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1、2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.第一试一、选择题(本题满分42分,每小题7分)本题共有6小题,每题均给出了代号为的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.1. 已知满足,则的值为 ( )(A)1
2、. (B). (C). (D).【答】B.解 由得,所以,故选(B).注:本题也可用特殊值法来判断.2当分别取值,时,计算代数式的值,将所得的结果相加,其和等于 ( )(A)1. (B)1. (C)0. (D)2007.【答】C.解 因为,即当分别取值,为正整数)时,计算所得的代数式的值之和为0;而当时,.因此,当分别取值,时,计算所得各代数式的值之和为0.故选(C).3. 设是的三边长,二次函数在时取最小值,则是 ( )(A)等腰三角形. (B)锐角三角形. (C)钝角三角形. (D)直角三角形.【答】D.解 由题意可得即所以,因此,所以是直角三角形. 故选(D).4. 已知锐角的顶点到垂心
3、的距离等于它的外接圆的半径,则的度数是( )AECBDOH(A)30. (B)45. (C)60. (D)75.【答】C.解 锐角的垂心在三角形内部,如图,设的外心为,为的中点,的延长线交于点,连、,则/,/,则,所以30,60,所以60.故选(C).5设是内任意一点,、的重心分别为、,则的值为 ( )(A). (B). (C). (D).【答】A.解 分别延长、,与的三边、交于点、,由于、分别为、的重心,易知、分别为、的中点,所以.易证,且相似比为,所以.所以.故选(A).6袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球,从袋中摸出15个球,摸出的球中恰好有3个红球的概率是 ( )(A). (B).
4、(C). (D).【答】B.解 设摸出的15个球中有个红球、个黑球、个白球,则都是正整数,且,.因为,所以可取值2,3,4,5.当时,只有一种可能,即;当时,有2种可能,或;当时,有3种可能,或或;当时,有4种可能,或或或.因此,共有123410种可能的摸球结果,其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种,所以所求的概率为.故选(B).二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1. 设,是的小数部分,是的小数部分,则_1_.解 ,而,.又,而,.,.2. 对于一切不小于2的自然数,关于的一元二次方程的两个根记作(),则=解 由根与系数的关系得,所以,则, .3. 已知直角梯形的四条边长分别为,过、
5、两点作圆,与的延长线交于点,与的延长线交于点,则的值为_4_.ABCDEFGMN解 延长交于点,设的中点分别为点,则易知.因为,由割线定理,易证,所以.4 若和均为四位数,且均为完全平方数,则整数的值是_17_.解 设,则,两式相减得,因为101是质数,且,所以,故.代入,整理得,解得,或(舍去).所以.第二试 (A)一、 (本题满分20分)设为正整数,且,如果对一切实数,二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于,求的值.解 因为一元二次方程的两根分别为和,所以二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.由题意,即,即.由题意知,且上式对一切实数恒成立,所以2007年全国初中数学联合竞赛试题参考
6、答案及评分标准 第4页(共8页) 所以或 ABCDEFMNP二、(本题满分25分)如图,四边形是梯形,点是上底边上一点,的延长线与的延长线交于点,过点作的平行线交的延长线于点,与交于点.证明:=.证明 设与交于点,/,,. 又/,,.,故 又=,PNFPMC,PNFPMC,NF/MC ANFEDM.又ME/BF,FANMED.ANFFANEDMMED,AFN=DME.三、 (本题满分25分)已知是正整数,如果关于的方程的根都是整数,求的值及方程的整数根.解 观察易知,方程有一个整数根,将方程的左边分解因式,得 因为是正整数,所以关于的方程 (1)的判别式,它一定有两个不同的实数根.而原方程的根
7、都是整数,所以方程(1)的根都是整数,因此它的判别式应该是一个完全平方数. 设(其中为非负整数),则,即.显然与的奇偶性相同,且,而,所以或或解得或或而是正整数,所以只可能或当时,方程(1)即,它的两根分别为和.此时原方程的三个根为1,和.当时,方程(1)即,它的两根分别为和.此时原方程的三个根为1,和.第二试 (B)一、(本题满分20分)设为正整数,且,二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为,二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立,求的值.解 因为一元二次方程的两根分别为和,所以;一元二次方程的两根分别为和,所以. 所以, (1)由题意知,且(1)式对一切实数恒成立,所
8、以所以或二、(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第6页(共8页)三、(本题满分25分)设是正整数,二次函数,反比例函数,如果两个函数的图象的交点都是整点(横坐标和纵坐标都是整数的点),求的值.解 联立方程组消去得,即,分解因式得 (1)显然是方程(1)的一个根,(1,56)是两个函数的图象的一个交点.因为是正整数,所以关于的方程 (2)的判别式,它一定有两个不同的实数根.而两个函数的图象的交点都是整点,所以方程(2)的根都是整数,因此它的判别式应该是一个完全平方数. 设(其中为非负整数),则,即.显然与的奇偶性相同,且,而,所
9、以或或解得或或而是正整数,所以只可能或当时,方程(2)即,它的两根分别为和,此时两个函数的图象还有两个交点和.当时,方程(2)即,它的两根分别为和,此时两个函数的图象还有两个交点和.第二试 (C)一、(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第一题相同.二、(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.三、(本题满分25分)设是正整数,如果二次函数和反比例函数的图象有公共整点(横坐标和纵坐标都是整数的点),求的值和对应的公共整点.解 联立方程组消去得,即,分解因式得 (1)如果两个函数的图象有公共整点,则方程(1)必有整数根,从而关于的一元二次方程 (2)必有整数根,所以一元二次方程(2)的判别式应该是一个完全平方数,而.所以应该是一个完全平方数,设(其中为非负整数),则,即.显然与的奇偶性相同,且,而,所以或或解得或或而是正整数,所以只可能或当时,方程(2)即,它的两根分别为2和,易求得两个函数的图象有公共整点和.当时,方程(2)即,它的两根分别为1和,易求得两个函数的图象有公共整点和.南通SEO,南通网络营销 南通热线