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1、第十五章推理与证明题组1合情推理与演绎推理1.2016北京,8,5分理袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多2.2015 山东,11,5分理观察下列各式:C10=40;C30+C31=41;C50+C51+C52=42;C70+C71+C72+C73=43;照此规律,当nN*时,C2n-10+C2
2、n-11+C2n-12+C2n-1n-1=.3.2014安徽,12,5分如图15-1,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=22.过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;,依此类推.设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,A5A6=a7,则a7=.图15-14.2014陕西,14,5分理观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.题组2直接证明与间接证明5.2017北京,20,13分理设an和bn是两个等差数列,记cn=maxb1-
3、a1n,b2-a2n,bn-ann(n=1,2,3,),其中maxx1,x2,xs表示x1,x2,xs这s个数中最大的数.()若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明cn是等差数列;()证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当nm时,cnnM;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,是等差数列.6.2015江苏,20,16分理设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d0)的等差数列.(1)证明:2a1,2a2,2a3,2a4依次构成等比数列;(2)是否存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列?并说明理由;(3)是否存在a1,d及正整数n,
4、k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列?并说明理由.题组3数学归纳法7.2014安徽,21,13分理设实数c0,整数p1,nN*.()证明:当x-1且x0时,(1+x)p1+px;()数列an满足a1c1p,an+1=p-1pan+cpan1-p.证明:anan+1c1p.A组基础题1.2018郑州一中高三入学测试,12数学上称函数y=kx+b(k,bR,k0)为线性函数.对于非线性可导函数f(x),在点x0附近一点x的函数值f(x),可以用如下方法求其近似代替值:f(x)f(x0)+f (x0)(x-x0).利用这一方法,m=4.001的近似代替值()A.大于
5、m B.小于m C.等于m D.与m的大小关系无法确定2.2018吉林百校联盟联考,5甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后,甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是()A.丙被录用了 B.乙被录用了C.甲被录用了 D.无法确定谁被录用了3.2017南昌市三模,4已知13+23=(62)2,13+23+33=(122)2,13+23+33 +43=(202)2,若13+23+33+43+n3=3 025,则n=()A.8 B.9 C.10 D.114.2017长春市高三第二次质量监测,14 将1
6、,2,3,4,这样的正整数按如图15-2所示的方式排成三角形数组,则第10行左数第10个数为.图15-25.2017甘肃兰州高考实战模拟,14观察下列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,由以上可推测出一个一般性结论:对于nN*,则1+2+n+2+1=.6.2017郑州市高三第三次质量预测,13数学文化题中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放有纵横两种形式,如下表:表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码
7、的筹式需要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表示,以此类推,例如6 613用算筹表示就是,则5 288用算筹可表示为.B组提升题7.2017长沙市五月模拟,7某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步,每52秒跑完一圈,在学生A开始跑步时,在教室内有一个学生B,往操场看了一次,以后每50秒他都往操场看一次,则该学生B“感觉”到学生A的运动是()A.逆时针方向匀速前跑B.顺时针方向匀速前跑C.顺时针方向匀速后退D.静止不动8.2017沈阳市高三三模,9数学文化题“杨辉三角”又称“贾宪三角”,是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算
8、,而杨辉在公元1261年所著的详解九章算法一书中,辑录了贾宪三角形数表,并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数是()2 0172 0162 0152 0146543214 0334 0314 0291197538 0648 060201612816 124 362820A.2 01722 016 B.2 01822 015 C.2 01722 015 D.2 01822 0169.2018山东省东明一中模拟,15古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如
9、三角形数1,3,6,10,第n个三角形数为n2+n2,记第n个k边形数为N(n,k)(k3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数: N(n,3)=12n2+12n;正方形数: N(n,4)=n2;五边形数: N(n,5)=32n2-12n;六边形数: N(n,6)=2n2-n,由此推测N(8,8)=.10.2017长春市高三第四次质量监测,16有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师,期间他们做了一个游戏,张老师的生日是m月n日,张老师把m告诉了甲,把n告诉了乙,然后张老师列出来如下10个日期供选择:2月5日,2月7日,2月9日,5月5日,5月8日,8月4日,8月7日,9月4日,9
10、月6日,9月9日.看完日期后,甲说:“我不知道,但你一定也不知道.”乙听了甲的话后,说:“本来我不知道,但现在我知道了.”甲接着说:“哦,现在我也知道了.”请问,张老师的生日是.答案1.B若袋中有两个球,则红球、黑球各一个,若红球放在甲盒,则黑球放在乙盒,丙盒中没有球,此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球,乙盒中黑球比丙盒中红球多,故可排除A,D;若袋中有四个球,则红球、黑球各两个, 若取出两个红球,则红球一个放在甲盒,余下一个放在乙盒,再取出余下的两个黑球,一个放在甲盒,则余下一个放在丙盒,所以甲盒中一红一黑,乙盒中一个红球,丙盒中一个黑球,此时乙盒中红球比丙盒中红球多,排除C,选B.2.4n-1第
11、一个等式,n=1,而右边式子为40=41-1;第二个等式,n=2,而右边式子为41=42-1;第三个等式,n=3,而右边式子为42=43-1;第四个等式,n=4,而右边式子为43=44-1;归纳可知,第n个等式的右边为4n-1.3.14解法一直接递推归纳:等腰直角三角形ABC中,斜边BC=22,所以AB=AC=a1=2,AA1=a2=2,A1A2=a3=1,A5A6=a7=a1(22)6=14.解法二求通项:等腰直角三角形ABC中,斜边BC=22,所以AB=AC=a1=2,AA1=a2=2,An-1An=an+1=sin 4an=22an=2(22)n,故a7=2(22)6=14.4.F+V-
12、E=2三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;立方体中6+8-12=2,由此归纳可得F+V-E=2.5.()c1=b1-a1=1-1=0,c2=maxb1-2a1,b2-2a2=max1-21,3-22=-1,c3=maxb1-3a1,b2-3a2,b3-3a3=max1-31,3-32,5-33=-2.当n3时,(bk+1-nak+1)-(bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-nnd1时,b1-a1n,当d2nd1时.当d10时,取正整数md2d1,则当nm时,nd1d2,因此cn=b1-a1n.此时,cm,cm+1,cm+2,是等差数列.当d1=0时,对任
13、意n1,cn=b1-a1n+(n-1)maxd2,0=b1-a1+(n-1)(maxd2,0-a1).此时,c1,c2,c3,cn,是等差数列.当d1d2d1时,有nd1maxM+|b1-d2|+a1-d1-d2-d1,d2d1,则当nm时,cnnM.6.(1)因为2an+12an=2an+1-an=2d(n=1,2,3)是同一个常数,所以2a1,2a2,2a3,2a4依次构成等比数列.(2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(ad,a-2d,d0).假设存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列,则a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.令t=da,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4(-12t1,t0),化简得t3+2t2-2=0;且t2=t+1.将t2=t+1代入式,得t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-14.显然t=-14不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,因此不存在a1,d,使得a1,a22,a33,
