第7章节非线性系统分析课件

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1、严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性特性，所以实际的自动控制系统都是非线性系统。 本章主要介绍分析非线性系统的两种常用方法：相平面法和描述函数法。,第7章 非线性系统分析,内 容 提 要,知 识 要 点,非线性系统的特点，非线性系统的相平面法分析-相轨迹、奇点、奇线、极限环，非线性系统的描述函数法-描述函数的定义、非线性环节的描述函数、自持振荡的条件，非线性系统的校正。,7.1 非线性系统概述 控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件或环节时，此系统则为非线性系统。 7.1.1 非线性系统的特点,1非线性系统的数学描述,2.系统的瞬态响应,3.系统的稳定性,4.系统的自持振荡（自激

2、振荡）,5.多值响应和跳跃谐振,7.1.2非线性系统的分析和设计方法 非线性系统采用非线性微分方程描述，至今尚没有统一的求解方法，其理论也还不完善。由于非线性系统的特点，线性系统的分析方法均不能采用。分析非线性系统工程上常采用的方法有： 1线性化近似法 对于某些非线性特性不严重的系统，或系统仅仅只研究平衡点附近特性时，可以用小偏差线性化方法，将非线性系统近似线性化。,2分段线性近似法 将非线性系统近似为几个线性区域，每个区域有对应的线性化微分方程描述。 3相平面法 相平面法是非线性系统的图解分析法，采用在相平面上绘制相轨迹曲线，确定非线性系统在不同初始条件下系统的运动形式。该方法只适用最高为二

3、阶的系统。,4描述函数法 描述函数法是线性系统频率特性法的推广，采用谐波线性化将非线性特性近似表示为复变增益环节，应用频率法分析非线性系统的稳定性和自持振荡。该方法适用于非线性系统中线性部分具有良好的低通滤波特性的系统。,5李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统稳定性。原则上适用所以非线性系统，但对大多数非线性系统，寻找李雅普诺夫函数相当困难，关于李雅普诺夫法在现代控制理论中作祥解。 6计算机辅助分析 利用计算机模拟非线性系统，特别上采用MATLAB软件工具中的Simulink来模拟非线性系统方便且直观，为非线性系统的分析提供了有效工具。,7.2 典型非线性特性 按非线

4、性环节特性的形状可以将非线性环节划分为死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性等。,死区特性（不灵敏区）,死区特性的的数学描述为：,死区特性对系统性能的影响： （1）由于死去的存在，增大了系统的稳态误差，降低了系统的控制精度； （2）若干扰信号落在死区段，可大大提高系统的抗干扰能力。 2饱和特性,饱和特性对系统性能的影响： （1）将使系统的开环增益有所降低，对系统的稳定性有利； （2）使系统的快速性和稳态跟踪精度下降。 有时从系统安全性的考虑，常常加入各种限幅装置，其特性也属饱和特性。,3间隙特性（回环特性）,间隙特性对系统的影响： 一般来说，间隙使系统输出相位滞后，降低了系统的稳定裕量，控制系

5、统的动态特性变坏，甚至使系统振荡； 间隙的存在使系统的稳态误差扩大，稳态特性变差。,4继电器特性,继电器特性可包含理想继电器特性、死区继电器特性、回环继电器特性和死区加回环继电器特性如图所示。,（1）理想继电器特性,（2）死区继电器特性,（3）回环继电器特性,（4）死区加回环继电器特性,7.3 相平面分析法 相平面法是庞加莱（Poincare）提出的，它是一种求解二阶非线性微分方程组的图解法，它比较直观、准确地反映系统的稳定性、平衡状态的特性、不同初始状态和输入信号下系统的运动形式。虽然相平面法适用一阶、二阶非线性控制系统的分析，但它形成特定的相平面法，它对弄清高阶非线性系统的稳定性、极限环等

6、特殊现象，也起到了直观形象的作用。,7.3.1 相平面的基本概念 设二阶非线性系统的微分方程为：,若令 则二阶系统可写成两个一阶微分方程，即,第1章 引 论,1.相平面，相点和相轨迹,以 为横坐标， 为纵坐标的平面称为相平面，相应的分析法称为相平面法； 相平面上的点称为相点； 由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称为相平面轨迹，简称相轨迹； 不同初始条件下构成的相轨迹，称为相轨迹族，由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。,第1章 引 论,2.相轨迹方程和平衡点,考察二阶非线性时不变微分方程:,引入相平面的概念，将二阶微分方程改写成二元一阶微分方程组:,第1章 引 论,一般形式为,消去时间

7、变量t，得到相轨迹的斜率方程,求解可得相轨迹方程，即,表示相平面上的一条曲线，即相轨迹。,第1章 引 论,相轨迹的性质：,1.一般情况下，相轨迹不相交。相点 处的斜率由,唯一确定，不同条件下的相轨迹是不会相交。,2. 当某一相点 满足,第1章 引 论,此时两个状态变量对时间的变化率都为零，系统的状态不再发生变化，即系统到达了平衡状态，相应的状态点（相点）称为系统的平衡点。平衡点处有的斜率,第1章 引 论,则上式不能唯一确定其斜率，相轨迹上斜率不确定的点在数学上也称为奇点，故平衡点即为奇点。 奇点处，由于相轨迹的斜率dx2dx1为不定值，可理解为有多条相轨迹在此交汇或由此出发，即相轨迹可以在奇点

8、处相交。,7.3.2 线性系统的相轨迹 线性二阶系统微分方程为:,相轨迹的斜率方程为:,系统的奇点(平衡点)满足,解得,为系统的奇点。,系统的特征根为,对于不同的阻尼比二阶系统的特征根不同，系统的时域响应由特征根决定，而时域响应和响应的导数决定系统的相轨迹。,第1章 引 论,1、无阻尼运动（=0） 此时系统特征根为一对共轭虚根，相轨迹方程变为,对上式分离变量并积分，得,式中，A为由初始条件决定的积分常数。,第1章 引 论,初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。,无阻

9、尼二阶线性系统的相轨迹,第1章 引 论,2、欠阻尼运动（01） 系统特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根,系统的零输入解为 式中,A、B、为由初始条件确定的常数。时域响应过程是衰减振荡的。,第1章 引 论,可求出系统有一个位于相平面原点的平衡点（奇点），不同初始条件出发的相轨迹呈对数螺旋线收敛于该平衡点，这样的奇点称为稳定焦点。,欠阻尼二阶线性系统的响应和相轨迹,第1章 引 论,3、过阻尼运动（1） 系统特征根为两负实根,已知系统零输入解的表达式为 式中,A1,A2初始条件决定的常数；1,2特征根,第1章 引 论,不同初始条件下系统的响应曲线如图所示。相轨迹是一族汇聚到原点的抛物线，单调地趋

10、于平衡点(奇点)坐标原点，如图所示。这种奇点称为稳定节点。,过阻尼二阶线性系统的响应和相轨迹,第1章 引 论,4、负阻尼运动(0)（系统不稳定，根据极点位置分三种情况分别讨论）,(l)-10时,特征根为S右半平面的共轭复根,响应为振荡发散,相轨迹是一族从原点向外卷的对数螺旋线,如图所示。 奇点为坐标原点,称为不稳定焦点。,-10 时的相轨迹,第1章 引 论,(2) -1时，特征根是两个正实根，响应为单调发散，相轨迹是一族从原点出发向外单调 发散的抛物线，如图所示。奇点为坐标原 点，称为不稳定节点。, -1时的相轨迹,第1章 引 论,(3)对图所示的正反馈二阶系统,方框图,其特征方程式为,特征根

11、为,第1章 引 论,特殊情况：,两边积分得：,双曲线方程,特征根为一正，一负,第1章 引 论,特征根为一对符号相反的实根，响应依然单调发散的，相轨迹是一族双曲线，如图所示。这时的奇点也是坐标原点，称为鞍点。,相轨迹,第1章 引 论,以上分析表明，二阶线性系统特征根在复平面上位置不同时，时域响应的形式不同，相轨迹的形状也完全不同。可见相轨迹的形状与系统闭环极点的位置密切相关，与奇点类型也密切相关。,第1章 引 论,第1章 引 论,第1章 引 论,7.3.3 二阶非线性系统的线性化,对于非线性系统，描述二阶非线性系统的微分方程为,表示非线性系统的平衡点（奇点），它往往不止一个。,第1章 引 论,对

12、于非线性系统，奇点类型与相轨迹的类型仅适用于奇点附近的区域。整个系统的相图就可能由几个不同类型的相轨迹组成。 对于非线性系统奇点性质分析，采用小范围线性化的方法。 假设奇点在坐标原点，将 在奇点附近展开成泰勒级数，并取一次近似，,第1章 引 论,假若平衡点在坐标原点时得：,第1章 引 论,令：,方程组可改写为,特征方程,线性化方程组,第1章 引 论,在一般情况下，线性化方程在平衡点附近的相轨迹与非线性系统在平衡点附近的相轨迹具有同样的形状特征。但是，若线性化方程求解至少有一个根为零，根据李雅普诺夫小偏差理论，不能根据一阶线性化方程确定非线性系统平衡点附近的特性，此时，平衡点附近的相轨迹要考虑高

13、阶项。,第1章 引 论,例：确定非线性系统的奇点及附近的相轨迹。,解：令,求得奇点（0，0），（-2，0）。,第1章 引 论,（1）奇点（0，0） 线性化方程为,特征根,（0,0)奇点为稳定焦点，其附近的相轨迹为收敛的对数螺旋线。,（2）奇点（-2，0） 奇点不在坐标原点，令 ，则原方程变为,第1章 引 论,线性化方程：,特征根S1=-1.69，S2=1.19（-2，0）奇点为不稳定的鞍点，相轨迹为双曲线。,第1章 引 论,系统的相平面图,第1章 引 论,对于非线性系统还有一种与线性系统不同的运动状态-自持振荡，它在相平面图上表现为一条孤立封闭曲线，称之为极限环或奇线。 极限环附近的相轨迹都卷

14、向极限环，或从极限环卷出。因此，极限环将相平面分成内部平面和外部平面，极限环内部（外部）的相轨迹，不能穿过极限环进入它的外部（内部）。,2. 极限环（奇线）,第1章 引 论,分析极限环邻近相轨迹的特点，可将极限环分成： （1）稳定极限环：极限环内部和外部的相轨迹均收敛于该极限环，稳定极限环对应稳定的自持振荡。 （2）不稳定极限环：极限环内部和外部的相轨迹均从该极限环发散出去，不稳定极限环对应不稳定的自持振荡。,第1章 引 论,（3）半稳定极限环：极限环内部和外部的相轨迹有一侧收敛于该极限环，而另一侧的相轨迹从极限环发散出去，半稳定极限环。 稳定的极限环可通过实验观察到。,7.3.4 相轨迹图的

15、绘制 绘制相轨迹图可采用解析法、图解法、实验法和计算机辅助法。 1解析法 解析法一般用于系统的微分方程比较简单或可以用分段线性化的方程。,例7-3 试绘制图7-15所示系统在三种情况下的,第1章 引 论,分别对应 平面上为开口向右，向左顶点在c轴上的两条抛物线。位置与初始条件或另一个区域的相轨迹与开关线的交点有关。 开关线是过坐标原点的直线，斜率与 值有关。,第1章 引 论,1。当 时，开关线为 轴，相轨迹由两个抛物线封闭组成，对应的运动是周期运动，如图所示。,第1章 引 论,2。当 时，开关线向右倾斜，位于1，3象限，相轨迹仍由两个抛物线组成，但每次切换时， 均增大，对应的运动是振荡发散运动，如图所示。,第1章 引 论,3。当 时，开关线向左倾斜，位于2，4象限，相轨迹仍由两个抛物线组成，但每次切换时， 均减小，对应的运动是振荡收敛运动，如图所示。,第1章 引 论,1、等倾线法 当系统相轨迹方程不易用解析法求解时,可使用等倾线法绘制系统的相轨迹。,将上式表示为：,对非线性系统：,第1章 引 论,其中， 是相轨迹的斜率，令 ， 为一常数，则有，,上式称为等倾线方程，,各相轨迹与该曲线交点的斜率相等，且等于 。,第1章 引 论,绘制思路：对于给定斜率 ，求解等倾线方程，得到一条等倾曲线。给定不同的值，可在相平面上绘制不同的等倾曲线。由给定的初始条件出发，沿各条等倾曲