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1、课时分层训练课时分层训练( (二十六二十六) ) 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 A A 组 基础达标 一、选择题 1给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若a a，b b都是单位向量，则 a ab b；向量与相等则所有正确命题的序号是( ) AB BA A B CD A A 根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等， 但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量与互为相反 AB BA 向量，故错误 2(2018武汉调研)设a a是非零向量，是非零实数，则下列结论正确的是( ) 【导学号：79140147】 Aa a与a a的方向
2、相反 B|a a|a a| Ca a与2a a的方向相同 D|a a|a a C C A 中，当0 时，a a与a a方向相同，故 A 不正确；B 中，当11 时， |a a|a a|，故 B 不正确；C 中，因为20，所以a a与2a a方向相同，故 C 正 确；D 中，向量不能比较大小，故 D 不正确，故选 C. 3(2017广东东莞二模)如图 411 所示，已知3，a a，b b，c c，则下列 AC BC OA OB OC 等式中成立的是( ) 图 411 Ac cb ba a 3 2 1 2 Bc c2b ba a Cc c2a ab b Dc ca ab b 3 2 1 2 A A
3、 因为3，a a，b b，所以 () AC BC OA OB OC OA AC OA 3 2AB OA 3 2 OB OA 3 2 b ba a，故选 A. OB 1 2OA 3 2 1 2 4(2017全国卷)设非零向量a a，b b满足|a ab b|a ab b|，则( ) AababB|a a|b b| CababD|a a|b b| A A 法一：|a ab b|a ab b|，|a ab b|2|a ab b|2. a a2b b22ababa a2b b22abab. abab0.abab. 故选 A. 法二：在ABCD中，设a a，b b， AB AD 由|a ab b|a a
4、b b|知|， AC DB 从而四边形ABCD为矩形，即ABAD，故abab.故选 A. 5(2017河南中原名校 4 月联考)如图 412 所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E 为AO的中点，若(，为实数)，则22( ) DE AB AD 图 412 A. B. C1 D. 5 8 1 4 5 16 A A ()，所以 DE 1 2DA 1 2DO 1 2DA 1 4DB 1 2DA 1 4 DA AB 1 4AB 3 4AD ， ，故22 ，故选 A. 1 4 3 4 5 8 二、填空题 6已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量， ， ，满足等式 OA OB OC OD ，则四边
5、形ABCD的形状为_ OA OC OB OD 平行四边形 由得， OA OC OB OD OA OB OD OC 所以，所以四边形ABCD为平行四边形 BA CD 7(2015全国卷)设向量a a，b b不平行，向量a ab b与a a2b b平行，则实数 _. a ab b与a a2b2b平行，a ab bt(a a2b b)， 1 2 即a ab bta a2tb b，Error!解得Error! 8在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则 AM MC BN NC MN AB AC x_；y_. 【导学号：79140148】 2，. 1 2 1 6 AM MC AM 2 3AC ， ()，
6、 BN NC AN 1 2 AB AC () MN AN AM 1 2 AB AC 2 3AC . 1 2AB 1 6AC 又xy，x ，y . MN AB AC 1 2 1 6 三、解答题 9如图 413，在ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且 GB2GE，设a a，b b，试用a a，b b表示，. AB AC AD AG 图 413 解 ()a ab b. AD 1 2 AB AC 1 2 1 2 () AG AB BG AB 2 3BE AB 1 3 BA BC () 2 3AB 1 3 AC AB 1 3AB 1 3AC a ab b. 1 3 1 3 10
7、设e e1，e e2是两个不共线的向量，已知2e e18e e2，e e13e e2，2e e1e e2. AB CB CD (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若3e e1ke e2，且B，D，F三点共线，求k的值 BF 解 (1)证明：由已知得(2e e1e e2)(e e13e e2)e e14e e2， BD CD CB 2e e18e e2，2. AB AB BD 又与有公共点B， AB BD A，B，D三点共线 (2)由(1)可知e e14e e2， BD 3e e1ke e2，且B，D，F三点共线， BF (R R)， BF BD 即 3e e1ke e2e e14e e2，
8、 即Error!解得k12. B B 组 能力提升 11(2017河北衡水中学三调考试)在ABC中，若P是直线BN上的一点，且 AN 1 4NC 满足m，则实数m的值为( ) AP AB 2 5AC 【导学号：79140149】 A4B1 C1D4 B B 根据题意设n(nR R)，则nn()n BP BN AP AB BP AB BN AB AN AB AB (1n)，又m，Error!解得Error!故选 B. ( 1 5AC AB ) AB n 5AC AP AB 2 5AC 12设O在ABC的内部，D为AB的中点，且20，则ABC的面积与AOC的 OA OB OC 面积的比值为( )
9、A3 B4 C5 D6 B B 如图，D为AB的中点，则 ()，又20， OD 1 2 OA OB OA OB OC ，O为CD的中点， OD OC 又D为AB中点，SAOCSADCSABC，则4. 1 2 1 4 SABC SAOC 13(2017辽宁大连高三双基测试)如图 414，在ABC中， AB2，BC3，ABC60，AHBC于点H，M为AH的中点若，则 AM AB BC _. 图 414 因为AB2，ABC60，AHBC，所以BH1.因为BC3，所以BHBC. 2 3 1 3 因为点M为AH的中点，所以 ()，又 AM 1 2AH 1 2 AB BH 1 2(AB 1 3BC ) 1
10、 2AB 1 6BC AM ，所以 ， ，所以 . AB BC 1 2 1 6 2 3 14已知O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR R). OP OA OB 【导学号：79140150】 (1)若mn1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：mn1. 证明 (1)若mn1， 则m(1m) OP OA OB m()， OB OA OB m()， OP OB OA OB 即m，与共线 BP BA BP BA 又与有公共点B， BP BA A，P，B三点共线 (2)若A，P，B三点共线， 则存在实数，使， BP BA () OP OB OA OB 又mn. OP OA OB 故有m(n1)， OA OB OA OB 即(m)(n1)0. OA OB O，A，B不共线，不共线， OA OB Error!Error!mn1.
