坐标； 4x22 A 8-2O- -2-4 y BCDQD (2)平移抛物线，记平移后点平移抛物线，记平移后点A的对应点为的对应点为A,点点B的对应的对应点为点为B,点点C(-2，0)和点和点D(-4，0)是是x轴上的两个定点轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时当抛物线向左平移到某个位置时,
30、 AC+CB 最短，最短， 求此时抛物线的函数解析式；求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，当抛物线向左或向右平移时， 是否存在某个位置，使四边形是否存在某个位置，使四边形 ABCD的周长最短？若存在，的周长最短？若存在， 求出此时抛物线的函数解析式；求出此时抛物线的函数解析式； 若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由APP（0808义乌）义乌）n16如图，直角梯形纸片如图，直角梯形纸片ABCD，ADAB，AB=8，AD=CD=4，点，点E、F分别在线段分别在线段AB、AD上，将上，将AEF沿沿EF翻折，点翻折，点A的落点记为的落点记为P（1）当）当AE=5，P落在线段落在线段
31、CD上时，上时，PD= ；（2）当）当P落在直角梯形落在直角梯形ABCD内部时，内部时，PD的最的最小值等于小值等于 8445？5H2 2（0909陕西）陕西）n16如图，在锐角如图，在锐角ABC中，中，AB=42，BAC=45, BAC的平分线交的平分线交BC于点于点D, ,M、 N分别是分别是AD和和AB上的动点，则上的动点，则BM+MN的最的最小值是小值是_ ABCDNMNNM4 4N“一题多变一题多变”的常用方法有：的常用方法有： 1. 变换命题的条件与结论；变换命题的条件与结论；2. 减弱条件，加强结论；减弱条件，加强结论；3. 保留条件，深化结论；保留条件，深化结论；4. 探讨命题
32、的推广；探讨命题的推广；5. 考查命题的特例；考查命题的特例；6. 生根伸枝，图形变换；生根伸枝，图形变换；7. 接力赛，一变再变；接力赛，一变再变；8. 解法的多变等解法的多变等. 北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心n在完成一个数学题的解答时，有必要对在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质问题的实质.如果能对一个普通的数学题如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法，进行一题多变，从变中总结解题方法，从变中发现解题规律，从变中发现从变中发现解题规律，从变中发现“不不变变”，就能达到知一题，得一串，通一，就能达到知一题，得一串，通一片的目的片的目的.北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心
