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1、 1 第一章：价格和优化第一章：价格和优化 1.1 支持价格支持价格 1.2 影子价格影子价格 1.3 包络定理包络定理 1.4 约束条件下优化的基础知识约束条件下优化的基础知识 1.5 应用：联合成本条件下的垄断定价应用：联合成本条件下的垄断定价 2 1.1 支持价格支持价格 关键词：凸生产集和非凸生产集，价格激励，支持超平面定理关键词：凸生产集和非凸生产集，价格激励，支持超平面定理 追求自身利益是经济学的核心假定。 因此， 深入理解最大化理论是进行有效的理论研究 所必需的。其中，约束条件下的最大化理论，对经济学研究极为重要，所以第一章就介绍这 一理论。1这里不做纯粹的数学探讨，而是把中心放
2、在价格上。 我们首先探讨“支持价格”的作用，分析如何利用价格激励经济主体做最优选择。除了 这一重要性外，支持价格还是约束条件下的最大化理论的核心概念。第二节分析这一点，但 强调的是数学模型背后的经济学原理。 第三节探讨经济主体的最大收益如何受其所在环境的 变化（即“参数”的变化）影响。第四节给出了约束条件下最大值的必要条件的数学证明。 第五节举例演示如何应用这一必要条件。 设一家工厂或企业能用种投入品数量为 = (1,)生产种产品数量 为 = (1,)。一个生产方案于是就是一个投入-产出向量(,)。这家工厂的经理必须在 各个可行的生产方案之间做出选择。 为简化符号， 我们用负数表示投入品， 定
3、义 “生产向量” 为 = (1,+) = (1, ,1,)； 表示为向量形式， 为 = (,)。 设 + + 为这家工厂的所有的可行的生产方案构成的集合，这就是它的“生产集” 。 如果价格向量为 = (1,+)，则这家工厂的总收入为 + =1 ，总成本为 =1 = () =1 。这家工厂的利润于是为 = + =1 =1 = 例子：生产函数与生产集例子：生产函数与生产集 一家工厂的生产函数为 = 41 4 ，就是说，在投入品数量为时，这个工厂的最大产量 为 = 41 4 。因此，它的实际产量必须满足约束条件： 41 4 。它的生产集是其可行 的生产方案构成的集合，即 = (,) 0, 41 4
4、图 1.1-1a 画出了这个生产集。 这个生产集还有另一种等价的表示方式： = (,)|16 2 0。2如果我们把投入 品用负数表示，则一个可行的生产方案是一个生产向量(1,2) = (,)，生产集为 1 附录中介绍了其他数学概念。 2 在这种表示形式中， 2 16。由于右边项为正数，所以这一约束条件意味着 0。 3 = (1,2)|161 2 2 0。图 1.1-1b中画出了这个生产集。 图 1.1-1a：生产集 图 1.1-1b：生产集 生产效率生产效率 我们说，一个生产方案是浪费的，如果在生产集中存在另一个方案，其产量更大而投 入更小。我们说，不浪费的生产方案具有生产效率。正式地说，生产
5、方案 具有生产效率， 如果不存在 使得 。3 我们探讨价格和利润最大化能否激励企业选择有效率的生产方案。 用数学语言说， 我们 要找到“支持”有效率生产方案的价格。 设一家工厂使用一种投入品，生产一种产出品。这种投入品的价格为1。生产集（即 这家工厂的所有可行的生产方案构成的集合）如图 1.1-2 所示。 图 1.1-2a：转移价格太高 图 1.1-2b：最优转移价格 3 对向量， 我们的定义是， 如果对所有的， ， 则 。 如果还存在某个， 使得 ， 则yy。 如果对所有的， ，则 。 4 给定投入品数量1，所能实现的最大产量为这家工厂生产集的边界上的点。在图上，这 家工厂具有递减的边际生产
6、率：随着投入品数量不断增加，产量增幅下降。就是说，这个生 产集是凸的：对集合中每对生产向量0与1，其每个凸组合 = (1 )0+ 1, 0 0，生产方案 也是可行的。 在这里， 相对于， 在生产方案 中， 产出向量更小而投入品向量更大。 这就意味着， 实现方案 的一种途径，是依照方案开展生产，再按照中的数量增加购买投入品，然 后把多出来的产出品和未用的投入品扔掉。由此得到的净生产向量为 。就是说，如果 我们能免费处理掉商品，这一假设便能得到满足。 假定生产集是个闭集，即它包含其所有边界点。生产方案0 具有生产效率，如果没 有其它可行的方案使得 0。就是说，0位于生产集的边界上。根据支持超平面定
7、理， 存在向量0p 使得对所有的 ， (0 ) 0。 根据免费处置假定， 对所有向量0， 10 yy=。于是， (0 ) = = =1 0 这一点对所有的0都成立。令1 i =，且对所有的ji，令0 j =，则对每个1,.,in=， 0 i p 。 如果0 ，则根据支持超平面定理， 0 0 = 0 我们于是有下面的结论。 命题 1.1-3：支持价格 如果0是凸集的一个边界点，且免费处置假定成立，则存在一个价格向量 0使得对所 有的 ， 0。而且，如果0 ，则0 0。 就是说，如果可行的生产方案集是凸集，我们就能利用价格指导的生产决策，实现任何 8 有效率的生产方案。 线性模型线性模型 我们现在
8、探讨线性技术。 我们将看到， 理解这一模型是推导约束条件下优化问题的必要 条件的关键。 一个企业使用m种投入品生产一种产品， 投入品的数量为(1,)， 产量为q。 它有n 家工厂。工厂j的活动规模如果为 j x，就能利用 ijj a x件投入品i，在这里， = 1,，生 产 0 jj a x件产品。对这n家工厂求和，总产量为 0 1 n jj j a x = ，对投入品i的总需求为 1 n ijj j a x = 。生 产向量 = (,)是可行的生产方案，如果它属于下面的集合： () 0 ,0,z q xqaxxz =A (1.1-2) 这里要看到， 由于所有的约束条件都是线性的， 所以生产集
9、是个凸集。 并且， 如果(), z q， 则对任意的 0 0和() 1,., 0 n =，() 0 ,zq 。就是说，在这里，免费处置假定 成立。 在企业只使用两种投入品且只拥有两家工厂时，生产集的形状如图 1.1-6 所示。 图 1.1-6：生产集 后文中，我们将看到，这一生产集边界上的每个折痕，都是一个只有一家工厂在开工的生产 方案。在这两个折痕之间的平面上的每个点中，两家工厂都在开工。要注意的是，边界线上 的每个点位于一个或多个平面上。就是说，对每个这种边界点，都存在着支持平面。我们现 在证明，对一般的线性模型，存在着支持价格；我们进而概括从投入品向量到效率产量 的 映射所具有的特征。
10、9 支持价格的存在性支持价格的存在性 给定投入品向量，设 是最大产量，4即 = max = 0 | , 0 (1.1-3) 因此，(,)是生产集的一个边界点。由于生产集是个凸集，并且免费处置假定成立， 所以存在一个正的支持价格向量(,)使得 对所有的(,) ， (1.1-4) 利用以下假定，我们来证明支持产品价格，肯定严格为正。 假定：可行集具有非空内点集。 存在某个 0，使得 定义 = 0 。根据上述假定，(, ) 。于是，根据支持超平面定理， (1.1-5) 我们已经看到， 0。为证明严格为正，我们假设 = 0，然后证得一个矛盾的结果。首 先，如果 = 0，根据（1.1-5） ， 并且，由
11、于(,) 0，如果 = 0，则 0。因此，由于 ， 0，则无论 的符号如何，这一不等式肯定成立。因此， 0 =1 = 0 而当= 0时，如果 为正，不等式（1.1-10）肯定成立。因此， 0 =1 0 综合这些结果，得到 0 =1 0和0 =1 = 0 这一结论，对的每个坐标都成立。因此，我们可以把必要条件写为 0 0和(0 ) = 0 我们再来证明互补松弛条件。根据定义： max 0 = 0 | argmax 0 = 0 | 定义= 。由于活动向量是可行的， = 0。根据支持超平面定理， 调整后得到，( ) 0。但是， 0并且 0，因此，( ) 0。合并这 些不等式，得到 ( ) = ( )
12、 = 0 证毕 例题：两个工厂和两种投入品例题：两个工厂和两种投入品 11 假设一家企业拥有两家工厂。工厂 1 的运营如果保持在单位活动水平上，则生产01= 1 3件 产品， 所需的投入品向量为()1,1。 工厂 2 的运营如果也保持在单位活动水平上， 它生产02= 1 2 件产品，所需的投入品向量为()4,1。就是说，给定两个工厂的活动水平向量x，总的投入品 需求为 1 2 14 11 x x x = A。 在活动向量为是，最大产量为 = 0 = 1 31 + 1 22. 设全部的投入品向量为 = (11,5)。这个企业能实现的最大产量是多少？ 这里要看到，增加一件产品，工厂 1 需要增加三个单位的活动水平，每件产品对投入品 的需求于是为 1 1433 1103 z = 。 工厂 2 的单位产品对投入品的需求于是为 2 1408 1122 z = 。 图 1.1-7 画出了这两个投
