《线性代数教学课件作者张德全课件3.4线性方程组的解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数教学课件作者张德全课件3.4线性方程组的解（60页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.4 线性方程组的解,线性方程组的矩阵表示,用消元法求线性方程组的解,用矩阵的初等行变换法求解线性方程组,齐次与非齐次线性方程组,线性方程组的解向量,本节将解决一般线性方程组的解的问题。所 谓的一般线性方程组是指,其中，n表示未知量个数，m表示方程个数，,表示,表示第i个方程的常,第i个方程第j个未知量的系数，,常数项。一般情况下，（）称为n元线性方程组。,【注】对于一般线性方程组，其方程个数与未知量个数是没有特别限制的。,14介绍了克莱姆法则，克莱姆法则提供了方程组求解的一种好方法，解的表达形式简洁明了。但它有局限性，它必须在“方程个数与未知量个数相同，并且系数行列式不等于零”的前提下才可
2、使用，不仅如此，对高元（未知量个数较多）线性方程组来说，其计算量是大得难以想象的，从解决问题的方法来说，克莱姆法则又是一种不实用的方法。这样一来，这就迫使我们要去寻求别的方法，以解决克莱姆法则不能解决的问题。,对于线性方程组（）来说，需要解决的有以下 几个问题： （1）什么情况下，线性方程组（）有解？（解的存在性判别问题） （2）如果线性方程组（）有解，其解是否唯一？（解的唯一性问题） （3）如果线性方程组（）有解，并且解不唯一，那么，解与解之间有什么关系？（解的结构问题）,一、线性方程组的矩阵表示,设,；,；,则称A为线性方程组（）的系数矩阵，并且线性方程,组（）可表示成：,（ I）,令,，
3、则称,为线性方程组（）的增广矩阵。,例如，,的系数矩阵为：,，其矩阵表示式为：,，它的增广矩阵为：,【注】 线性方程组的表示方法有三种：,（1）初等表示法。如（）式。 （2）矩阵表示法。,（3）向量表示法。,其中，,.,二、用消元法求线性方程组的解,线性方程组的初等变换 下列三种变换 （1）交换线性方程组（）两个方程的位置； （2）线性方程组（）某个方程的两边同乘非零常数k； （3）线性方程组（）某个方程的两边同乘常数k后加到另一个方程上。 称为线性方程组的初等变换。,利用线性方程组的初等变换求解线性方程组，可得线 性方程组求解的基本方法消元法。我们先看如下几个 基本实例。,例1 讨论线性方程
4、组,的解是否存在。如果存在，求线性方程组的解。,解 因为,；,得,；,得,所以，原方程组有解，并且有唯一一组解，即,例2 讨论线性方程组,的解是否存在性，如果存在，求线性方程组的解。,解 仿照例1，可得,进一步化为,所以，原线性方程组有解，一般解为,其中,为自由未知量。这说明原线性方程组有无限多组解。,多组解。,形如（8）的方程组，称为阶梯形线性方程组。,例3 讨论线性方程组,的解是否存在性，如果存在，求线性方程组的解。,解 仿照例1，可得,由于,式是一个矛盾式，因此，原线性方程组无解。,用消元法求解线性方程组的理论依据是：,则（）与（）是同解线性方程组。,定理1 如果线性方程组（）经线性方程
5、组的初等变换变成,（）,所谓同解线性方程组是指两个线性方程组有完全相同的解。,定理2 线性方程组（）可以经过一系列线性方程组 的初等变换变成阶梯形线性方程组。 所谓阶梯形线性方程组是指形如,（）,【注】 方程组（）是标准形的阶梯形线性方程组， 一般情况下，并没有这么整齐。 例如，,就是一个梯形线性方程组。,定理3 对于阶梯形线性方程组（），,。则（）是矛盾线性方程组，方程,。则方程组（）有解，并当,时方程组（）有唯一一组解，当,时方程组（）,（1）如果,组（）无解；,（2）如果,有无穷多组解。,在这种情况下，对（）用初等变换可把（）变成,这样方程组（）的解可表示成,（其中,，,，,上述解称为方
6、程组的一般解。,为自由未知量。）,（）,【注】 用消元法求线性方程组的解的一般步骤是,（）（,时）,（2）讨论,的情况，如果,，则线性方程组（）,（3）有解时写出一般解的表达式。,（1）（）,（）；,无解；如果,，则线性方程组（）有解；,三、用矩阵的初等行变换法求解线性方程组,如果仔细分析一下加减消元法的运算过程，实际参,果把系数之外的符号隐去，重写一遍演算过程的话，有：,与运算的全都是系数，这样，我们在实际计算当中，完,全可以隐去除系数以外的所有符号（这种方法又称分离,系数法），由此产生了线性方程组求解的另一种方法,矩阵的初等变换法。,我们回过头再看一看例1、例2和例3的求解过程，如,例1,
7、=,于是得到,为原方程组的唯一解。,解,例2,=,解,于是得到,所以原方程组有解，并且有无穷多组解，其一般解为：,（其中,为自由未知量。）,例3,=,于是得到,这是一个矛盾方程组，所以原线性方程组无解。,设有线性方程组（），,是它的增广矩阵，A 是,矩阵A化为行最简,上述的做法都是对线性方程组的增广矩阵实施行,初等变换，化增广矩阵为阶梯形矩阵。这种方法与前面相,比，明显简便多了。,更一般地，有,经过一系列初等,系数矩阵，b是常数项，当增广矩阵,行变换化为行阶梯形矩阵，并且系数,形矩阵时，即,如果,，则原线性方程组无解；,，则原线性方程组有解，同时当,时，解唯一，其解为：,如果,当,时，有无穷多
8、组解。其一般解为：,上述讨论归纳如下：,定理4 设有线性方程组（），,是它的增广矩阵，,( A ) =,(,并且线性方程组（）有唯一解的充分必要条件是：,(,) = n；线性方程组（）有无穷多组解的充分必要,) n。其中，n为未知量的个数。而当,(,时，线性方程组（）无解。,的秩只有两种情况：,或,。,A是系数矩阵。线性方程组（）有解的充分必要条件是：,系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。即,),=,条件是：,(,=,),【注】,例4 方程组,在什么条件下有解？有解时求出方程组的解。,解 由于,其中,，于是当,时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即,( A ) =,(,) =3，,时，方程组有解。又,
9、所以,所以，原方程组的一般解为,（,为自由未知量）,【注】当方程组的未知量的系数为数字时，解线性方程组 的一般方法是：用消元法对增广矩阵化简求解：,行阶梯形,（2）有解时写出一般解的表达式。,（1）,行最简形。见前面例子。,四、齐次与非齐次线性方程组,，则（）,否则，线性方程组（）称为非齐次线性方程组。,对于线性方程组（），如果,称为齐次线性方程组，即为,（）,如果（）与（）的系数完全一致时，（）就称为（）,导出的齐次线性方程组。,例如：,是,导出的,齐次线性方程组。,对于齐次线性方程组（）来说，它没有解的存在性问 题的讨论，也就是说，齐次线性方程组一定有解，因为,就是（）的一组解。于是，齐次
10、,线性方程组（）解的讨论就只有在什么情况下有非零 解的问题了。,定理5 齐次线性方程组（）有非零解（即有无穷解） 的充分必要条件是：系数矩阵的秩小于未知量的个数。即,( A ) n,推论1 当,时，对齐次线性方程组（）一定有非,零解（即有无穷解）。,推论2 当,时，齐次线性方程组（）有非零解,。,（即有无穷解）的充分必要条件是系数行列式,定理6 若齐次线性方程组（）有非零解，则（）的,系数矩阵A必能经过一系列初等行变换化为行最简形矩阵：,其中,(,)。于是齐次线性方程组（）的解为,其中,，,为自由未知量，自由未知量的个数等于,未知量的个数减去系数矩阵的秩。,例5 讨论齐次线性方程组,是否有非零
11、解，如果有，求出它的一般解。,解,因为 秩,，所以，原齐次线性方程组有非零解。,于是原方程组的一般解为：,和,为自由未知量。,其中,五、线性方程组的解向量,如果,是线性方程组（）的解，那么,矩阵,称为线性方程组（）的解向量，在线性方程组（）,称为线性方程组（）的解，,解的讨论中，常常就把,并简记为,。由（ I）得：,是线性方程组,。,（）的解当且仅当,【注】几个重要结论： （1）如果,，,，,是齐次线性方程组（）,仍然是齐次,，,（2）如果,是线性方程组（）的解，,是其导出的,仍然是线性,的解（向量），那么,线性方程组（）的解。其中,，,是任,意常数。,齐次线性方程组（）的解，那么，,方程组（
12、）的解。其中k为任意常数。,再看例5，它的解是；,（其中,和,为自由未知量）。（,我们可以用向量的形式表示。,）,取,为非自由未知量，,和,为自由未知量。,）式又可以表示成,（,（其中,和,为自由未知量）,用向量的形式表示为,（其中,和,为自由未知量）,令,，,，可以把解用向量的形式表示为,（其中,）,此即例5中的齐次线性方程组的通解。若把此通解,，则,写成,是方程组的两个非零解，且,是当自由未知数,、,分别取,及,时所得的非零解。,例6 求解线性方程组,解,可见,，因此方程无解。,例7 求解线性方程组,解,的行阶梯形矩阵说明，,，知方程组,为自由未知数，即得方程,有解，故继续施以初等行变换化
13、成行最简形矩阵。依,据行最简形矩阵，取,组的通解,（,可任意取值）,令,，并把写成向量形式,即,现在，把本例所求得的通解记作,则,是非齐次线性方程组,的一个解，当自由,都取0时，所得的解便是,未知数,这个解。而,是对应的齐次线性方程组,的通解。,若令,，通解还可变形为,由上可知，线性方程组通解的形式不是惟一的。有关 通解的问题我们还将在下一章中作进一步的讨论。,例8 设含有参数,的线性方程组,问,取何值时此方程组（1）有惟一解；（2）无解；,（3）有无限多个解？并在有无限多解时求出通解。,解 由于系数矩阵是方阵，可知它有惟一解的充分必要,。由,条件是系数行列式,因此，当,或,时，方程组有惟一解
14、。,当,时，增广矩阵,知,，故方程组无解。,当,时，增广矩阵,可见，,，故方程组有无限多解，其解为,【注】 解方程组的方法： （1）当方程组的未知量的系数为数字时，用消元法对增广 矩阵化简求解。,行阶梯形,（2）当方程组的未知量的系数有未知参数时，分两种情况： （a）方程个数不等于未知数个数时，仍是消元法求解。 （b）方程个数等于未知数个数时，用Cramer法则求解。参 见本节例8。必要时可使用换列，使参数列放到后面，便于 消元，参见例9。,行最简形。见前面例子。,例9,取何值时，非齐次线性方程组,（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？,方法一 （先换行）,（1）当,，即,时，原方程组有,且,，即,时，,且,，即,原方程组有无穷多解。,惟一解。,（2）当,原方程组无解。,（3）当,时，,方法二,=,，所以,因为,（1）当,时，由Cramer法则知，原方程组有,惟一解。,（2）当,时，,原方程组无解。,（3）当,时，,，原方,程组有无穷多解。,方法三（先换列）,（下略）,【注】 在换列后，,中的第一列元素对应的是未知数,的系数，而第三列元素对应的是未知数,的系数。如果,在有解的情况下求原方程的解时，写同解方程组时应注意,
