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1、基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1若 x0，则 x 的最小值是( ) 2 x A2 B4 C. D2 22 答案 D 解析 由基本不等式可得 x 22，当且仅当 x 即 2 x x2 x2 2 x x时取等号，故最小值是 2.故选 D. 22 2若函数 f(x)x(x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于( ) 1 x2 A1 B1 C3 D4 23 答案 C 解析 当 x2 时，x20，f(x)(x2)22 1 x2 24，当且仅当 x2(x2)，即 x3 时取 x2 1 x2 1 x2 等号，即当 f(x)取得最小值时，即 a3.故选 C. 3(2018河南平顶山一模)若对任意 x0，a
2、 恒成立， x x23x1 则 a 的取值范围是( ) Aa Ba Ca Da 1 5 1 5 1 5 1 5 答案 A 解析 因为对任意 x0，a 恒成立， x x23x1 所以对 x(0，)，a max， ( x x23x1) 而对 x(0，)， ， x x23x1 1 x1 x3 1 2 x1 x3 1 5 当且仅当 x1 时等号成立，a .故选 A. 1 5 4在方程|x|y|1 表示的曲线所围成的区域内(包括边界)任取 一点 P(x，y)，则 zxy 的最大值为 ( ) A. B. C. D. 1 2 1 3 1 4 1 8 答案 C 解析 根据题意如图所示， 要保证 z 最大，则
3、P 应落在第一或第三象限内，不妨设 P 点落 在线段 AB 上，故 zxyx(1x) 2 ，当且仅当 x 时， ( x1x 2 ) 1 4 1 2 等号成立，故 z 的最大值为 .故选 C. 1 4 5(2018福建四地六校联考)已知函数 f(x)x 2 的值域为 a x (，04，)，则 a 的值是( ) A. B. C1 D2 1 2 3 2 答案 C 解析 由题意可得 a0，当 x0 时，f(x) x 222，当且仅当 x时取等号；当 x0，b0，且 ab1，若不等式(xy)m， ( a x b y) 对任意的正实数 x，y 恒成立，则实数 m 的取值范围是( ) A4，) B(，1 C
4、(，4 D(，4) 答案 D 解析 因为 a，b，x，y 为正实数，所以(xy)ab ( a x b y) ab2224，当且仅当 ab，即 ay x bx yab ay x bx y ab，xy 时等号成立，故只要 m0，b0，O 为坐标原点)，若 A，B，C 三点共线，则 OC 的最小值是( ) 2 a 1 b A4 B. C8 D9 9 2 答案 D 解析 (a1,1)，(b1,2)， AB OB OA AC OC OA 若 A，B，C 三点共线，则有， AB AC (a1)21(b1)0，2ab1， 又 a0，b0， (2ab)5 2 a 1 b ( 2 a 1 b) 2b a 2a
5、b 529， 2b a 2a b 当且仅当Error!Error!即 ab 时等号成立故选 D. 1 3 10(2018河南洛阳统考)设二次函数 f(x)ax2bxc 的导函数 为 f(x)若xR，不等式 f(x)f(x)恒成立，则的最大 b2 a22c2 值为( ) A.2 B.2 C22 D22 6622 答案 B 解析 由题意得 f(x)2axb，由 f(x)f(x)在 R 上恒成立 得 ax2(b2a)xcb0 在 R 上恒成立，则 a0 且 0，可得 b24ac4a2， 则， b2 a22c2 4ac4a2 a22c2 4(c a1) 2(c a)21 且 4ac4a20，4 40，
6、 10，令 t 1，则 c a c a c a t0. 当 t0 时，2 b2 a22c2 4t 2t24t3 4 2t3 t 4 4 2 646 ，当 t0 时，0，故的 (当且仅当t 6 2 时等号成立) b2 a22c2 b2 a22c2 最大值为2.故选 B. 6 二、填空题 11(2014福建高考)要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖 长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是 每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是_(单位：元) 答案 160 解析 设底面的相邻两边长分别为 x m，y m，总造价为 T 元， 则 Vxy14xy4. T420(2
7、x2y)1108020(xy) 8020280204160.(当且仅当 xy 时取等号) xy 故该容器的最低总造价是 160 元 12(2018河南百校联盟模拟)已知正实数 a，b 满足 ab4， 则的最小值为_ 1 a1 1 b3 答案 1 2 解析 ab4，a1b38， (a1)(b3) 1 a1 1 b3 1 8 ( 1 a1 1 b3) (22) ， 1 8(2 b3 a1 a1 b3) 1 8 1 2 当且仅当 a1b3，即 a3，b1 时取等号， 的最小值为 . 1 a1 1 b3 1 2 13(2018泰安模拟)正实数 a、b 满足6，则 2 a2b 1 2ab 4a5b 的最
8、小值是_ 答案 3 2 解析 正实数 a、b 满足6， 2 a2b 1 2ab 令 a2bm,2abn，则正数 m，n 满足 6， 2 m 1 n 则 4a5b2mn (2mn) 1 6 ( 2 m 1 n) ， 1 6(5 2n m 2m n ) 1 6( 52 2n m 2m n) 3 2 当且仅当即 mn 时取等号， 2n m 2m n 1 2 此时 ab ，故 4a5b 的最小值为 . 1 6 3 2 14已知 x，y 满足约束条件Error!Error!且目标函数 zaxby(a，b0)的最大值为 4，则 的最小值为_ 4 a 2 b 答案 32 2 解析 画区域如图， 易知目标函数
9、在点 A 处取得最大值，由 Error!Error! 解得Error!Error!所以 2a2b4，即 ab2， 所以 2 13 32 4 a 2 b 2ab a ab b 2b a a b 2b a a b 32， 2b a a b2 当且仅当 ，即Error!Error!时，取等号 2b a a b 故 的最小值为 32. 4 a 2 b2 三、解答题 15(2017太原期末)如图，围建一个面积为 100 m2的矩形场地， 要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙需维修)，其余三面围墙要新建， 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，已知旧墙的 维修费用为 56 元/米，新墙的造价为
10、 200 元/米，设利用的旧墙长度 为 x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用 y(单位：元) (1)将 y 表示为 x 的函数； (2)求当 x 为何值时，y 取得最小值，并求出此最小值 解 (1)由题意得矩形场地的另一边长为米， 100 x y56x200256x400(x0) (x2 100 x 2) 40000 x (2)由(1)得 y256x400 40000 x 24006000， 256x40000 x 当且仅当 256x时，等号成立， 40000 x 即当 x米时，y 取得最小值 6000 元 25 2 16(2018南昌模拟)已知ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别
11、为 a，b，c，且 tanA，tanB 是关于 x 的方程 x2(1p)xp20 的两个实根，c4. (1)求角 C 的大小： (2)求ABC 面积的取值范围 解 (1)由题意得 tanAtanB1p，tanAtanBp2，所以 tan(AB)1， tanAtanB 1tanAtanB 1p 1p2 故ABC 中，AB ，所以 C. 4 3 4 (2)由 C，c4 及 c2a2b22abcosC， 3 4 可得 42a2b22ab， ( 2 2) 整理得 16a2b2ab，即 16aba2b2， 22 又 a0，b0，所以 16aba2b22ab， 2 得 ab，当且仅当 ab 时取等号， 16 2 2 所以ABC 的面积 S absinC ab 1 2 1 2 2 2 1 2 16 2 2 2 2 44， 4 2 2 22 所以ABC 面积的取值范围为(0,44 2
