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1、线性代数复习提纲线性代数复习提纲 第一章第一章、行列式、行列式 1行列式的定义：用 2 n个元素 ij a组成的记号称为 n 阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和； （2）展开式共有 n!项，其中符号正负各半； 2行列式的计算 一阶|= 行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n3）行列式的计算：降阶法 定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为 0，利用定理展开降阶。 特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；
2、行列式值为 0 的几种情况： 行列式某行（列）元素全为 0； 行列式某行（列）的对应元素相同； 行列式某行（列）的元素对应成比例； 奇数阶的反对称行列式。 3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式 ij M、代数余子式 ij ji ij MA ) 1( 定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。 奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。 n 阶行列式也可定义： nqqq n aaa 21 t 21 1-D）（，t 为 n qqq 21 的逆序数 4.行列式性质： 1、行列式与其转置行列式相等。 2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，
3、则为行列式 0。 3、行列式某行（列）乘数 k,等于 k 乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。 4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。 5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。 6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。 （按行、列展开法则） 7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为 0. 5.克拉默法则：克拉默法则： ：若线性方程组的系数行列式0D，则方程有且仅有唯一解 D D D D x D D n n 2 2 1 1 x,x，。 ：若线性方程组无解或有两个不同的解，则系数
4、行列式 D=0. ：若齐次齐次线性方程组的系数行列式0D，则其没有非零解。 ：若齐次齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式 D=0。 6. 1 1 2 n r r r n r r r r ， 1 1 (1) 2 2 1 n r n n r r n r r r r ()n ab ab adbc cd cd , 123 2222 123 1 1111 123 1111 () n nij n ij nnnn n xxxx xxxxxx xxxx ， （两式要会计算） 题型：Page21（例 13） 第二章、第二章、矩阵矩阵 1矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2
5、矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： 矩阵乘法一般不满足交换律（若 ABBA，称 A、B 是可交换矩阵）； 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； 若 A、B 为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； |kA|= n k*|A|。只有方阵才有幂运算。 （3）转置：（kA）T=kAT， A BAB T （4）方阵的行列式：AAT，AkkA n ，BAAB （5）伴随矩阵：EAAAAA * ， ）（EAA*， * A的行元素是 A 的列元素的代数余子式 （6）共轭矩阵：）（ ij a，A+B=A+B，AkkA，BAAB （7）矩阵分块法： srsrss
6、 rr BABA BABA 11 111111 BA， T srr1 1s T 11 T AA AA A T T 3对称阵：方阵AAT。 对称阵特点：元素以对角线为对称轴对应相等。 3矩阵的秩 （1）定义：非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法：一般不用定义求，而用下面结论： 范德蒙德行列 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元 开始往下全为 0 的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 （3）0R( nm A )minm,n ； ARAR T ；若BA，则 R(A)=R(B) ； 若 P、Q 可逆，则
7、R(PAQ)=R(A) ; maxR(A),R(B) R(A,B) R(A)+R(B) ； 若 AB=C，R(C)minR(A),R(B) 4逆矩阵 （1）定义：A、B 为 n 阶方阵，若 ABBAI，称 A 可逆，B 是 A 的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质： 11 1 ABAB， AA 1- 1- ；(A B 的逆矩阵，你懂的)（注意顺序） （3）可逆的条件： |A|0； r(A)=n; A-I; （4）逆的求解： 1 伴随矩阵法 A * 1 - A A；初等变换法（A:I）-(施行初等变换)（I: 1 A） （5）方阵 A 可逆的充要条件有： 1 存在有限个初等矩阵 1 P， l
8、 P，使 l PPPA 21 2 EA 第三章第三章、初等变换与初等变换与线性方程组线性方程组 1、 初等变换初等变换： 1 ， 2 ， 3 性质：初等变换可逆。 等价等价：若 A 经初等变换成 B，则与等价，记作BA，等价关系具有反身性、对称性、传递性。 初等矩阵初等矩阵：由单位阵 E 经过一次一次初等变换得到的矩阵。 定理定理：对 nm A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘相应的 m 阶初等矩阵；对 nm A 施行一次初等列变换， 相当于在 A 的右边乘相应的 n 阶初等矩阵。 等价的充要条件等价的充要条件： 1 R(A)=R(B)=R(A,B) 2 nm的矩阵、等价存在 m 阶可逆矩阵 P、n 阶可逆矩阵 Q，使得 PAQ=B。 线性方程组解的判定线性方程组解的判定 定理：(1) r(A,b)r(A) 无解；(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解； (3)r(A,b)=r(A)0，则称 f 为正定二次型，称对称阵 A 是正定的。 （3）正定的充要条件：A 的所有特征值都是正数，即标准型系数全为正，即正惯性指数为 n。 A 的所有顺序主子式都大于 0；
