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1、Today:2024/8/11第五章第五章 常见概率分布律常见概率分布律难度级：难度级：Today:2024/8/11第一节二项分布第一节二项分布第二节泊松分布第二节泊松分布第三节正态分布第三节正态分布第四节其他概率分布律第四节其他概率分布律内容提要内容提要Today:2024/8/11教学重点：教学重点：1. 正态分布、二项分布、泊松分布的概率 计算方法及应用；2. 正态分布标准化的方法3. 正态分布表、t值表的用法教学要求：教学要求：掌握正态分布、二项分布、泊松分布的概率计算方法及应用Today:2024/8/11一、贝努利试验及其概率公式一、贝努利试验及其概率公式（一）独立试验和贝努利试
2、验（一）独立试验和贝努利试验 对于n次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件 与 之一; 在每次试验中出现A的概率是常数p（0p0,q0,p+q=1）,则称随机变量X服从参数为n和p的二项分布，记为Today:2024/8/11（二）二项分布的性质（二）二项分布的性质 二项分布是一种离散型随机变量的概率分布，由n和p两个参数决定，参数n称为离散参数离散参数，只能取正整数；p是连续参数连续参数，取值为0与1之间的任何数值。 二项分布具有概率分布的一切性质，即： （k=0,1,2,n） 二项分布的概率之和等于1，即：Today:2024/8/11二项分布的性质二项分布的性质二项分布的性质
3、二项分布的性质Today:2024/8/11 三、二项分布的平均数与标准差三、二项分布的平均数与标准差 统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变量之平均数、标准差与参数n、p有如下关系： 当试验结果以事件当试验结果以事件A A发生次数发生次数k k表示时表示时 当试验结果以事件当试验结果以事件A A发生的频率发生的频率k kn n表示时，表示时，也称率的标准误。Today:2024/8/11四、二项分布的概率计算及其应用条件四、二项分布的概率计算及其应用条件（一）概率计算（一）概率计算 直接利用二项概率公式 例例66有一批种蛋，其孵化率为0.85，今在该批种蛋中任选6枚进行孵化，试给出孵化
4、出小鸡的各种可能情况的概率。 这个问题属于贝努里模型(?)，其中 ，孵化6枚种蛋孵出的小鸡数x服从二项分布 .其中x的可能取值为0，1，2，3，4，5，6。Today:2024/8/11思考：求 至少孵出3只小鸡的概率是多少？ 孵出的小鸡数在2-5只之间的概率是多大？其中：Today:2024/8/11 【例例4.10】 设在家畜中感染某种疾病的概率在家畜中感染某种疾病的概率为20，现有两种疫苗，用疫苗有两种疫苗，用疫苗A 注射了注射了15头家畜后家畜后无一感染，用疫苗无一感染，用疫苗B 注射注射 15头家畜后有家畜后有1头感染。感染。设各各头家畜没有相互家畜没有相互传染疾病的可能，染疾病的可
5、能，问：应该如何如何评价价这两种疫苗两种疫苗? 假假设疫苗疫苗A完全无效，那么注射后的家畜感染的完全无效，那么注射后的家畜感染的概率仍概率仍为20，则15 头家畜中染病家畜中染病头数数x=0的概的概率率为 Today:2024/8/11 同理，如果疫苗同理，如果疫苗B完全无效，则完全无效，则15头家畜中头家畜中最多有最多有1头感染的概率为头感染的概率为 由计算可知由计算可知 ， 注射注射 A 疫苗无效的概率为疫苗无效的概率为0.0352，比，比B疫苗无效的概率疫苗无效的概率0.1671小得多。小得多。因此，可以认为因此，可以认为A疫苗是有效的，但不能认为疫苗是有效的，但不能认为B疫苗也是有效的
6、。疫苗也是有效的。 Today:2024/8/11（二）应用条件（三个）（二）应用条件（三个） n个观察单位的观察结果互相独立观察结果互相独立; 各观察单位只具有互相对立的一种结果只具有互相对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类资料。 已知发生某一结果已知发生某一结果(如死亡) 的概率为的概率为p p，其对立结果的概率则为1-P=q，实际中要求p 是从大量观察中获得的比较稳定的数值。Today:2024/8/11要观察到这类事件，样本含量n必须很大 。在生物、医学研究中，服从泊松分布的随机变量是常见的。 此外，由于泊松分布是描述小概率事件的，因而二项分布中当p很小n很大时，可
7、用泊松分布Today:2024/8/11 泊松分布是用来描述和分析稀有事件稀有事件即小概率事件分布规律的函数。 在生物、医学研究中，服从波松分布的随机变量是常见的。如， 一定种群中某种患病率很低的非传染性疾病患病数或死亡数， 种群中遗传的畸形怪胎数， 每升饮水中大肠杆菌数，计数器小方格中血球数， 单位空间中某些野生动物或昆虫数等，都是服从波松分布的。 第二节第二节 泊松分布泊松分布Possion distributionToday:2024/8/11一、泊松分布的意义一、泊松分布的意义（一）定义（一）定义 若随机变量X(X=k)只取零和正整数值，且其概率分布为 则称X服从参数为的泊松分布，记为
8、X XP()P()。（二）特征（二）特征 =2 2=Today:2024/8/11【例例4.13】 调查某种猪场闭锁育种群仔猪畸调查某种猪场闭锁育种群仔猪畸形数，共记录形数，共记录200窝，窝， 畸形仔猪数的分布情况畸形仔猪数的分布情况如表如表4-3所示。试判断畸形仔猪数是否服从波所示。试判断畸形仔猪数是否服从波松分布。松分布。 Today:2024/8/11 表表4-3 畸形仔猪数畸形仔猪数统计分布分布 样本均数和方差本均数和方差S2计算算结果如下：果如下： =fk/n =(1200+621 +152+23+14)/200 S2 =0.51 =0.51，S2=0.52,这两个数是相当接近的这
9、两个数是相当接近的 ， 因因此可以认为畸形仔猪数服从波松分布。此可以认为畸形仔猪数服从波松分布。 几种常见概率分布Today:2024/8/11 是波松分布所依是波松分布所依赖的唯一参数。的唯一参数。 值愈小愈小分布愈偏倚，随着分布愈偏倚，随着的增大的增大 ，分，分 布布趋于于对称。当称。当= 20时分布接近于正分布接近于正态分布；当分布；当=50时， 可以可以认 为波松分布呈正波松分布呈正态分布。分布。 所以在所以在实际工作中，当工作中，当 20时就可以用正就可以用正态分布来近似地分布来近似地处理波松分布理波松分布的的问题。 Today:2024/8/11 二、波松分布的概率二、波松分布的概
10、率计算算 由由(4-23)式可知，波松分布的概率式可知，波松分布的概率计算，依算，依赖于参数于参数 的确定，只要参数的确定，只要参数确定了确定了 ，把，把k=0，1，2， 代入代入(4-23)式即可求得各式即可求得各项的概率。的概率。 但是但是在大多数服从波松分布的在大多数服从波松分布的实例中，分布参数例中，分布参数往往往往是未知的，只能从所是未知的，只能从所观察的随机察的随机样本中本中计算出相算出相应的的样本平均数作本平均数作为 的的 估估计值，将其代替，将其代替(4-23)式中的式中的，计算出算出 k = 0，1，2， 时的各的各项概概率。率。 Today:2024/8/11 如如【例例4
11、.13】中已判断畸形仔猪数服从波中已判断畸形仔猪数服从波松分布，并已算出松分布，并已算出样本平均数本平均数=0.51。将。将0.51代代替公式（替公式（4-23）中的）中的得：得： (k=0,1,2,) 因因为e-0.51=1.6653，所以畸形仔猪数各，所以畸形仔猪数各项的的概率概率为： P(x=0)=0.510(0!1.6653)=0.6005P(x=1)=0.511(1!1.6653)=0.3063P(x=2)=0.512(2!1.6653)=0.0781 P(x=3)=0.513(3!1.6653)=0.0133P(x=4)=0.514(4!1.6653)=0.0017 把上面各把上面
12、各项概率乘以概率乘以总观察察窝数数(n=200)即得各即得各项按波松分布的理按波松分布的理论窝数。数。 波松分布与相波松分布与相应的的频率分布列于表率分布列于表4-4中。中。 几种常见概率分布Today:2024/8/11表表4-4 畸形仔猪数的波松分布畸形仔猪数的波松分布 将将实际计算得的算得的频率与根据率与根据=0.51的泊松分的泊松分布布计算的概率相比算的概率相比较 ，发现畸形仔猪的畸形仔猪的频率率分布与分布与 =0.51 的的 波松分布是吻合得很好的波松分布是吻合得很好的 。这进一步一步说明了畸形仔猪数是服从波松分布的。明了畸形仔猪数是服从波松分布的。 【例例4.14】 为监测饮用水的
13、用水的污染情况，染情况， 现检验某某社区每毫升社区每毫升饮用水中用水中细菌数菌数 ， 共得共得400个个记录如下：如下： 试分析分析饮用水中用水中细菌数的分布是否服从波松分布。菌数的分布是否服从波松分布。若服从，按波松分布若服从，按波松分布计算每毫升水中算每毫升水中细菌数的概率菌数的概率及理及理论次数并将頻率分布与波松分布作直次数并将頻率分布与波松分布作直观比比较。 几种常见概率分布Today:2024/8/11 经计算得每毫升水中平均算得每毫升水中平均细菌数菌数 =0.500,方差方差S2=0.496。两者很接近，。两者很接近， 故可故可认为每毫升每毫升水中水中细菌数服从波松分布。以菌数服从
14、波松分布。以 =0.500代替代替（4-23）式中的）式中的，得，得 (k=0,1,2)计算算结果如表果如表45所示。所示。 表表45 细菌数的波松分布细菌数的波松分布 可见细菌数的频率分布与可见细菌数的频率分布与=0.5的波松分布是相的波松分布是相当吻合的当吻合的 ， 进一步说明用波松分布描述单位容积进一步说明用波松分布描述单位容积(或面积或面积)中细菌数的分布是适宜的。中细菌数的分布是适宜的。 几种常见概率分布Today:2024/8/11 注意，二注意，二项分布的分布的应用条件也是波松分布的用条件也是波松分布的应用条件。比如二用条件。比如二项分布要求分布要求n 次次试验是相互独是相互独立
15、的，立的，这也是波松分布的要求。然而一些具有也是波松分布的要求。然而一些具有传染性的罕染性的罕见疾病的疾病的发病数，因病数，因为首例首例发生之后可生之后可成成为传染源，会影响到后染源，会影响到后续病例的病例的发生，所以不生，所以不符合波松分布的符合波松分布的应用条件。用条件。对于在于在单位位时间、单位面位面积或或单位容位容积内，所内，所观察的事物由于某些原察的事物由于某些原因分布不随机因分布不随机时，如，如细菌在牛奶中成集落存在菌在牛奶中成集落存在时，亦不呈波松分布。亦不呈波松分布。Today:2024/8/11一、正态分布的定义及其特征一、正态分布的定义及其特征（一）定义（一）定义 若连续性
16、随机变量若连续性随机变量X X的概率分布密度的概率分布密度函数为：函数为： 其中，其中，为平均数，为平均数，2 2 为方差，则称随机变为方差，则称随机变量量服从正态分布服从正态分布, ,记为记为( (, ,2 2).).相应的概率相应的概率分布函数为分布函数为第三节第三节 正态分布正态分布normal distributionToday:2024/8/11（二）特征（二）特征正态分布密度曲线是以= 为对称轴的单峰、对称单峰、对称的悬悬钟形；钟形；f(x)在=处达到极大值,极大值为f(x)是非负数，以x轴为渐进线；正态分布正态分布密度函数曲线密度函数曲线 Today:2024/8/11正态分布有
17、两个参数，即平均数和标准差。是位置参位置参数数，是变异度参数变异度参数。分布密度曲线与横轴所夹的面积为1，即：正态分布正态分布密度函数曲线密度函数曲线 特征特征Today:2024/8/11 相同而相同而不同的三个正态总体不同的三个正态总体 相同而相同而不同的三个正态总体不同的三个正态总体特征特征Today:2024/8/11（一）定义（一）定义 称=0, =0, 2 2=1=1的正态分布为标准正态分布标准正态分布。标准正态分布的概率密度函数及分布函数如下： 若随机变量服从标准正态分布，记作(0, 1)二、标准正态分布二、标准正态分布standard normal distributionTo
18、day:2024/8/11（二）标准化的方法（二）标准化的方法 对于任何一个服从正态分布(,2)的随机变量 ，都可以通过标准化变换：u=(- )/ 即减平均数后再除以标准差减平均数后再除以标准差，将其变换为服从标准正态分布的随机变量。 对不同的及P(Uu)值编成函数表，称为正态分布表，从中可以查到任意一个区间内曲线下的面积，即为概率。Today:2024/8/11三、正态分布的概率计算三、正态分布的概率计算（一）标准正态分布的概率计（一）标准正态分布的概率计 设u服从标准正态分布，则落在1,2内的概率Today:2024/8/11应应熟熟记记的的几几种种标标准准正正态态分分布布概概率率Toda
19、y:2024/8/11（二）一般正态分布的概率计算（二）一般正态分布的概率计算 将区间的上下限标准化将区间的上下限标准化：服从正态分布的随机变量落在1,2内的概率，等于服从标准正态分布的随机变量u落在 的概率。查标准正态分布表查标准正态分布表例如，例如，例如，例如，u u=1.75 =1.75 ，1.71.7放在第一列放在第一列放在第一列放在第一列0.050.05放在第一行放在第一行放在第一行放在第一行 。 在在在在附表附表附表附表1 1中中中中 ， 1.71.7所在行与所在行与所在行与所在行与 0.05 0.05 所在列相交所在列相交所在列相交所在列相交处处的数的数的数的数值为值为0.959
20、940.95994，即，即，即，即 (1.75)=0.95994(1.75)=0.95994Today:2024/8/11 【例例4.6】 已知已知uN(0，1)，试求：求： (1) P(u-1.64)? (2) P (u2.58)=? (3) P (u2.56)=? (4) P(0.34u1.53) =? Today:2024/8/11 利用利用(4-12)式，式，查附表附表2得：得： (1) P(u-1.64)=0.05050 (2) P (u2.58)=(-2.58)=0.024940 (3) P (u2.56) =2(-2.56)=20.005234 =0.010468 (4) P (
21、0.34u1.53) =(1.53)-(0.34) =0.93669-0.6331=0.30389Today:2024/8/11 例例 若服从=30.26,2 =5.102的正态分布，试求P(21.64x32.98)。 令u=(-30.26)/5.10,则u服从标准正态分布，故Today:2024/8/11 高梁品种三尺三的株高服从正态分布N(156.2,4.822),求：（1）X164cm的概率；（3）X在152162cm的概率。解：（1）根据P(X164)= -(164-156.2)/4.82= (-1.62) =0.05262 = 1- (164-156.2)/4.82=1-0.9473
22、8 =0.05262(3)P(152X162)= (162-156.2)/4.82- (152-156.2)/4.82 =0.69278Today:2024/8/11 有有 时 会会 遇遇 到到 给 定定 (u) 值 ， 例例 如如 (u)=0.284， 反反过来来查u值。这只要在附表只要在附表1中中找到与找到与 0.284 最接近的最接近的值0.2843，对应行的第一行的第一列数列数 -0.5， 对应列的第一行数列的第一行数 值 0.07 ，即相，即相应的的u值为 u = - 0.57，即，即 (-0.57)=0.284Today:2024/8/11（三）双侧（两尾）概率与单侧（一尾）概率（
23、三）双侧（两尾）概率与单侧（一尾）概率随机变量x落在平均数加减不同倍数标准差区间之外的概率称为双侧概率（两尾概率）双侧概率（两尾概率），记作 对应于双侧概率可以求得随机变量x小于-k或大于+k的概率，称为单侧概率（一尾概率）单侧概率（一尾概率），记作/2 如x落在(-1.96,+1.96) 之外的双侧概率为0.05，而单侧概率为0.025。即Today:2024/8/11标准正态双侧分位数的查法：附表附表3 3 标准正态分布正态分布正态分布密度函数曲线密度函数曲线 Today:2024/8/11 前面前面讨论的三个重要的概率分布中，前两个的三个重要的概率分布中，前两个属离散型随机属离散型随机变
24、量的概率分布，后一个属量的概率分布，后一个属连续型型随机随机变量的概率分布量的概率分布 。 三三 者者间的关系如下：的关系如下： 对于二于二项分布，在分布，在n,p0， 且且 n p =(较小常数小常数)情况下情况下 ，二，二项分布分布 趋于于 波波 松布。在松布。在这种种场合，波松分布中的参数合，波松分布中的参数 用二用二项分布的分布的n p代之；代之；在在n, p0.5时 ， 二二项分布分布趋于正于正态分布。在分布。在这种种场合合 ，正，正态分布中的分布中的 、2用二用二项分布的分布的n p、n p q代之。在代之。在实际计算中，当算中，当p0.1且且n 很大很大时 ， 二二项分布可由波松
25、分布近似；当分布可由波松分布近似；当p0.1且且n很大很大时 ，二，二项分布可由正分布可由正态分布近似。分布近似。 Today:2024/8/11 对于波松分布，当于波松分布，当时 ，波松分布以正，波松分布以正态分布分布为极限。在极限。在实际计算中，算中， 当当 20 (也也有人有人认为6)时，用波松分布中的，用波松分布中的代替正代替正态分布中的分布中的及及2 ，即可由后者，即可由后者对前者前者进行近似行近似计算。算。 Today:2024/8/11中心极限定理中心极限定理 中心极限定理告诉我们：不论x变量是连续型还是离散型，也无论x服从何种分布，一般只要n30，就可认为 的分布是正态的。 若x的分布不很偏倚，在n20时 ， x 的分布就近似于正态分布了。
