《2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第7章立体几何 7.5 直线、平面垂直的判定与性质 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第7章立体几何 7.5 直线、平面垂直的判定与性质 （34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、75 直线、平面垂直的判定与性质 知识梳理 1直线与平面垂直 判定定理与性质定理 2平面与平面垂直 判定定理与性质定理 3.直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直 线和这个平面所成的角 对于直线和平面所成的角应从以下三方面理解： (1)一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是 0 的角； (2)一条直线垂直于平面，则称它们所成的角是直角； (3)直线和平面所成角 的范围是 090. 4必记结论 (1)若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这 个平面 (2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内 任何一条直线 (3)过空间任
2、一点有且只有一条直线与已知平面垂直 (4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直 (5)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直 (6)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于 第三个平面 诊断自测 1概念思辨 (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另 一个平面( ) (4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A2P73A 组 T1)若 m，n 表示两条不同的直线
3、， 表示平 面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) Error!Error!mn；Error!Error!mn；Error!Error!n. A1 B2 C3 D0 答案 B 解析 不正确，直线 n 与 不一定垂直，可能是平行或相交 或在平面内均正确故选 B. (2)(必修 A2P67T2)在三棱锥 PABC 中，点 P 在平面 ABC 中的 射影为点 O， 若 PAPBPC，则点 O 是ABC 的_心； 若 PAPB，PBPC，PCPA，则点 O 是ABC 的 _心 答案 外 垂 解析 如图 1，连接 OA，OB，OC，OP， 在 RtPOA、RtPOB 和 RtPOC 中，PAPCPB，
4、 所以 OAOBOC，即 O 为ABC 的外心 如图 2，PCPA，PBPC，PAPBP， PC平面 PAB，AB平面 PAB， PCAB，又 ABPO，POPCP， AB平面 PGC，又 CG平面 PGC，ABCG， 即 CG 为ABC 边 AB 的高， 同理可证 BD，AH 分别为ABC 边 AC，BC 上的高，即 O 为 ABC 的垂心 3小题热身 (1)(2017湖南六校联考)已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出 m 的是( ) A 且 m B 且 m Cmn 且 n Dmn 且 答案 C 解析 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定
5、定理，可知 C 正确故选 C. (2)(2018辽宁五校联考)假设平面 平面 EF，AB，CD，垂足分别为 B，D，如果增加一个条件， 就能推出 BDEF，现有下面四个条件： AC；AC；AC 与 BD 在 内的射影在同一条直线 上；ACEF. 其中能成为增加条件的是_(把你认为正确的条件序号 都填上) 答案 解析 如果 AB 与 CD 在一个平面内，可以推出 EF 垂直于该平 面，又 BD 在该平面内，所以 BDEF.故要得到 BDEF，只需 AB，CD 在一个平面内即可，只有能保证这一条件 题型 1 直线与平面垂直的判定与性质 角度 1 直线与平面垂直的判定定理 (2016全国卷)如图，已
6、知正三棱锥 PABC 的侧面 典例 是直角三角形，PA6.顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在 平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G. (1)证明：G 是 AB 的中点； (2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由)， 并求四面体 PDEF 的体积 利用线面垂直判定定理进行证 明 解 (1)证明：因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 ABPD. 因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，所以 ABDE.又 PDDED，所以 AB平面 PED，故 ABPG. 又由已知可得，PAPB，从而 G 是 AB 的
7、中点 (2)在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F，F 即 为 E 在平面 PAC 内的正投影 理由如下：由已知可得 PBPA，PBPC，又 EFPB，所以 EFPA，EFPC，又 PAPCP，因此 EF平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影 连接 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三 角形 ABC 的中心，由(1)知，G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD CG. 2 3 由题设可得 PC平面 PAB，DE平面 PAB，所以 DEPC， 因此 PE PG，DE PC. 2 3 1 3 由已知，正三棱
8、锥的侧面是直角三角形且 PA6，可得 DE2，PE2. 2 在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EFPF2， 所以四面体 PDEF 的体积 V 222 . 1 3 1 2 4 3 角度 2 垂直关系中的探索性问题 如图所示，平面 ABCD平面 BCE，四边形 ABCD 为 典例 矩形，BCCE，点 F 为 CE 的中点 (1)证明：AE平面 BDF； (2)点 M 为 CD 上任意一点，在线段 AE 上是否存在点 P，使得 PMBE？若存在，确定点 P 的位置，并加以证明；若不存在，请 说明理由 从 BCCE，取 BE 的中点 H，CHBE 入手分析 解 (1)证明：连接 AC 交 BD 于
9、O，连接 OF，如右图 四边形 ABCD 是矩形，O 为 AC 的中点， 又 F 为 EC 的中点， OF 为ACE 的中位线， OFAE，又 OF平面 BDF，AE平面 BDF. AE平面 BDF. (2)当 P 为 AE 中点时，有 PMBE. 证明如下：取 BE 中点 H，连接 DP, PH，CH. P 为 AE 的中点，H 为 BE 的中点， PHAB，又 ABCD， PHCD， P，H，C，D 四点共面 平面 ABCD平面 BCE，平面 ABCD平面 BCEBC，CD平面 ABCD，CDBC. CD平面 BCE，又 BE平面 BCE， CDBE，BCCE，H 为 BE 的中点， CH
10、BE， 又 CDCHC，BE平面 DPHC，又 PM平面 DPHC，BEPM，即 PMBE. 方法技巧 1证明直线与平面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理，这是主要证明方法 (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平 面垂直” (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个 也垂直” (4)利用面面垂直的性质定理 2线面垂直中的探索性问题 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探 求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求 的证明见角度 2 典例 冲关针对训练 (2018济南模拟)如图，正方形 ABCD 和直角梯形 ACEF
11、所在的 平面互相垂直，FAAC，EFAC，AB，EFFA1. 2 (1)求证：CE平面 BDF； (2)求证：BE平面 DEF. 证明 (1)设正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，连接 FO.由题知 EFOC1，因为 EFAC， 所以四边形 CEFO 为平行四边形，所以 CEOF. 又 CE平面 BDF，OF平面 BDF， 所以 CE平面 BDF. (2)因为平面 ABCD平面 ACEF，平面 ABCD平面 ACEFAC，FAAC，FA平面 ACEF，故 FA平面 ABCD. 连接 EO，易知四边形 AOEF 为边长为 1 的正方形， 所以 EO平面 ABCD，则 EOBD
12、. 所以BDE 为等腰三角形，BD2BO2OC2， BEDE. BO2EO22 因为 BD2BE2DE2， 所以 BEDE.同理在BEF 中，BEEF， 因为 DEEFE，所以 BE平面 DEF. 题型 2 面面垂直的判定与性质 (2017北京高考)如图，在三棱锥 PABC 中， 典例 PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D 为线段 AC 的中 点，E 为线段 PC 上一点 (1)求证：PABD； (2)求证：平面 BDE平面 PAC； (3)当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积 首先分析已知中的垂直线段所在 的平面，由于 ABBC，取 AC 的中点是关键 解 (1)
13、证明：因为 PAAB, PABC，所以 PA平面 ABC. 又因为 BD平面 ABC，所以 PABD. (2)证明：因为 ABBC，D 为 AC 中点， 所以 BDAC.由(1)知，PABD，又 PAACA， 所以 BD平面 PAC.又 BD平面 BDE， 所以平面 BDE平面 PAC. (3)因为 PA平面 BDE，平面 PAC平面 BDEDE，所以 PADE. 因为 D 为 AC 的中点， 所以 DE PA1，BDDC. 1 22 由(1)知，PA平面 ABC， 所以 DE平面 ABC. 所以三棱锥 EBCD 的体积 V BDDCDE . 1 6 1 3 结论探究 在典例条件下，证明：平面
14、 PBC平面 PAB. 证明 由(1)知 PABC，又 BCAB 且 PAABA，BC平 面 PAB，又BC平面 PBC，平面 PBC平面 PAB. 方法技巧 面面垂直的应用策略 1证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂 直的判定定理 2已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平 面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂 直 冲关针对训练 (2015全国卷)如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE平面 ABCD. (1)证明：平面 AEC平面 BED； (2)若ABC120，AEEC，三棱锥 EACD 的体积为，求 6 3 该三棱
15、锥的侧面积 解 (1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD. 因为 BE平面 ABCD， 所以 ACBE，又 BEBDD，故 AC平面 BED. 又 AC平面 AEC，所以平面 AEC平面 BED. (2)设 ABx，在菱形 ABCD 中，由ABC120，可得 AGGCx，GBGD . 3 2 x 2 因为 AEEC，所以在 RtAEC 中，可得 EGx. 3 2 由 BE平面 ABCD，知EBG 为直角三角形，可得 BEx. 2 2 由已知得，三棱锥 EACD 的体积 VEACD ACGDBEx3， 1 3 1 2 6 24 6 3 故 x2，从而可得 AEECED. 6 所以EAC 的面积为 3，EAD 的面积与ECD 的面积均为， 5 故三棱锥 EACD 的侧面积为 32.
