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1、利用外接圆的性质巧解几何题摘要 通过巧作外接圆的辅助线，利用外接圆的性质转化原有的题设条件，开阔解题思路，给出有关三角形、四边形等的几何问题解题的新思路，以及托勒密定理在有关几何题的解题的应用，最后进一步推测正多边形外接圆上点的一些其他性质并给出证明。关键词 三角形外接圆 四边形外接圆 托勒密定理 正多边形外接圆上点的性质Using the nature of circumscribed circle to slove geometry skillfullyAbstract Through making the auxiliary line of circumscribed circle sk
2、illfully, use the nature of circumscribed circle to transform the original problem set conditions, widen our trains of thought in solving problems, then give some new thoughts to slove related triangle, quadrilateral and other geometric problems. Finally, giving a further speculation about some natu
3、re of dots on circumscribed circle of regular polygon and proving it. Keywords Triangle circumscribed circle Quadrilateral circumscribed circle Ptolemy theorem Nature of dots on circumscribed circle of regular polygon目录摘要I关键词：I第一章 引言1第二章 多边形外接圆的性质及作图依据1（一）多边形外接圆的定义1（二）多边形外接圆的性质1（三）作外接圆辅助线的依据1第三章 巧作外
4、接圆在有关三角形几何问题上的应用1（一）证明角相等1（二）求线段长3（三）证明线段间的关系3（四）最值问题 4第四章 巧作外接圆在有关四边形几何问题上的应用5（一）证明角相等5（二）证明线段间的关系61、证明两条线段相等62、证明线段成比例 6（三）证明两线间的位置关系71、证明两线平行72、证明两线垂直8（四）证明三点共线8（五）证明多点共圆9第五章 利用托勒密定理及其逆定理证明有关几何题10（一）托勒密定理10（二）托勒密逆定理10（三）定理的应用111、证明“勾股定理”112、证明等腰梯形一性质12 3、借助定理巧变原式妙构图形12第六章 进一步推测并证明正多边形外接圆上点的一些其他性质
5、14（一）正三角形外接圆上点的性质14性质114（二）正多边形外接圆上点的性质及其推广151、性质2及其推广152、性质3及其推广17结论22致谢语23References2323第一章 引言 众所周知，圆是一种基本图形,也是一种重要的辅助线。外接圆的性质是中学数学的一个重要知识，在一些几何的解题证明过程中，若能发现题目中所隐藏的外接圆的条件，进而巧作外接圆并恰当利用外接圆的性质转化原有的题设条件，可使解题过程简单化。因此，掌握这种解题策略，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。本文将给出巧作外接圆辅助线在解决几何问题上的应用，最后对正多边形外接圆上
6、点的性质进行推广并给出证明。第二章 多边形外接圆的性质及作图依据(一)、多边形外接圆的定义：经过多边形各个顶点的圆叫作该多边形的外接圆(二)、多边形外接圆的性质：1、多边形外接圆的圆心到各顶点的距离相等2、不在同一直线上的三点只能确定一个圆，即任意一个三角形都有外接圆3、在同一外接圆上同弧（或等弧）所对的弦、圆周角、圆心角、弦心距相等4、内接于圆的凸四边形对角互补且一外角等于内对角5、外接圆的直径所对的圆周角为直角6、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等 (若，7、托勒密定理：圆内接四边形中，两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积 (三)、作外接圆的依据：1、根据“到定
7、点的距离等于定长的点在同一个圆上”来添加辅助圆2、根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”来添加辅助圆3、根据“对角互补或一外角等于内对角的凸四边形内接于圆”来添加辅助圆4、根据“顶点在公共底边的同侧且对底边的张角相等的两个三角形有公共的外接圆”来添加辅助圆5、根据“托勒密定理及其逆定理证明四点共圆”来添加辅助圆 第三章 巧作外接圆在有关三角形几何问题上的应用任意一个三角形都有外接圆，然而题目中往往只见三角形，不见其隐藏的外接圆，在审题时若能准确的找出题目中的关键词和关键数据，将所给信息进行合理的转换，合理的取舍，利用三角形外接圆这一隐含的条件，将三角形外接圆的性质与题目中所给信息有效的结合起来
8、，借助外接圆这一辅助可使问题简单化，本章将从以下四个方面加以说明。(一)、证明角相等 例1、已知：如图3-1所示，在中，为内满足条件及的一个点求证：。 图3-1 分析：要证是的三等分线，即证。又，如果过点作的中垂线，此时考虑到与三角形外接圆相结合，即只需证，又所对的两圆周角，即转换到证明，又所对的两圆周角，所以只需证，即要证，此时又有，如果我们能证明，那么，即有，故首先需用题目所给条件先证明。 证明：如图1，过点作，连接并延长交外接圆于点，连接。 为 即 又又又，即又 ，即有，即又故为的三等分线(二)、求线段长 例2、如图3-2，已知：和中，,，求。 图3-2分析：根据有公共斜边的直角三角形定
9、有公共外接圆这一性质，可得如下解法。 解：作的外接圆O，则是O 的直径，点在O上，点关于直径的对称点也在O上 ，连结, 则有 = ,. 由余弦定理有 (三)、证明线段间的关系例3、已知：如图3-3，为等边三角形，为上一点求证：。 图3-3 分析：根据所求的式子，可联想到作辅助圆，利用相交弦定理证明 证明：作的外接圆，延长交所作辅助圆于，连结 为等边三角形 由相交弦定理，得 （四）、最值问题 例4、如图3-4，已知在直角坐标系内有一点，另一点满足，求的最大值。 图3-4 分析: l：，因此利用正弦定理可将三角形的角、对边、和外接圆的半径巧妙的联系起来，从而打开了思路。 解：设的外接圆为圆，其半径
10、为 点的轨迹为直线l： 由图可知为锐角，在中根据正弦定理得：即 圆心在线段的中垂线上，点在直线l上当圆与直线l相切时，第四章 巧作外接圆在有关四边形几何问题上的应用 “四点共圆”是平面几何中的重点内容，它在几何中的应用非常广泛，然而不像三角形那样并非所有的四边形都有外接圆，其必须满足一定的性质条件，因此在有关四边形几何问题的解题过程中，若能转换题目所给的条件，利用外接圆的性质将题目中隐藏的外接圆辅助线作出，并应用四点共圆的性质解题，对开阔解题思路，提高解题能力十分有益，本章将从以下五个方面加以说明。（一）、证明角相等例5、已知：如图4-1，为O外一点，切O于，切O于，交于，弦过点求证：图4-1
11、 分析：要证，只需证，即证明四点共圆即可，此时依据题目所给条件结合外接圆的性质中射影定理、相交弦定理即可获证。证明：连结，依题意易知由射影定理，得 又，则 由相交弦定理，得 从而有 四点共圆，则易得 （二）、证明线段间的关系 1、证明两条线段相等 例6、已知：如图4-2，在正方形中，交的平分线于求证： 图4-2 分析：已知，要证，只要证即可 证明：连结，又 2、证明线段成比例例7、已知：如图4-3，在O中，切O于点O于点上任意一点， 求证： 图4-3分析：只需证所在的两个三角形相似。证明：连结 由于 四点共圆 又 四点共圆 ，即有同理从而故所证成立（三）、证明两线间的位置关系1、证明两线平行例8、已知：如图4-4，在中，的两条三等分线交于，交于求证：。 图4-4分析：要证，即证，故只需依据对称性的性质结合等角之间的转化及证明四点共圆即可。证明：连接，的两条三等分线交于 由对称性知，为的三等分线即又即四点共圆，即有又故有2、证明两线垂直例9：已知：如图4-5，为等边三角形，分别为边上的点，且，与相交于点求证： 图4-5分析：利用对角互补或一外角等于内对角的凸四边形内接于圆，再应用外接圆直径所对的周角为，从而打开思路。证明：连接， ，即可得四点共圆 设点为的中点，则四点在以为圆心，为直径的圆上
