《2019版理科数学一轮复习高考帮试题：微专题5 高考中的圆锥曲线问题（考题帮.数学理） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版理科数学一轮复习高考帮试题：微专题5 高考中的圆锥曲线问题（考题帮.数学理） （8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、微专题微专题 5 5 高考中的圆锥曲线问题高考中的圆锥曲线问题 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.已知双曲线 C: - =1(a0,b0)过点(,),其实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一 2 2 2 2 23 个等边三角形,则双曲线 C 的标准方程是( ) A. -y2=1B.x2- =1 C. - =1 D. - =1 2 1 2 2 3 2 9 2 3 2 2 3 2 3 2 2.设 F1,F2是双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点,P 为双曲线右支上一点,若F1PF2=90, 2 2 2 2 c=2,=3,则双曲线的两条渐近线的夹角为( ) 21 A. B. C.
2、D. 5 4 6 3 3.已知椭圆 + =1(ab0)的中心为 O,一个焦点为 F,若以 O 为圆心,|OF|为半径的圆与椭圆 2 2 2 2 恒有公共点,则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.,1) B.(0,C.,1)D.(0, 2 2 3 2 3 2 2 2 4.已知 M,N 为双曲线 -y2=1 上关于坐标原点 O 对称的两点, P 为双曲线上异于 M,N 的点,若 2 4 直线 PM 的斜率的取值范围是 ,2,则直线 PN 的斜率的取值范围是( ) 1 2 A.( , )B.- ,- C. , D.- ,- , 1 8 1 2 1 2 1 8 1 8 1 2 1 2 1 8 1 8
3、1 2 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知离心率为的椭圆 C: + =1(0b0)的离心率为,且过点 P(2,-1). 2 2 2 2 3 2 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设点 Q 在椭圆 C 上,且 PQ 与 x 轴平行,过 P 点作两条直线分别交椭圆 C 于 A(x1,y1),B(x2,y2)两 点,若直线 PQ 平分APB,求证:直线 AB 的斜率是定值,并求出这个定值. 图 5-1 8.(12 分)已知椭圆 C: + =1(ab0)的一个焦点为 F1(-,0), 且过点 T(,). 2 2 2 2 66 2 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P(0,
4、-1),直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且|PA|=|PB|.求OAB(O 为坐标原点)的面积 S 的 取值范围. 9.(12 分)如图 5-2,AB 为抛物线 x2=2py(p0)的弦,且以 AB 为直径的圆恒过原点 O(A,B 均不与 O 重合),AOB 面积的最小值为 16. (1)求抛物线的方程; (2)设过点 A,B 的切线的交点为 M,试问点 M 是否在某定直线上?若在,求出该直线的方程;若 不在,请说明理由. 图 5-2 10.(12 分)已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 B,A(2,0),C 为圆上任意一点,线段 AC 的垂直平分线 l 与线段 CB 的交点为
5、 P. (1)求点 P 的轨迹 的方程; (2)已知 Q 为曲线 上一动点,M(3,0),过 O(O 为坐标原点)作线段 QM 的垂线交曲线 于 E,D 两点,求的取值范围. | | 答案答案 1.B 由题意得 =tan 60=,又双曲线 C 过点(,),所以-=1,联立方程得 323 ( 2)2 2 ( 3)2 2 解得所以双曲线 C 的标准方程是 x2- =1,故选 B. = 3, 2 2 - 3 2 = 1, ? 2 = 1, 2 = 3, ? 2 3 2.D 由题意知化简得(|PF1|-|PF2|)2=4,结合图形(图略),可得|PF1|- | 1| 2 + |2|2= 16, 1 2
6、 | 1 | 2| = 3, ? |PF2|=2=2a,所以 a=1,b=,所以渐近线方程为 y=x,所以双曲线的两条渐近线 22 - 1 2 33 的夹角为 ,故选 D. 3 3.A 由于以 O 为圆心,以 b 为半径的圆内切于椭圆,所以要使以 O 为圆心,以 c 为半径的圆 与椭圆恒有公共点,需满足 cb,则 c2b2=a2-c2,所以 2c2a2,所以 1e,故选 A. 2 2 4.C 设 M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(m,n)(mx0),则 kPM=,kPN=.因为点 P,M,N 均在双曲线 - - 0 - 0 + 0 + 0 2 4 y2=1 上,所以-n2=1, -=
7、1,两式相减得-(n-y0)(n+y0)=0,化简得= ,即 2 4 2 0 4 2 0 ( - 0)( + 0) 4 - 0 - 0 + 0 + 0 1 4 kPMkPN= ,又 kPM2,即 2,解得 kPN ,故选 C. 1 4 1 2 1 2 1 4 1 8 1 2 5.2 由椭圆 C 的长半轴长 a=,离心率 e= =,知 c=1,所以 b=1,所以椭圆 C 2 2 2 2 2 - 2 的方程为 +y2=1,所以 A(0,1).设 P(x,y),由两点间的距离公式可得|PA|= 2 2 2+ ( - 1)2 =, 因为-1y1,所以当 y=-1 时,|PA|取得最大值 2. 2 -
8、22+ 2- 2 + 14 - ( + 1)2 6. 因为 2=+,所以=,所以 M 为线段 AB 的中点.设|AF|=x,|BF|=y,根据 3 3 + 2 抛物线的定义,知|MN|=,因为|AB|2=x2+y2-2xycos ,且|=|,所以 2=()2= + 2 | | |2 |2 =4(1-)4(1-)=2-2cos ,当且仅当 = 时取等号.因为 的最小值为 2+ 2- 2 2+ 2+ 2 4 2 + 2 + + 2 2 + 2 4 ,所以 2-2cos =()2,解得 cos =,又 00,得 8k2+2m2 (*), 则 x1+x2=-,x1x2=,所以可得 AB 的中点 M(-
9、,).(9 分) 8 1 + 42 4(2- 2) 1 + 42 4 1 + 42 1 + 42 因为|PA|=|PB|,所以 PMAB,所以 kPM=- ,化简得 1+4k2=3m,结合(*)可得 04=|AB|.(2 分) 所以点 P 的轨迹是以 B,A 为焦点,以 6 为长轴长的椭圆,设其方程为 + =1(ab0), 2 2 2 2 则 2a=6,2c=4,从而得 a=3,c=2,b2=a2-c2=5, 故点 P 的轨迹 的方程为 + =1.(4 分) 2 9 2 5 (2)由题意知,直线 QM 的斜率存在. 当直线 QM 的斜率为 0 时,|QM|=6,DE 为椭圆 的短轴, 则|DE
10、|=2,所以=.(5 分) 5 | | 2 5 6 5 3 当直线 QM 的斜率不为 0 时,设直线 QM 的方程为 y=k(x-3),Q(x0,y0), 故直线 DE 的方程为 y=- x, 1 由得(5+9k2)x2-54k2x+81k2-45=0, = ( - 3), 2 9 + 2 5 = 1 ? =(-54k2)2-4(5+9k2)(81k2-45)0,3+x0=, 542 5 + 92 即 x0=, 272 - 15 5 + 92 所以|QM|=.(8 分) ( 0- 3) 2 + (0- 0)2(1 + 2 )( 0- 3) 2 301 + 2 92+ 5 由得(5k2+9)x2
11、=45k2, = - 1 , 2 9 + 2 5 = 1 ? 所以|DE|=|=6, 1 + ( - 1 ) 2 6 5| 52+ 9 5 1 + 2 52+ 9 所以=.(10 分) | | 6 5 1 + 2 52+ 9 301 + 2 92+ 5 5 5 92+ 5 52+ 9 令 t=3,则=(9t- )(t3), 52+ 9 | | 5 5 9( 2 5 - 9 5) + 5 5 25 56 设 g(t)=9t- (t3),则 g(t)=9+ 0,所以 g(t)在(3,+)上是增函数,于是 g(t)93- = ,所以 56 56 2 56 3 25 3 | | =. 5 25 25 3 5 3 综上,的取值范围是,+). （12 | | 5 3 分）
