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1、13.2 不等式选讲不等式选讲 最新考纲考情考向分析 1.理解绝对值不等式的几何意义，并了解下列不等 式成立的几何意义及取等号的条件： |ab|a|b|(a，bR)； |ac|ab|bc|(a，bR). 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |axb|c；|axb|c；|xa|xb|c. 3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法： 比较法、综合法、分析法. 本节题目常见的是解绝对值不等 式、利用不等式恒成立求参数的 值或范围，求含有绝对值的函数 最值也是考查的热点求解的一 般方法是去掉绝对值，也可以借 助数形结合求解在高考中主要 以解答题的形式考查，难度为中、 低档. 1绝对值
2、不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a 的解集 不等式a0a0aa(，a)(a，) (，0) (0，) R (2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法 |axb|ccaxbc； |axb|caxbc 或 axbc. (3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 2含有绝对值的不等式的性质 (1)如果 a，b 是实数，则|a|b|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时，等号成立 (2)如
3、果 a，b，c 是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0 时，等号成 立 3不等式证明的方法 (1)比较法 作差比较法 知道 abab0，ab，只要证明 ab0 即可，这种方法称为 作差比较法 作商比较法 由 ab0 1 且 a0，b0，因此当 a0，b0 时，要证明 ab，只要证明 1 即可，这种 a b a b 方法称为作商比较法 (2)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不 等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法 (3)分析法 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成
4、立的 不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即 “执果索因”的方法 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若|x|c 的解集为 R，则 c0.( ) (2)不等式|x1|x2|b0 时等号成立( ) (4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立( ) (5)对|ab|a|b|当且仅当 ab0 时等号成立( ) 题组二 教材改编 2P20T7不等式 3|52x|5； 当2x ，y5； 1 2 5 2 当 x 时，y3x1 ，故函数 y|2x1|x2|的最小值为 .因为不等式 1 2 5 2 5 2 |2x1|x2
5、|a2 a2 对任意实数 x 恒成立，所以 a2 a2. 1 2 5 2 1 2 解不等式 a2 a2，得1a ， 5 2 1 2 1 2 故实数 a 的取值范围为. 1， 1 2 题型一题型一 绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 1(2017全国)已知函数 f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|. (1)当 a1 时，求不等式 f(x)g(x)的解集； (2)若不等式 f(x)g(x)的解集包含1,1，求 a 的取值范围 解 (1)当 a1 时，不等式 f(x)g(x)等价于 x2x|x1|x1|40. 当 x1 时，式化为 x2x40， 从而 11. (1)当 a2 时，求不等式 f
6、(x)4|x4|的解集； (2)已知关于 x 的不等式|f(2xa)2f(x)|2 的解集为x|1x2，求 a 的值 解 (1)方法一 当 a2 时，由题意知|x2|x4|4，利用几何意义可知不等式表示数轴 上 x 的对应点到 2 与 4 对应点的距离之和大于等于 4，又 2 和 4 之间的距离为 2，即 x 在以 2 和 4 为标准分别向左或者向右平移 1 个单位长度的位置上 故不等式的解集为x|x1 或 x5 方法二 当 a2 时， f(x)|x4|Error!Error! 当 x2 时，由 f(x)4|x4|，得2x64， 解得 x1； 当 20 恒成立， 不等式 f(x)0 的解集为.
7、 1 2，) (2)由方程 f(x)x 可变形为 mx|x2|x2|. 令 h(x)x|x2|x2| Error!Error! 作出图象如图所示，数形结合，可得2y，求证：2x2y3； 1 x22xyy2 (2)设 a，b，c0 且 abbcca1，求证：abc. 3 证明 (1)因为 x0，y0，xy0， 2x2y2(xy) 1 x22xyy2 1 xy2 (xy)(xy) 1 xy2 33， 3 xy2 1 xy2 所以 2x2y3. 1 x22xyy2 (2)因为 a，b，c0，所以要证 abc， 3 只需证明(abc)23. 即证 a2b2c22(abbcca)3， 而 abbcca1
8、， 故需证明 a2b2c22(abbcca)3(abbcca)， 即证 a2b2c2abbcca. 而 abbccaa2b2c2(当且仅当 abc 时等号成立)成立， a2b2 2 b2c2 2 c2a2 2 所以原不等式成立 思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果” ，用分析法证明不等式是“执果索因” ，它们 是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所 以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互 转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野 跟踪训练 (2017全国)已知 a0，b0，a
9、3b32，证明：(1)(ab)(a5b5)4； (2)ab2. 证明 (1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6 (a3b3)22a3b3ab(a4b4) 4ab(a4b42a2b2) 4ab(a2b2)24. (2)因为(ab)3a33a2b3ab2b3 23ab(ab) 2(ab) 3ab2 4 2， 3ab3 4 所以(ab)38，因此 ab2. 1解不等式|x1|x2|5. 解 方法一 如图，设数轴上与2,1 对应的点分别是 A，B，则不等式的解就是数轴上到 A，B 两点的距离之和不小于 5 的点所对应的实数 显然，区间2,1不是不等式的解集把点 A 向左移动一个单位到点 A1，此
10、时 |A1A|A1B|145.把点 B 向右移动一个单位到点 B1，此时|B1A|B1B|5， 故原不等式的解集为(，32，) 方法二 由原不等式|x1|x2|5， 可得Error!Error!或Error!Error! 或Error!Error!解得 x2 或 x3， 原不等式的解集为(，32，) 方法三 将原不等式转化为|x1|x2|50. 令 f(x)|x1|x2|5，则 f(x)Error!Error! 作出函数的图象，如图所示 由图象可知，当 x(，32，)时，y0， 原不等式的解集为(，32，) 2不等式 log3(|x4|x5|)a 对于一切 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围
11、 解 由绝对值的几何意义知，|x4|x5|9，则 log3(|x4|x5|)2，所以要使不等式 log3(|x4|x5|)a 对于一切 xR 恒成立，则需 a0) (1)当 a4 时，求不等式的解集； (2)若不等式有解，求实数 a 的取值范围 解 (1)当 a4 时，不等式为|2x1|x1|2. 当 x1 时，x0，此时 x 不存在， 原不等式的解集为Error!Error!. (2)令 f(x)|2x1|x1|， 则 f(x)Error!Error! 故 f(x)，即 f(x)的最小值为 . 3 2，) 3 2 若 f(x)log2a 有解，则 log2a ， 3 2 解得 a，即 a 的
12、取值范围是. 2 4 2 4 ，) 6已知函数 f(x)|xa|x2|. (1)当 a3 时，求不等式 f(x)3 的解集； (2)若 f(x)|x4|的解集包含1,2，求 a 的取值范围 解 (1)当 a3 时，f(x)|x3|x2| Error!Error! 当 x2 时，由 f(x)3，得2x53，解得 x1； 当 2a2.同理 bb2，cc2. a2b2c21，当 x1 时，得 2x1m,1x. m1 2 综上可知，不等式|x|x1|m 的解集为. 1m 2 ，m1 2 由题意知，原不等式的解集为0,1 0，1，解得 m1. 1m 2 m1 2 m1. (2)证明 x2a22ax，y2
13、b22by，z2c22cz，当且仅当 xa，yb，zc 时等号成 立 三式相加，得 x2y2z2a2b2c22ax2by2cz. 由题设及(1)，知 x2y2z2a2b2c2m1， 22(axbycz)，axbycz1，不等式得证 9(2017银川模拟)已知函数 f(x)|x1|，g(x)2|x|a. (1)当 a1 时，解不等式 f(x)g(x)； (2)若存在 x0R，使得 f(x0) g(x0)，求实数 a 的取值范围 1 2 解 (1)当 a1 时，不等式 f(x)g(x)， 即|x1|2|x|1，从而Error!Error! 即 x1， 或Error!Error!即1x ， 2 3
14、或Error!Error!即 x2. 从而不等式 f(x)g(x)的解集为 Error!Error!. (2)存在 x0R，使得 f(x0) g(x0)， 1 2 即存在 x0R，使得|x01|x0| ， a 2 即存在 x0R，使得 |x01|x0|. a 2 设 h(x)|x1|x|Error!Error! 则 h(x)的最大值为 1，所以 1，即 a2. a 2 所以实数 a 的取值范围为(，2 10(2017郑州模拟)已知函数 f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2. (1)解不等式：|g(x)|5； (2)若对任意的 x1R，都有 x2R，使得 f(x1)g(x2)成立，求实数 a 的取值范围 解 (1)由|x1|2|5，得5|x1|25， 所以7|x1|3， 解不等式得2x4， 所以原不等式的解集是x|2x4 (2)因为对任意的 x1R，都有 x2
