《2019年高考数学一轮复习课时分层训练74不等式的证明理北师大版_》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高考数学一轮复习课时分层训练74不等式的证明理北师大版_（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时分层训练课时分层训练( (七十四七十四) ) 不等式的证明不等式的证明 1设a，b是非负实数，求证：a2b2(ab) ab 证明 因为a2b2(ab) ab (a2a)(b2b) abab a()b() aabbba ()(ab) abab . (a 1 2 b 1 2 )( a 3 2 b 3 2 ) 因为a0，b0，所以不论ab0，还是 0ab，都有ab与ab 同号，所以(ab) (ab)0， 所以a2b2(ab) ab 2设不等式|2x1|0. 故ab1ab. 3(2017石家庄模拟)已知函数f(x)|x|x1|. (1)若f(x)|m1|恒成立，求实数m的最大值M； (2)在(1)
2、成立的条件下，正实数a，b满足a2b2M，证明：ab2ab. 解 (1)f(x)|x|x1|x(x1)|1， 当且仅当 0x1 时取等号， f(x)|x|x1|的最小值为 1. 要使f(x)|m1|恒成立，只需|m1|1， 0m2，则m的最大值M2. (2)证明：由(1)知，a2b22， 由a2b22ab，知ab1. 又ab2，则(ab)2ab. abab 由知，1. ab 故ab2ab. 4已知a，b，cR R，且 2a2bc8，求(a1)2(b2)2(c3)2的最小值 解 由柯西不等式得 (441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32， 9(a1)2(b2)2(c3)2
3、(2a2bc1)2. 2a2bc8， (a1)2(b2)2(c3)2， 49 9 当且仅当c3 时等号成立， a1 2 b2 2 (a1)2(b2)2(c3)2的最小值是. 49 9 5已知函数f(x)k|x3|，kR R，且f(x3)0 的解集为1,1 (1)求k的值； (2)若a，b，c是正实数，且1. 1 ka 1 2kb 1 3kc 求证：a2b3c9. 解 (1)因为f(x)k|x3|， 所以f(x3)0 等价于|x|k， 由|x|k有解，得k0，且解集为k，k 因为f(x3)0 的解集为1,1 因此k1. (2)证明：由(1)知 1，因为a，b，c为正实数 1 a 1 2b 1 3
4、c 所以a2b3c(a2b3c)( 1 a 1 2b 1 3c) 3 ( a 2b 2b a) ( a 3c 3c a) ( 2b 3c 3c 2b) 32229. a 2b 2b a a 3c 3c a 2b 3c 3c 2b 当且仅当a2b3c时等号成立 因此a2b3c9. 6(2018福州质检)已知函数f(x)|x1|. (1)求不等式f(x)|2x1|1 的解集M； (2)设a，bM，证明：f(ab)f(a)f(b). 【导学号：79140401】 解 (1)当x1 时，原不等式可化为x12x2，解得x1； 当1x 时，原不等式可化为x12x2，解得x1，此时原不等式无 1 2 解； 当x 时，原不等式可化为x12x，解得x1. 1 2 综上，Mx|x1 或x1 (2)证明：因为f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|， 所以，要证f(ab)f(a)f(b)，只需证|ab1|ab|， 即证|ab1|2|ab|2， 即证a2b22ab1a22abb2， 即证a2b2a2b210，即证(a21)(b21)0. 因为a，bM，所以a21，b21，所以(a21)(b21)0 成立， 所以原不等式成立
