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1、5.3 相似矩阵理论,定义1,设A,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P,使 P-1AP=B, 则称B是A的相似矩阵,或称方阵A与B相似. 对A进行运算 P-1AP 称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A变成B的变换矩阵.,变换矩阵P,定理1,定理1,若n阶方阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值相同. 证 若A与B相似，则 ，P为可逆矩阵.则,定义2,定义2,设A是n阶方阵，若A相似于对角矩阵，也就是存在可逆矩阵P，使得 则称A可对角化.,推论1,记,定义2,设A是n阶方阵，若A相似于对角矩阵，也就是存在可逆矩阵P，使得 则称A可对角化.,什么条件下A可对角化,记,推论1
2、 若n阶方阵A与对角矩阵 相似，则 是A的n个特征值.,方阵P可以用列向量表示为 由 ，得 ，即 也就是,3个已知结论,所以，P的列向量是A的特征向量； A的对角线上的元素，是对应特征向量 的特征值.,3个已知结论,（1）n阶方阵A的n个列（行）向量线性无关的充分必要条件是A可逆； （2）如果n个列向量是一个正交向量组，则此向量组线性无关； （3）如果A对应的特征值 各不相同，则对应的特征向量线性无关。,定理2,定理2,n阶方阵A与对角矩阵 相似（即能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.,推论2,定理2,n阶方阵A与对角矩阵 相似（即能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.,定理3,推论2 如果方阵A有n个各不相同的特征值，则A有n个线性无关的特征向量.从而A与对角矩阵相似.,定理3,n阶实方阵A与实对角矩阵A相似的充分必要条件是： （1）A的n个特征值都是实数； （2）属于A的特征值 的对应的齐次方程组 的基础解系中向量的个数与 的重数相同.,正反举例,定理3,作业,例,不能对角化,可以对角化,本节课后可以完成的作业,P124（习题五） 一、填空题 8 三、计算与证明题 4,
