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1、http:/中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题（本卷满分120分，考试时间120 分钟）一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分1. 从长度是2cm，2cm，4cm，4cm的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（）（第4题图）ABCNM（第2题图）A B C D12如图，M是ABC的边BC的中点，AN平分BAC，ANBN于N，且AB=10，BC=15，MN=3，则ABC的周长为（ ）A38 B39
2、 C40 D. 41 3已知，且有，则的值等于（ ）A B C D4已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）A6B. 7 C8 D95设，是ABC的三边长，二次函数在时取最小值，则ABC是（）A等腰三角形B锐角三角形 C钝角三角形 D直角三角形 6计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取（1） （2）（第5题图）出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元已依次存入数据，取出数据的顺序是
3、，；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存入数据，取出数据的顺序是，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ）A5种 B6种 C10种 D12种二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7若，则满足该方程的所有根之和为 . 8（人教版考生做）如图A，在 ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，且与CD相切，若AB=4，BE=5，则DE的长为 8（北师大版考生做）如图B，等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AGCD于点G，则 9已知，且，则 10元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品
4、，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件11如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成，A=，CD=4m，BC=m，则电线杆AB的长为 _m (第11题图)ABCD（第8题图A）BCDAE（第8题图B）D12实数与，使得，四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对为 三、解答题（本大题共3个小题，每小题20分，共60分）13.（本题满分20分）已知：是完全平方式求证： 14.（本题满分20分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在
5、平面直角坐标系中，动点M，N以每秒个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NPBC，交OB于点P，连接MP （1）点B的坐标为 ；用含t的式子表示点P的坐标为 ；（2）记OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 t 6）；并求t为何值时，S有最大值？（备用图）(第14题图)（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由 15.（本题满分20分）对于给定的抛物线，使实数，适合于.（1）证明：
6、抛物线通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，与中至少有一个方程有实数根.参考答案一、 选择题（每小题5分，共30分）16 C D B A D C二、 填空题（每小题5分，共30分）：7. ； 8. A：；B：； 9. 4； 10. 12； 11. ； 12. .三、解答题：（每题20分，共60分）13. 证明：把已知代数式整理成关于x的二次三项式，得原式3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc 它是完全平方式， 0. 即4(a+b+c)212(ab+ac+bc)=0. 2a2+2b2+2c22ab2bc2ca=0,(ab)2+(bc)2+(ca)2=0.要使等式成立，必须且只需： 解这个
7、方程组，得.14. 解：（1）（6，4）；（）.（其中写对B点得1分）3分（2）SOMP =OM， S =（6 -t）=+2t （0 t 6）当时，S有最大值8分 （3）存在 由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），则直线ON的函数关系式为： 设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，解方程组得直线ON与MT的交点R的坐标为SOCN 436，SORT SOCN 210分当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是OR1T1，如图，作R1D1y轴，D1为垂足，则SOR1T1RD1OT b2.， b =.b1 ，b2 （不合题意，舍去）此时点T1的坐标为（0，）.15分 当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是R2NE，如图，设MT交CN于点E，（备用图）R2T1T2R1D2D1点E的纵坐标为4，由得点E的横坐标为，作R2D2CN交CN于点D2，则SR2NEEND2 =2.，b=.b1，b2（不合题意，舍去）此时点T2的坐标为（0，）综上所述，在y轴上存在点T1（0，），T2（0，）符合条件20分15. 证明：（1）代入抛物线中，得得解得： ，故抛物线通过定点10分（2），=与中至少有一个非负.与中至少有一个方程有实数根.20分 8
