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1、课时分层训练课时分层训练( (二十四二十四) ) 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 (对应学生用书第 243 页) A A 组 基础达标 一、选择题 1在ABC中,若,则B的值为( ) sin A a cos B b A30 B45 C60D90 B B 由正弦定理知:,sin Bcos B,B45. sin A sin A cos B sin B 2在ABC中,已知b40,c20,C60,则此三角形的解的情况是( ) A有一解B有两解 C无解D有解但解的个数不确定 C C 由正弦定理得, b sin B c sin C sin B1. bsin C c 40 3 2 203 角B不存在,
2、即满足条件的三角形不存在 3ABC中,c,b1,B,则ABC的形状为( ) 3 6 A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰三角形或直角三角形 D D 根据余弦定理有 1a233a,解得a1 或a2,当a1 时,三角形ABC为 等腰三角形,当a2 时,三角形ABC为直角三角形,故选 D. 4在ABC中,若AB,BC3,C120,则AC( ) 13 A1 B2 C3D4 A A 由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C,即 13AC292AC3cos 120,化简得AC23AC40,解得AC1 或AC4(舍去)故选 A. 5(2018南昌一模)在ABC中,角A,B,C所对的边分
3、别为a,b,c,cos 2Asin A,bc2,则ABC的面积为( ) 【导学号:79140133】 A.B 1 2 1 4 C1D2 A A 因为 cos 2Asin A,所以 12sin2Asin A,则 sin A (舍负),则ABC的 1 2 面积为bcsin A 2 ,故选 A. 1 2 1 2 1 2 1 2 二、填空题 6在ABC中,a2,b3,c4,则其最大内角的余弦值为_ 因为cba,所以在ABC中最大的内角为角C,则由余弦定理,得 cos 1 4 C . a2b2c2 2ab 4916 2 2 3 1 4 7如图 371 所示,在ABC中,已知点D在BC边上,ADAC,si
4、nBAC,AB3 2 2 3 ,AD3,则BD的长为_ 2 图 371 sinBACsin(90BAD)cosBAD, 3 3 2 2 3 在ABD中,有BD2AB2AD22ABADcosBAD, BD21892333, 2 2 2 3 BD. 3 8(2017全国卷改编)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 sin Bsin A(sin Ccos C)0,a2,c,则C_. 2 【导学号:79140134】 因为a2,c, 62 所以由正弦定理可知, 2 sin A 2 sin C 故 sin Asin C. 2 又B(AC), 故 sin Bsin A(sin Ccos C)
5、 sin(AC)sin Asin Csin Acos C sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C (sin Acos A)sin C 0. 又C为ABC的内角, 故 sin C0, 则 sin Acos A0,即 tan A1. 又A(0,),所以A. 3 4 从而 sin Csin A . 1 2 2 2 2 2 1 2 由A知C为锐角,故C. 3 4 6 三、解答题 9(2018银川质检)如图 372,在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 2acos Cc2b. 图 372 (1)求角A的大小; (2)若c,角B的平分线BD,求a.
6、 23 解 (1)2acos Cc2b, 由正弦定理得 2sin Acos Csin C2sin B, 2sin Acos Csin C2sin(AC)2sin Acos C2cos Asin C, sin C2cos Asin C. sin C0,cos A . 1 2 又A(0,),A. 2 3 (2)在ABD中,由正弦定理得, AB sinADB BD sin A sinADB. ABsin A BD 2 2 又ABBD,ADB. 4 ABC,ACB. 6 6 ACAB, 2 由余弦定理得 aBC. AB2AC22ABACcos A6 10(2016全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分
7、别为a,b,c,已知 2cos C(acos Bbcos A)c. (1)求C; (2)若c,ABC的面积为,求ABC的周长 7 3 3 2 解 (1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C, 即 2cos Csin(AB)sin C, 故 2sin Ccos Csin C. 可得 cos C ,所以C. 1 2 3 (2)由已知得absin C. 1 2 3 3 2 又C,所以ab6. 3 由已知及余弦定理得a2b22abcos C7, 故a2b213,从而(ab)225. 所以ABC的周长为 5. 7 B B 组 能力提升 11在ABC中,s
8、in2Asin2Bsin2Csin Bsin C,则A的取值范围是( ) A.B (0, 6 6 ,) C.D (0, 3 3 ,) C C 由已知及正弦定理有a2b2c2bc, 由余弦定理可知a2b2c22bccos A, 于是b2c22bccos Ab2c2bc,cos A , 1 2 在ABC中,A(0,) 由余弦函数的性质,得 0A. 3 12(2017山东高考)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三 角形,且满足 sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C,则下列等式成立的是( ) Aa2bBb2a CA2BDB2A A A 等式
9、右边sin Acos C(sin Acos Ccos Asin C)sin Acos Csin (AC)sin Acos Csin B, 等式左边sin B2sin Bcos C, sin B2sin Bcos Csin Acos Csin B. 由 cos C0,得 sin A2sin B. 根据正弦定理,得a2b. 故选 A. 13在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,sin A,sin B,sin C成等差数列, 且a2c,则 cos A_. 【导学号:79140135】 因为 sin A,sin B,sin C成等差数列,所以 2sin Bsin Asin C. 1 4 因
10、为, a sin A b sin B c sin C 所以ac2b, 又a2c,可得bc, 3 2 所以 cos A . b2c2a2 2bc 9 4c2c24c2 2 3 2c2 1 4 14(2018兰州模拟)在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若 tan Atan C(tan Atan C1) 3 (1)求角B; (2)如果b2,求ABC面积的最大值 解 (1)tan Atan C(tan Atan C1), 3 即,tan(AC), tan Atan C 1tan Atan C33 又ABC,tan B, 3 B为三角形内角,B. 3 (2)在ABC中,由余弦定理得 cos B , a2c2b2 2ac 1 2 a2c2ac4, a2c22ac,ac4,当且仅当ac2 时,等号成立, ABC的面积Sacsin B 4, 1 2 1 2 3 23 ABC面积的最大值为. 3