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1、课时分层训练课时分层训练( (七十四七十四) ) 不等式的证明不等式的证明 1设a,b是非负实数,求证:a2b2(ab) ab 证明 因为a2b2(ab) ab (a2a)(b2b) abab a()b() aabbba ()(ab) abab . (a 1 2 b 1 2 )( a 3 2 b 3 2 ) 因为a0,b0,所以不论ab0,还是 0ab,都有ab与ab 同号,所以(ab) (ab)0, 所以a2b2(ab) ab 2设不等式|2x1|0. 故ab1ab. 3(2017石家庄模拟)已知函数f(x)|x|x1|. (1)若f(x)|m1|恒成立,求实数m的最大值M; (2)在(1)
2、成立的条件下,正实数a,b满足a2b2M,证明:ab2ab. 解 (1)f(x)|x|x1|x(x1)|1, 当且仅当 0x1 时取等号, f(x)|x|x1|的最小值为 1. 要使f(x)|m1|恒成立,只需|m1|1, 0m2,则m的最大值M2. (2)证明:由(1)知,a2b22, 由a2b22ab,知ab1. 又ab2,则(ab)2ab. abab 由知,1. ab 故ab2ab. 4已知a,b,cR R,且 2a2bc8,求(a1)2(b2)2(c3)2的最小值 解 由柯西不等式得 (441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32, 9(a1)2(b2)2(c3)2
3、(2a2bc1)2. 2a2bc8, (a1)2(b2)2(c3)2, 49 9 当且仅当c3 时等号成立, a1 2 b2 2 (a1)2(b2)2(c3)2的最小值是. 49 9 5已知函数f(x)k|x3|,kR R,且f(x3)0 的解集为1,1 (1)求k的值; (2)若a,b,c是正实数,且1. 1 ka 1 2kb 1 3kc 求证:a2b3c9. 解 (1)因为f(x)k|x3|, 所以f(x3)0 等价于|x|k, 由|x|k有解,得k0,且解集为k,k 因为f(x3)0 的解集为1,1 因此k1. (2)证明:由(1)知 1,因为a,b,c为正实数 1 a 1 2b 1 3
4、c 所以a2b3c(a2b3c)( 1 a 1 2b 1 3c) 3 ( a 2b 2b a) ( a 3c 3c a) ( 2b 3c 3c 2b) 32229. a 2b 2b a a 3c 3c a 2b 3c 3c 2b 当且仅当a2b3c时等号成立 因此a2b3c9. 6(2018福州质检)已知函数f(x)|x1|. (1)求不等式f(x)|2x1|1 的解集M; (2)设a,bM,证明:f(ab)f(a)f(b). 【导学号:79140401】 解 (1)当x1 时,原不等式可化为x12x2,解得x1; 当1x 时,原不等式可化为x12x2,解得x1,此时原不等式无 1 2 解; 当x 时,原不等式可化为x12x,解得x1. 1 2 综上,Mx|x1 或x1 (2)证明:因为f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|, 所以,要证f(ab)f(a)f(b),只需证|ab1|ab|, 即证|ab1|2|ab|2, 即证a2b22ab1a22abb2, 即证a2b2a2b210,即证(a21)(b21)0. 因为a,bM,所以a21,b21,所以(a21)(b21)0 成立, 所以原不等式成立