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1、 “抛物线及其标准方程”（第一课时）教学设计北京四中顺义分校（原顺义十中） 吴从兵一、指导思想与理论依据：1、指导思想：数学课程标准明确指出“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践，自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式.”并且把过程性目标确定为“经历”、“体验”和“探索”三个方面.要倡导积极主动，勇于探索的学习方式，数学教学应从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，让他们在自己的生活中寻找数学、发现数学、探究数学、认识数学和掌握数学.2、理论依据：建构主义学习理论认为，个体的学习不是在一片空白或完全相同的背景下进行的，他的已有知识经验
2、、信念、个性、情感等都不同程度地参与其中；学习不仅是个体的活动，而且也是在与他人的交互作用中实现地，是一种与他人互助合作的社会活动.所以，建构主义不仅强调在“学习共同体”中成员之间交流合作的重要性，还强调了学习的主动性、真实性、社会性、情境性和多元性.杜威的“教育即生活”理论也昭示了教育的生活意义.因此新课程背景下的课程应与学生的生活、经验相联系，将教学内容纳入学生与自然的关系、学生与社会的关系、学生与自我的关系以及学生与文化的关系中，引导学生在习得书本知识的同时，形成对待生活世界中各种问题的良好的情感、态度和价值观.基于此，本节课教学从学生熟悉的生活中投篮时篮球的运动轨迹、桥梁的拱形、喷泉的
3、纵截面等图片以及一元二次函数的图像出发，让学生感知抛物线的重要应用.通过数学实验探索抛物线上点的几何特征，通过自主探索与合作交流探究抛物线的方程来理性解释方程的图像就是抛物线，从而完成了对新知从感知到认识与理解的探究过程，最终完善了对新知的认知结构.二、教学背景分析1学习内容分析本节课是人民教育出版社出版的A版数学选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 第3节抛物线及其标准方程（第一课时）.本节课的重点内容分为两部分：一是抛物线的定义，二是抛物线的标准方程.教材由实例引入抛物线，并给出了抛物线的定义，这是本节课的重点之一.教材接着推导出了抛物线的标准方程，这是本节课的另一个重点.由于建立直角坐标系的
4、方法不同，相应的抛物线的标准方程也不同，共有四种.教材重点介绍了焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程，它是学习抛物线的性质及其应用的基础.本节课的难点是抛物线标准方程的推导.教材贯彻了研究解析几何的基本方法解析法，同时渗透了数形结合的数学思想.在教材处理上，本节课列举了一些与实际生活联系的素材，通过数学实验，创设使学生主动参与的情境.抛物线概念的引入从感性知识入手，借助几何直观，运用逐步抽象的方法进行，比较适应学生的认知水平和思维能力.通过小组探究活动使学生总结出推导抛物线方程的最优建系方案.以问题“一元二次函数的图像为什么是抛物线？”为主线，激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性.2学生情
5、况分析本节课的授课对象是顺义区第十中学高二年级的学生，数学基础较差，学习的积极性及主动性不够.当然学生已经有了学习椭圆、双曲线的经验，具备了一定的观察、分析、概括、推理和探索的能力及研究方法.学生可将这些经验迁移到抛物线的学习中来.3前期教学状况、问题及对策在前期的学习中，椭圆、双曲线的定义讨论的是到两定点距离之和与之差的问题，而抛物线讨论的是动点到定点与到定直线的距离相等的关系问题.学生在概括抛物线的定义时会受到椭圆、双曲线的定义同化的影响.为了促进学生思维的发展，本节课中可引导学生在电脑上动画试验，得出抛物线的定义.这样，学生在探索和实验中可体会数学概念的形成过程，加深对抛物线的理解.同时
6、，通过教师创设的“问题连续体”的学习环境，学生能积极主动地、充满自信地学习数学，并通过相互合作去解决所面临的问题，从而获得成功的体验，促进对知识的掌握、理解和运用.4教学策略本节课整合了建构主义中的抛锚式教学理论与认知派心理学家杰罗姆布鲁纳的“发现学习”理论.抛锚式教学的主要目的是使学生在一个完整的、真实的问题情境中（如本节问题：一元二次函数的图像为什么是抛物线？），产生学习的需要，并通过学习共同体中成员间的互动、交流，即合作学习，凭借自己的主动学习、生成学习，亲身体验从识别目标到提出和达到目标的全过程.通过能够引起学生强烈的学习动机和主动的探究性活动，引发教师学生的相互交流，最终生成对知识的
7、新的洞察和理解.5教学方式与教学手段本节课采用的是“引导发现”、 “讨论交流”、“合作探究”相结合的教学方式.在学生概括抛物线的定义时，采用的是“引导发现”的教学方法，以引导学生归纳、抽象、概括.在推导抛物线的方程时，采用的是“讨论交流”、“合作探究”的教学方法，及“观察分析综合”的学习方法，引导学生思考、讨论，形成自己的看法，并在学生的交流中，使学生学会聆听，学会整理自己的思路，学会恰当地表达自己的思想，从交流中获取对新知的认识与理解.通过几个探究活动的设置，逐步完成对知识的主动建构过程.6媒体资源的运用为了突出重点，突破难点，本节课使用的媒体资源主要是几何画板课件.课件的制作力求将学生的思
8、维过程考虑到位.一是利用动画演示抛物线的动态生成过程，以利于学生概括抛物线的定义；二是利用动画演示直角坐标系的移动，渗透解析法的思想.三、教学目标设计1知识与技能：（1）理解抛物线的定义，能用抛物线的定义判断曲线的形状.掌握抛物线的标准方程及其推导；（2）了解抛物线标准方程中P的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题. 2过程与方法：（1）通过数学实验活动，加深学生对抛物线概念的理解；（2）引导学生的思维由问题开始，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力；（3）通过抛物线标准方程的推导，让学生进一步感受解析法及数形结合的思想. 3、情感态度
9、与价值观：（1）通过学生在活动中的探索、交流，体验成功与提升的喜悦，培养学生的合作意识，激发学生学习数学的兴趣；（2）通过对问题的讨论，培养学生清晰地表达自己的思维过程与科学求真的精神.四、教学流程设计：开始演示抛物线的形成学生讨论定义正确？ 否 是板书定义y=ax2图像点满足定义？ 是 否 推导抛物线方程应用小结结束五、教学过程设计：教学阶段教师活动学生活动设计意图(一)创设情境，引出课题【演示】向学生展示生活中投篮时篮球的运动轨迹、桥梁的拱形、喷泉的纵截面等图片以及一元二次函数的图像.【设问】初中老师告诉同学们一元二次函数的图像是抛物线，但一元二次函数的图像为什么是抛物线而不是双曲线的一支
10、呢？那满足什么条件的点的轨迹是抛物线？【板书】2.3.1 抛物线及其标准方程观察思考初中老师只是直观的告诉同学们一元二次函数的图像是抛物线，但并没有证明为什么一元二次函数的图像是抛物线.通过问题导入，激发学生求知的欲望.(二)直观演练，概括定义(二)直观演练，概括定义(三)合作交流，推导方程(三)合作交流，推导方程(三)合作标准方程图形焦点准线交流，推导方程【演示】用几何画板画图，如图，点F是定点，直线L是不经过点F的定直线.H是L上任意一点，过点H作MHL，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹.你能发现点M满足的几何条件吗？【设问】动点M在运动中如果总满足，我们把点M
11、的轨迹叫抛物线.那么如何用文字语言给抛物线下定义呢？【板书】一、抛物线的定义：1、平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.2、抛物线就是点的集合：3、定点F叫抛物线的焦点.定直线L叫做抛物线的准线.【反思】在抛物线定义中，要注意定点F不在定直线L上. 若定点F在定直线L上，则动点的轨迹又是什么图形呢？【演示】用几何画板演示点F无限趋近直线L.【设问】通过定义能解释一元二次函数的图像为什么是抛物线吗？【设问】如何求出抛物线的方程？【板书】已知：抛物线的焦点为F，准线为L，求：抛物线的方程【提示】作为已知条件，焦点F到准线L的距离可以假设为；从已知条件看，一般我们可以怎样建立
12、直角坐标系？【板书】的几何意义是焦点到准线的距离.教师巡视，总结不同的建立直角坐标系的方案，分小组推导抛物线的方程.相比之下,那个方程更为简洁?【结论】小组3为最恰当的建系方法,所得方程最简洁.【反思】建系方案的合理性.在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系.这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.通过实物演示仪展示小组3的推导过程【探究】方程为所求抛物线的方程么？【板书】二、抛物线的标准方程【设问】抛物线的开口方向还有几种情况？你能得出它们的方程吗？在学生探究的基础上，师生共同完成下表【演示】计算机展示图
13、表【反思】图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆，通过四种标准方程对比，可以总结出哪些结论？观察思考：点M在运动中总满足讨论、概括、修正：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.整理笔记此时动点的轨迹退化为过F点且与直线L垂直的一条直线不能解释，应探究抛物线的方程，通过曲线方程的代数形式来解释方程所表示的几何图形学生类比椭圆与双曲线方程的推导过程，讨论建立直角坐标系的方法小组1以K为原点，定直线L所在的直线为Y轴建立平面直角坐标系，可推导出方程：小组2以F为原点，过F且垂直于定直线L的直线为x轴可推导出方程：小组3 以线段KF的中点为原点,直线KF为x轴,可得推导出方程：第3小组代表汇报由推导过程可知抛物线上任意一点的坐标满足方程；反之，可证以方程的解为坐标的点都在抛物线上.探究其他三种形式的方程并整理笔记观察、归纳，寻找抛物线四个标准方程的联系与区别方程的一次项决定焦点的位置.一次项系数的符号决定开口方向.用动画演示抛物线的形成过程，使学生真正看到了“轨迹”，突出了轨迹点的几何特性.不仅利
