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1、勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么。勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法。 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；根据同一种图形
2、的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。常见方法如下：方法一：， ，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为，大正方形面积为,所以.方法三：，化简得证。.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形来说就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在中，则，。知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。可运用勾股定理解决一些实际问题。.勾股定理的逆定理如果三角
3、形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，为三边的三角形是锐角三角形；定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长， 满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边；勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。.勾股数能够构成直角三角形的
4、三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数；记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；等；用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）；（，为正整数）。.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，
5、应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形：题型一：直接考查勾股定理例.在中，已知，求的长；已知，求的长。解：； 题型二：应用勾股定理建立方程例.在中，于，；已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为；已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为。解：，设两直角边的长分别为，设两直角边分别
6、为，则，可得。例.如图中，求的长。解：作于，在中，在中，例4. 如图，RtABC中，AB=9，BC=6，B=90，将ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A BC4D5解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9x，D是BC的中点，BD=3，在RtABC中，x2+32=（9x）2，解得x=4故线段BN的长为4故选：C例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解：根据题意得RtADERtAEF，AFE=90, AF=10cm, EF=DE设CE=xcm，则DE=EF=CDCE
7、=8x在RtABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，BF=6cm，CF=BCBF=106=4(cm)在RtECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8x) 2=x2+426416x+x2=2+16，x=3(cm),即CE=3 cm。题型三：实际问题中应用勾股定理例6.如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）解：如图所示，过D点作DEAB，垂足为E。AB=13，CD=8又BE=CD，DE=BCAE=ABBE=ABCD=138=5在RtADE中，DE=BC=12，AD2=AE2+DE2=122+52=14
8、4+25=169，AD=13（负值舍去）。答：小鸟飞行的最短路程为13m例7.如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是25 解：如图所示，三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）3，蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+（2+3）32=252，解得：x=25故答案为25例8.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？已知长方体的长2cm、宽为1c
9、m、高为4cm解：如图：根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：（1）沿AA，AC，CB，BB剪开，得图（1）AB2=AB2+BB2=（2+1）2+42=25；（2）沿AC，CC，CB，BD，DA，AA剪开，得图（2）AB2=AC2+BC2=22+（4+1）2=4+25=29；（3）沿AD，DD，BD，CB，CA，AA剪开，得图（3）AB2=AD2+BD2=12+（4+2）2=1+36=37；综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB2=25，即AB=5cm例9.如图，RtABC中，AC=5，BC=12，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为 解：由勾股定理AB=13，根据
10、题意得：S阴影=（）2+（）2-（）2-512=30例10.等腰直角ABC中，BC=AC=1，以斜边AB和长度为1的边BB1为直角边构造直角ABB1，如图，这样构造下去，则AB3= 2；ABn= 解：等腰直角ABC中，BC=AC=1，AB=，BB1=1，ABB1=90，AB1=，同理可得：AB2=2，AB3=；AB、AB1、AB2、AB3的值可知ABn=题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形。例11.已知三角形的三边长为，判定是否为：，解：，是直角三角形且；，不是直角三角形。例12.三边长为，满足，的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形。理由：，且；所以此三角形是直角
11、三角形。题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例13.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是 解：设小正方形的边长为1，则AB 2=22+22=8，CD 2=22+42=20，EF 2=12+22=5，GH 2=22+32=13因为AB 2+EF 2=GH 2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH例14.已知中，边上的中线，求证：证明：为中线，在中，例15.如图，在四边形ABCD中，B=90，AB=BC=4，CD=6，DA=2求DAB的度数解：连结AC，B=90，AB=BC=4，AC 2=32，DAB=DBA=45，32+22=62，AC 2+DA 2=CD 2，ACD是直角三角形，DAC是CD所对的角，DAC=90，DAB=DAC+BAC=90+=1356
