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1、确定高精度参数问题摘要本文依据题目要求，在万有引力和牛顿第二定律的基础上，首先建立了航天器运动模型；再次利用食饵捕食者系统模型，在非线性最小二乘法的基础上对未知高精度参数进行估计；最后，本文针对题目所给出的现有模型进行合理化的改进，以满足题目要求。对于问题一，本文利用物理上常用的知识，建立平面上的常微分方程组模型，以对航天器的运动进行模拟。对于问题二，本文以最小二乘拟合为主，通过建立不同的模型对题目的要求分别求解。l 在第一问中，本文先将食饵捕食者系统模型转化为隐式方程的结构，再基于此方程，利用已知无误差数据和已知参数值，通过最小二乘拟合求出各未知参数，结果详见正文。l 在第二问中，本文从理论
2、上分析出，只要求得方程组的解析解，则再有4组无误的观测值就可以拟合出4个未知参数，同时考虑方程初值的确定问题，因此至少需要5组观测数据，就可以确定6个未知参数。l 在第三问中，由于观测值存在误差，因此方程的初值也需要拟合，本文基于上问中的最小二乘法进行求解，发现结果误差较大，为减小误差，本文对模型进行修改，本文运用4级4阶龙格库塔法对模型加以修改。l 在第四问中，观测的时间也发生了偏差，为了消除时间上的偏差，本文使用了分段线性插值消除时间误差，再利用第三问的方法对参数进行预测。1、 问题重述一：考虑航天器在仅受到地球万有引力、航天器自身发动机作用力的作用下作平面运动，将地球和航天器视为质点，试
3、建立航天器运动的数学模型（只要列出模型，不要求解）。假设有一个生态系统，其中含有两种生物，即： A生物和B生物，其中A生物是捕食者，B生物是被捕食者。假设时刻捕食者A的数目为，被捕食者B数目为，它们之间满足以下变化规律：初始条件为：其中为模型的待定参数。通过对此生态系统的观测，可以得到相关的观测数据。观测数据的格式依次为：观测时刻、A生物数目、B生物数目二：请利用有关数据，解决以下问题：1) 在观测数据无误差的情况下，若已知，求其它5个参数？有关数据见数据文件：DATA1.TXT2) 在观测数据无误差的情况下，若也未知，问至少需要多少组观测数据，才能确定参数？有关数据见数据文件：DATA1.T
4、XT3) 在观测资料有误差（时间变量不含有误差）的情况下，请分别利用观测数据DATA2.TXT和DATA3.TXT，确定参数在某种意义下的最优解，并与仿真结果比较，进而改进你们的数学模型。4) 假设连观测资料的时间变量也含有误差，试利用数据DATA4.TXT，建立数学模型，确定参数在某种意义下的最优解。2、 符号说明3、 模型假设（1）假设地球和航天器为质点，且运动过程中只受地球万有引力、航天器自身发动机作用力的作用。（2）假设是一个包括捕食与被捕食两个种群的生态系统,捕食者靠被捕食者而生存,系统与外界没有种群交换关系。（3）假设种群自身的增殖变化速率与 t 时刻种群的数量成比率。4、 问题分
5、析4.1 航天器运动分析由于航天飞机只在平面内飞行，本文认为飞机在飞行中，飞行速度和加速度为时间的函数。在某一确定的点，在考虑惯性力因素下，飞机受力平衡，因此可以建立在飞船飞行方向上和指向地球方向上的平衡方程，该平衡方程即为建立航天器运动的数学模型。4.2 生物种群模型分析l 数据无误时模型分析本文根据题目所给出的捕食者的数捕食者A的数目为，被捕食者B数目为，它们之间满足以下变化规律：进行数学变形,把模型转化为隐式方程的结构，根据初始条件与附件可以很容易的得到与的值。利用已知无误差数据和已知参数值，通过最小二乘拟合求出参数.的值。l 未知时模型分析本题与问题一唯一的区别就是的值未知，同样的可以
6、根据初始值知道与的值，由于的值是未知的，为此，我们可以先通过一组数据，得到参数的解析解，然后再用组数据就可以其他未知参数的值。在确定参数的实际值时，本文利用参数之比为周期之比，用观测法得出所求参数的周期，同时利用公式，求出拟合后的周期，利用周期比为各参数之比，得到未知参数。l 数据有误时间无误时模型分析首先，由于初始值也存在误差，本文将作为未知参数带入所求出的隐式方程，从而用非线性最小二乘拟合对相对参数进行拟合。再次，通过周期之比得到最终的未知参数。最后，本文建立了4级4阶龙格库塔公式对模型进行改进，以应对由于数据误差较大时产生的数据偏差。l 数据有误时间也有误时模型分析对于时间上的偏差，本文
7、先利用分段样条插值消除由于时间上的偏差所造成的影响，再次利用第三问的方法对未知参数进行求解。5、 模型建立与求解5.1 航天器运动的数学模型 在考虑飞机模型时，为方便模型的建立，本文首先以地球为中心建立平面直角坐标系（如下图），将运动物理问题抽象为平面运动问题，同时假设飞船围绕地球做圆周运动，再由牛顿第二定律与万有引力定律可以求解。R地球航天宇宙飞船（图一）在飞船飞行方向上的飞船只受飞船自身推动力，在这个方向上飞船有切向加速度，由此可以得到惯性力。在此方向上的平衡方程为：即其中，为飞船在飞行方向上的路程。在飞船指向地球的方向上飞船只受地球的引力，在这个方向上飞船有向心加速度，万有引力常量为，地
8、球质量为，航天宇宙飞船质量为，飞船运动轨道半径为，运动速度为，惯性力。在此方向上的平衡方程为：即由于航天宇宙飞船在空中飞行中只受万有引力和飞船自身发动机作用力，通过上述分析可以得到航天器运动的数学模型：说明：为万有引力常量，为地球质量，为航天宇宙飞船质量，为地球半径，为航天宇宙飞船飞行的路线，为时间。5.2 生物种群模型5.2.1 数据无误时模型建立与求解本文首先根据题目给出的方程组进行运算。 将上述方程组两式相处，消去得到，这是变量可分离的方程，根据数学分析的知识可以得到其隐式方程为：其中为模型的待定参数。常数则可以由初值条件来确定，可以得到：由问题一的题意可以知道，同时，根据附件可以知道，
9、当时，因此，。为了确定其他参数的值，本文使用了最小二乘拟合的思想对参数求解。为方便计算，本文首先将（1）式化简为线性得到：根据题目给出的数据构造矩阵： 将（2）式矩阵表示为：根据最小二乘拟合的思想，得到。由此可解得未知参数的值为下表：-2.000013421323012.00041647606660-1.00004224667344-13.82030261336036（表一）5.2.2 未知时模型建立当观测数据无误差时，未知的情形下，、无需拟合，可以根据第一组观测值，就可以确定它们的值。而对于其它参数的确定，本文认为从理论上，只要求得方程组的解析解，再通过4组数据的拟合就可以确定他们的值。这样
10、总共5组观测值就可以确定未知参数值。求解步骤：l 先将初始数据导入，可以求得周期时间间隔，以确定各系数的比例关系。l 再次带入4组数据进行拟合，可以得到参数的具体数值。l 最后利用初始值得到的值。5.2.3 观测数据有误时模型求解l 首先对DATA2的数据进行分析，由于所给出的观测值存在偏差，因此初始值已经不能作为准确数据对未知参数进行估计，因此本文将式（1）中的代换为将式（1）化简为：其中，。从而利用非线性最小二乘拟合对式（3）进行适当拟合，结果如下表：1（表二）由分析中提出的理论，本文发现现有周期，而所给数据的周期。通过比较得出比例系数，从而求出实际的未知参数为：（表三）同时我们做出相应的
11、相图：（图二）l 再次对DATA3进行相应的拟合分析得到实际参数列表为：（表四）相应的相图为：l 最后，本文根据模型的特点利用龙格-库塔法对模型进行改进以求出解微分方程的解，由于对于模型，没有显式的符号解，因此我们采用四阶龙格库塔方法对问题进行分析。在模型中，本文先利用差商代替导数，按照微分中值定理应有，因此,我们利用4级4阶龙格库塔公式: 2.2方程通解 对于问题2.1，可由方程求得方程的通解,然后利用其通解,构建误差函数，由于参数越精确，的值越接近。由此可以转化为对函数的非线性最小值无约束优化模型。对于此非线性最小值无约束优化模型的求解，我们采用非线性最小二乘法对参数和参数进行估计45.另
12、外根据测量资料得知，。求附录y=A(:,3);x1=log(y);x3=A(:,2);x2=log(x3);X=x1 x2 x3 ones(6,1);b,bint,r,rint,s=regress(y,X); b,bint,sB=b*0.2结果为B = 2.00001342132307 12.00041647606647 -1.00004224667343 -13.82030261336021从而因此可以得出：用线性最小二乘法计算：y=A(:,3);x1=log(y);x3=A(:,2);x2=log(x3);R=x1 x2 x3 ones(6,1) ;AA=Ry;AA*0.2结果：问题二：问
13、题三：3_1:本文选择在常数的情况下研究参数的值。令则可以得到：fun3_1.mfunction xdot=fun3_1(t,x)r=-1.0e+002*0.27509271030624;d=-1.0e002*1.38097700157051;a=-1.38327465214786;b=-1.0e002*0.13820302613360;xdot=diag(r-a*x(2),-d+b*x(1)*x;输入程序：data2=textread(DATA2);ts=0:0.001:1;x0=12.962285633035274 ,72.12301583344777;t ,x=ode45(fun3_1,
14、ts,x0);t ,x；plot(x(:,1),x(:,2),.)pauseplot(x(:,1),x(:,2),.,data2(:,2),data2(:,3),.)3_2本文选择在常数的情况下研究参数的值。令则可以得到： x1=log(data3(:,3); x2=log(data3(:,2); x3=data3(:,2); R=x1 x2 x3 ones(1501,1);a= Rdata3(:,3)b=lnc/a(4,1);jieguo=b*ats=0:0.0001:6;x0=12.82305785349266 73.40728069086651;t ,x=ode45(fun3_2,ts,x0);plot(x(:,1),x(:,2),.)pauseplot(x(:,1),x(:,2),.,data3(:,2),data3(:,3),.)1，
