《2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第5章数列 5.1 数列的概念与表示 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第5章数列 5.1 数列的概念与表示 （23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第5章 数列 51 数列的概念与表示 知识梳理 1数列的有关概念 2数列的分类 3数列an的 an与 Sn的关系 (1)数列的前 n 项和：Sna1a2an. (2)anError!Error! 特别提醒：若当 n2 时求出的 an也适合 n1 时的情形，则用 一个式子表示 an，否则分段表示 诊断自测 1概念思辨 (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列( ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个( ) (3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点( ) (4)如果数列an的前 n 项和为 Sn，则对nN*，都有 an1Sn1Sn.( ) 答案 (1) (
2、2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A5P31T2)已知数列an的通项公式为 an912n，则在 下列各数中，不是an的项的是( ) A21 B33 C152 D153 答案 C 解析 代 n 值进行验证，n1 时，A 满足；n2 时，B 满足； n12 时，D 满足故选 C. (2)(必修 A5P33T4)在数列an中，a12，an1an，则 1 nn1 数列 a5_. 答案 14 5 解析 a12，a22 ，a3 ， 1 2 5 2 5 2 1 6 8 3 a4 ，a5. 8 3 1 12 33 12 33 12 1 20 14 5 3小题热身 (1)(2017石家庄模拟)数列
3、an：1， ， ，的一个通 5 8 7 15 9 24 项公式是( ) Aan(1)n1(nN*) 2n1 n2n Ban(1)n1(nN*) 2n1 n33n Can(1)n1(nN*) 2n1 n22n Dan(1)n1(nN*) 2n1 n22n 答案 D 解析 由分子 3,5,7,9 归纳为 2n1，由分母 3,8,15,24 归纳为 n(n2)，奇数项为正，偶数项为负故选 D. (2)已知数列an满足：a1a21，an1 (n3，nN*)，则 a6_. a1a2a3an2 4 答案 3 16 解析 由题意可得 a31 ，a411 ，a61 a1 4 3 4 a1a2 4 1 2 1
4、2 a1a2a3a4 4 1. 13 16 3 16 题型 1 知数列前几项求通项公式 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： 典例 (1)1,7，13,19，； (2)0.8,0.88,0.888，； (3)1,0，0，0，0，； 1 3 1 5 1 7 (4) ，1， ， ，. 3 2 7 10 9 17 注意项与项数的关系，相邻项 的变化关系；(1)n在摆动数列中的应用；统一分式观察分子、分母 间的关系 解 (1)符号问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝对值 的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通 项公式为 an(1)n(6n5) (2)将数列变
5、形为 (10.1)， (10.01)， (10.001)， 8 9 8 9 8 9 ，an. 8 9(1 1 10n) (3)把数列改写成 ，分母依次为 1 1 0 2 1 3 0 4 1 5 0 6 1 7 0 8 1,2,3，而分子 1,0,1,0，周期性出现，因此数列的通项可表示 为 an. 11n1 2n (4)将数列统一为 ， ， ，对于分子 3,5,7,9，是序号 3 2 5 5 7 10 9 17 的 2 倍加 1，可得分子的通项公式为 bn2n1，对于分母 2,5,10,17，联想到数列 1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通 项公式为 cnn21， 所以可得它的一个通项公
6、式为 an. 2n1 n21 方法技巧 由数列的前几项求数列通项公式的策略 1对数列的前几项进行归纳、联想，具体如下：分式中分子、 分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号 特征等；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破， 或寻找分子、分母之间的关系如典例(4) 2根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归 纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结 果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(1)n或 (1)n1来调整如典例(1) 冲关针对训练 (2017青岛模拟)数列 1,3,6,10,15，的一个通项公式是( ) Aann2(n1
7、) Bann21 Can Dan nn1 2 nn1 2 答案 C 解析 代入进行验证可得选项 C 成立故选 C. 题型 2 数列的周期性 在数列an中， 典例 a11，a25，an2an1an(nN*) (1)求 a2018；(2)求 S100. 本题采用累加法 解 (1)由 a11，a25，an2an1an(nN*)可得该数列为 1,5,4，1，5，4,1,5,4，. 由此可得 a2018a33662a25. (2)anan1an2，an1an2an3，a3a2a1这 n1 个式子相加得： anan1a3an1a1， Snan1a2(nN*且 n2)， S100a99a2 a1663a2
8、a3a2 9. 方法技巧 数列的周期性是数列的性质之一，其解法往往是依题意列出数 列的前若干项，从而发现规律找到周期 冲关针对训练 (2018大兴一中模拟)数列an满足 an1 Error!Error!a1 ，则数列的第 2018 项为_ 3 5 答案 1 5 解析 a1 ，a22a11 . 3 5 1 5 a32a2 .a42a3 . 2 5 4 5 a52a41 ，a62a51 ，. 3 5 1 5 该数列周期为 T4.a2018a2 . 1 5 题型 3 由 an与 Sn的关系求通项公式 (2017河南八校一联)在数列an中，Sn是其前 n 项和， 典例 且 Sn2an1，则数列的通项公
9、式 an_. 转化法 Snan. 答案 2n1 解析 依题意得 Sn12an11，Sn2an1， 两式相减得 Sn1Sn2an12an，即 an12an， 又 S12a11a1，因此 a11， 所以数列an是以 a11 为首项，2 为公比的等比数列， an2n1. 条件探究 将本典例条件变为“an2SnSn10(n2，nN*)， a1 ” ，则an的通项公式为_ 1 2 答案 anError!Error! 解析 当 n2，nN*时，anSnSn1， SnSn12SnSn10，易知 SnSn10，所以2. 1 Sn 1 Sn1 又 S1a1 ，2，数列是以 2 为首项，公差为 2 1 2 1 S
10、1 1 Sn 的等差数列 2(n1)22n.Sn. 1 Sn 1 2n 当 n2，nN*时，an2SnSn12 1 2n 1 2n1 . 1 2nn1 anError!Error! 方法技巧 1已知 Sn求 an的三个步骤 (1)先利用 a1S1求出 a1. (2)用 n1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系，利用 anSnSn1(n2)便可求出当 n2 时 an的表达式 (3)对 n1 时的结果进行检验，看是否符合 n2 时 an的表达式， 如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n1 与 n2 两段来写如条件探究 2Sn与 an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要
11、求，将问题向不同的两个方向转化 (1)利用 anSnSn1(n2)转化为只含 Sn，Sn1的关系式 (2)利用 SnSn1an(n2)转化为只含 an，an1的关系式，再求 解见典例 冲关针对训练 设数列an的前 n 项和为 Sn，数列Sn的前 n 项和为 Tn，满足 Tn2Snn2，nN*. (1)求 a1的值； (2)求数列an的通项公式 解 (1)令 n1 时，T12S11. T1S1a1，a12a11.a11. (2)当 n2 时，Tn12Sn1(n1)2， 则 SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22(SnSn1) 2n12an2n1. 当 n1 时，a1S11 也满足上式， S
12、n2an2n1(n1) 当 n2 时，Sn12an12(n1)1， 两式相减，得 an2an2an12， an2an12(n2) an22(an12)(n2) a1230，数列an2是以 3 为首项，公比为 2 的等比 数列 an232n1，an32n12. 当 n1 时也满足 a11， an32n12. 题型 4 由递推关系求通项公式 角度 1 形如 an1anf(n)，求 an(多维探究) (2015江苏高考)设数列an满足 a11，且 典例 an1ann1(nN*)，求 an. 累加法(或凑配法) 解 由题意可得，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 123n. nn1 2 条
13、件探究 将本典例条件“an1ann1”变为 “an1an2n” ，其他条件不变，则 an的通项公式为_ 答案 2n1 解析 由题意知 an1an2n， an(anan1)(an1an2)(a2a1) a12n12n2212n1. 12n 12 角度 2 形如 an1anf(n)，求 an 已知数列an满足 a1 ，an1an，则通项公式 典例 2 3 n n2 an_. 累乘法 答案 4 3nn1 解析 由已知得，分别令 n1,2,3，(n1)， an1 an n n2 代入上式得 n1 个等式累乘， 即 ，所以 a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an1 1 3 2 4 3 5 4 6 n2 n n1 n1 an a1 ，an. 2 nn1 4 3nn1 又因为 a1 也满足该式，所以 an. 2 3 4 3nn1 角度 3 形如 an1panq，求 an(多维探究) 已知数列an中，a11，an12an3，则通项公式 典例 an_. 待定系数法、转化法、构造 法 答案 2n13 解析 递推公式 an12an3 可以转化为 an1t2(ant)， 即 an12antt3.故递推公式为 an132(an3)，令 bnan3，则 b1a134，且2.所以bn是以 bn1 bn an13 an3 b14 为首项，2 为公比的等比数列，则 bn42n12n1，所以 an
