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1、多自由度系统振动,第四章,4,2019年7月1日,振动力学,2,教学内容,多自由度系统的动力学方程 多自由度系统的自由振动 频率方程的零根和重根情形 多自由度系统的受迫振动 有阻尼的多自由度系统,多自由度系统振动,2019年7月1日,振动力学,3,多自由度系统的自由振动,固有频率 模态 模态的正交性 主质量和主刚度 模态叠加法 模态截断法,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,2019年7月1日,振动力学,4,小结：固有频率,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/固有频率,M 正定，K 正定,主振动：,正定系统：,代入振动方程：,有非零解的充分必要条件：,特征方程,频率方程或特
2、征多项式,最小的固有频率： 为基频。,自由振动的位移方程：,主振动：,代入，得：,特征方程：,2019年7月1日,振动力学,5,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态,特征值,特征向量,（固有频率）,（模态）,在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过程称为归一化 。,描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶主振型，或第 i 阶模态。,主振动仅取决于系统的 M 阵、K 阵等物理参数。,的任一非零列都是第 i 阶主振动,比较：,因为有：,小结：模态,特征值问题：,2019年7月1日,振动力学,6,模态的正交性，主质量和主刚度,两式相减：,转置右乘,左乘,
3、若 时，,模态关于质量的正交性,模态关于刚度的正交性,均满足：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度,当 ij 时,第 i 阶模态主质量,第 i 阶模态主刚度,第 i 阶主模态,恒成立,2019年7月1日,振动力学,7,模态关于质量的正交性,模态关于刚度的正交性,当 ij 时,主质量,主刚度,当 时,利用 Kronecker 符号：,第 i 阶固有频率：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度,2019年7月1日,振动力学,8,主模态：,多自由度系统：,另一种模态：正则模态,定义：全部主质量皆为1的主模态,令：,正则模态和主模态之间
4、的关系：,相对于 的主刚度：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度,2019年7月1日,振动力学,9,正则模态的正交性条件：,主模态的正交性条件：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度,2019年7月1日,振动力学,10,多自由度系统：,主模态,将 组成矩阵,模态矩阵,主质量矩阵,主刚度矩阵,正交性条件：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度,对角阵,2019年7月1日,振动力学,11,推导：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度,对角阵,2019年7月1日,振动力学
5、,12,多自由度系统：,正则模态,将 组成矩阵,正则模态矩阵,单位矩阵,谱矩阵,正交性条件：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度,2019年7月1日,振动力学,13,多自由度系统：,特征值问题：,依次取 ，得到的 n 个方程，可合写为：,主模态正交性条件：,左乘 ：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度,2019年7月1日,振动力学,14,例：三自由度系统,模态矩阵：,主质量矩阵：,主刚度矩阵：,Kp、Mp非对角线项等于零说明主振型是关于刚度阵及质量阵相互正交的.,谱矩阵：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，
6、主质量和主刚度,2019年7月1日,振动力学,15,模态矩阵：,主质量矩阵：,主刚度矩阵：,谱矩阵：,正则模态和主模态之间的关系：,正则模态矩阵：,不难验证，有：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度,2019年7月1日,振动力学,16,小结：模态的正交性，主质量和主刚度,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度,若 时，,模态关于质量的正交性,模态关于刚度的正交性,当 ij 时，,第 i 阶模态主质量,第 i 阶模态主刚度,第 i 阶固有频率：,正则模态：全部主质量皆为1；,正则模态和主模态之间的关系：,相对于 的主刚度：,2019
7、年7月1日,振动力学,17,模态叠加法,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态叠加法,回顾：耦合与坐标变换,质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。,刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。,耦合的表现形式取决于坐标的选择,同一个系统选择两种不同的坐标X 和Y 有变换关系：,坐标X下系统：,坐标Y 下系统：,其中T 是非奇异矩阵,2019年7月1日,振动力学,18,模态叠加法,表明它们是线性独立的，可用于构成 n 维空间的基。,系统的任意 n 维自由振动可唯一地表示为各阶模态的线性组合。,即系统的振动为 n 阶主振动的叠加,模态叠加法,物理坐标,主模态坐标,模态矩阵,坐标关系：,多自
8、由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态叠加法,2019年7月1日,振动力学,19,另一种模态坐标：正则模态坐标,物理坐标,系统响应：,正则模态矩阵,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态叠加法,2019年7月1日,振动力学,20,小结：,多自由度系统：,可采用两类模态坐标进行描述：,主模态坐标,正则模态坐标,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态叠加法,2019年7月1日,振动力学,21,求解无阻尼系统对初始条件的响应,可分别采用两类模态坐标进行求解。,首先采用主模态坐标：,自由振动方程：,坐标变换：,：主模态坐标,：主模态矩阵,代入，并左乘 ：,模态坐标初始条
9、件：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态叠加法,2019年7月1日,振动力学,22,自由振动方程：,坐标变换：,在求得 后，可利用 式求得原系统的解。,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态叠加法,2019年7月1日,振动力学,23,求解无阻尼系统对初始条件的响应,采用正则模态坐标:,自由振动方程：,坐标变换：,：正则模态坐标,：正则模态矩阵.,代入，并左乘 ：,模态坐标初始条件：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态叠加法,2019年7月1日,振动力学,24,自由振动方程：,坐标变换：,在求得 后，可利用 式求得原系统的解 。,多自由度系统振动 /
10、多自由度系统的自由振动/模态叠加法,2019年7月1日,振动力学,25,例：三自由度弹簧质量系统,求：系统在初始条件下的响应。,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态叠加法,2019年7月1日,振动力学,26,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,解：,动力学方程：,模态初始条件：,正则模态矩阵：,固有频率：,2019年7月1日,振动力学,27,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,模态坐标响应：,2019年7月1日,振动力学,28,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,原系统响应：,2019年7月1日,振动力学,29,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自
11、由振动,也可展开求解：,合并后结果完全一样,2019年7月1日,振动力学,30,分析：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,第1阶模态响应,第2阶模态响应,第3阶模态响应,第1阶模态,第2阶模态,第3阶模态,2019年7月1日,振动力学,31,分析：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,系统响应为各阶模态响应的叠加,第1阶模态响应,第2阶模态响应,第3阶模态响应,第1阶模态,第2阶模态,第3阶模态,多自由度系统模态叠加法的本质原因,第1阶模态主振动,第2阶模态主振动,第3阶模态主振动,（以w1为振动频率）,（以w2为振动频率）,（以w3为振动频率）,决定各质量每一时刻位移的
12、相对比值,2019年7月1日,振动力学,32,小结: 模态叠加法,耦合,解耦,耦合,解耦,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态叠加法,2019年7月1日,振动力学,33,随堂测试：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,如图所示量自由度系统。,系统存在初始条件：,试采用模态叠加法求解系统响应。,2019年7月1日,振动力学,34,解：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,运动微分方程为：,令主振动：,或直接用,有：,令,为求主振型，依次将 代入 ,得到：,即有模态矩阵：,频率：,根据：,2019年7月1日,振动力学,35,模态叠加法,多自由度系统振动 / 多自由
13、度系统的自由振动/模态叠加法,回顾：耦合与坐标变换,耦合的表现形式取决于坐标的选择,同一个系统选择两种不同的坐标X 和Y 有变换关系：,坐标X下系统：,坐标Y 下系统：,其中T 是非奇异矩阵,如果恰巧Y 是主坐标：,对角阵,这样的T 物理上是否存在？,2019年7月1日,振动力学,36,解：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,运动微分方程为：,有模态矩阵：,频率：,坐标变换：,模态空间的初始条件为,系统存在初始条件：,2019年7月1日,振动力学,37,解：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,运动微分方程为：,有模态矩阵：,频率：,模态空间的初始条件为,所以有：,201
14、9年7月1日,振动力学,38,模态截断法, 对自由度数 n 很大的复杂振动系统，不可能求出全部的固有频率和相应的主振型，然后用模态叠加法分析系统对激励的响应。, 当激励频率主要包含低频成分时，可以撇去高阶振型及固有频率对响应的贡献，而只利用较低的前面若干阶固有频率及主振型近似分析系统响应。,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,模态截断法或振型截断法,截断前：,截断后：,2019年7月1日,振动力学,39,n 自由度系统,将前 r 阶模态 中组成的截断模态矩阵记为:,截断的主质量矩阵和主刚度矩阵,截断前,主质量,主刚度,截断后,分别为前 r 个主质量和主刚度排成的 r 阶对角矩阵 。,
15、多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态截断法,2019年7月1日,振动力学,40,分别为前 r 个主质量和主刚度排成的 r 阶对角矩阵,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,刚度阵同此,2019年7月1日,振动力学,41,截断后的主质量矩阵：,截断后的主刚度矩阵：,系统的任意 n 阶振动近似地表示为截断后的 r 阶模态和线性组合：,截断后的主坐标列阵,利用模态截断法可将 n 自由度系统原有的 n 个坐标变换成较少的前 r 个主坐标 。,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态截断法,2019年7月1日,振动力学,42,n 自由度系统：,代入,并左乘,得：,求出 后，再利用 得到原 n 自由度系统的近似解,注：采用正则模态时，过程同上.,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态截断法,问：模态截断法是否可以处理初始值问题？,2019年7月1日,振动力学,43,小结：模态截断法,将前 r 阶模态 中组成的截断模态矩阵记为:,截断前,主质量,主刚度,截断后
