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1、流动问题,希尔密码,第2.8节 矩阵的应用,平面图形变换,齐次坐标,2.8.1 流动问题,流动问题主要有人口流动和物资流动问题，本例,是人口流动问题，物资流动问题参阅习题,例1 设某中小城市及郊区乡镇共有30万人从事,农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持,不变，而社会调查表明：,（）在这30万就业人员中，目前约有15万人从,事农业，9万人从事工来，6万人从事经商：,（2）在务农人员中，每年约有20%改为务工，,10%改为经商；,（3）在务工人员中，每年约有20%改为务农，,10%改为经商；,（4）在经商人员中，每年约有10%改为务农，,10%改为务工；,现在想预测1，2年后从事各业人员
2、的人数，以及经,过多年后，从事各业人员总数之间的发展趋势。,解 设 xi , yi , zi 表示第 i 年后分别从事农、工、,商的人员总数，则 x0 = 15， y0 = 9， z0 = 6，现要,求 x1 ， y1 ， z1 和 x2 ， y2 ， z2 ，并考察当 n 年后,xn , yn , zn 的发展趋势,根据题意，一年后从事农、工、商的人员总数为,即,其中,将 x0 = 15， y0 = 9， z0 = 6 代入上式，得,即一年后从事农、工、商的人员的人数分别为12.9,万人、9.9万人、7.2万人,当 n = 2时，有,进而推得,即 n 年后从事农、工、商的人员的人数由 An
3、决定,2.8.2 希尔密码,1929年，希尔利用线性代数中的矩阵乘积运算，,为了便于计算，希尔首先将字符变换成数.,设计了一种被称为希尔密码的代数密码,对英文字母，可以作如下变换：,例如，,0,25,24,23,22,21,20,19,18,17,16,15,14,Z,Y,X,W,V,U,T,S,R,Q,P,O,N,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,M,L,K,J,I,H,G,F,E,D,C,B,A,希尔密码的基本思想：,将明文分成 n 个一组，用对应的数字代替，就变,如果取定一个 n 阶的可逆矩阵,成了一个个 n 维向量.,将密文分成 n 个一组，同样变成 n 维向
4、量，只需,A（此矩阵称为密钥），用 A 去乘每一个向量，即可,起到加密的效果.,用 A1 去乘这些向量，即可将它们变回原先的明文.,两个问题：,1）为了使数字与字符间可以互换，必须使用取自,0 25之间的整数；,2）在解密时要用到逆矩阵，而,可能会出现分数,解决的办法：引进同余运算，并用乘法来代替除法,考虑最简单的情况.,令 n = 1，用数 a 去乘 0 25,中的数，以 26 为模取同余，,并要求有,使得,或要求存在 a 1，使得,a 1a 1 (mod 26)，,经简单的分析即可发现，并非所有0 25 中的数,都可用来作为这里的 a，,事实上我们可以证明下面的,a 1 0, , 25 ，
5、, p 0, , 25 ，有a 1ap p (mod 26).,称 a 1 为 a 的逆元素,定理 ：,定理 a 0, , 25 ，若 a1 0, , 25 ,使得 a a1 = a1a = 1 (mod 26)，则必有gcda, 26 = 1，,其中gcda, 26 为 a 与 26 的最大公因数,由定理可知，0 26 中除 13 以外的奇数均可取作,这里的 a，下面列出经计算求得的逆元素,对于 n 为一般整数的情况，只需在乘法运算中结,合应用取余，求逆矩阵时用逆元素乘来代替除法即可,希尔密码是以矩阵法为基础的，明文与密文的对,应由 n 阶矩阵 A 确定,的，与明文分组时每组字母的字母数量
6、n 相同.,果明文所含字数与 n 不匹配，则最后几个分量可任意,补足,矩阵 A 的阶数是事先约定,如,希尔密码在解密时，用 A1 左乘密文向量，即,可还原为原来的明文向量,A1 的求法可利用公式,，,例如，若取,则 |A| = 3，,查表知 |A| 的逆元素为 9，于是,即,例2 设明文为HPFRPIHTNECL，密钥矩阵为,试用希尔密码体系给明文加密,实验系统,例3 设密文为DXNANIURJUOD，密钥矩阵为,试将密文还原为明文,实验系统,2.8.3 平面图形变换,1.线性变换 定义 10 变换（或映射）T 称为线性的，若,(i) 对 T 的定义域中的一切向量u，v，有,T ( u + v
7、 ) = T ( u ) + T ( v ),(ii) 对一切向量 u 和数 k ，有 T ( ku )= k T (u),由定义可知，线性变换保持向量的加法运算和数,与向量的乘法运算，由此可得线性变换的基本性质,性质 若 T 是线性变换，则 T(0)=0，且对 T 的,T (cu + dv) = c T(u) + d T(v),定义域中一切向量 u 和 v 以及数 c 和 d 有：,设有关系式,(1),若记,则(1)式可简记为,y = A x，,(1)式确定了一个从 Rn 到 Rn 的映射，并且是一个,线性映射，称为线性空间 Rn 中的线性变换，也称为,矩阵变换,矩阵 A 称为该线性变换的矩
8、阵，与线性,变换一一对应.,(1),2.平面图形变换,设 x，y 为平面上的两个点（或 R2 中的两个列向,量），A 为 22 矩阵，,则 y = Ax 为平面上的一个线性,变换，把点 x 映射成点 y,若 x 为平面图形 G 上的任一点，x 的像 y 构成的,图形记为G1，,则线性变换 y = Ax 的几何意义是把图形,G 变成图形 G1，,称之为平面图形变换.,平面图形变换有三种基本变换：,对称变换,其他可逆变换均可由这三种变换复合而成,伸缩变换,剪切（错切）变换,关于原点的对称变换,关于y = x 的对称变换,关于竖轴的对称变换,关于横轴的对称变换,变换矩阵,变换前后的图像,变换,实验系
9、统,垂直剪切变换,垂直伸缩变换,水平剪切变换,水平伸缩变换,变换矩阵,变换前后的图像,变换,实验系统,例4 设有可逆矩阵,将线性变换 y = Ax 分解成三种基本变换的乘积,2.8.4 齐次坐标,我们知道线性变换 y = Ax 可以对图形进行旋转、,剪切、伸缩和对称等变换，但计算机屏幕上的图形经,常需要移动，如计算机动画就是通过一系列的图形移,动形成，可是平移不是线性变换，解决这一困难的标,准办法是引入所谓的齐次坐标,R2 中每个点 (x，y) 可以对应于R3 中的点,(x，y，1)，我们称 (x，y，1) 为 (x，y) 的齐次坐标,点的齐次坐标不能相加，也不能乘以数，但它,们可以乘33矩阵
10、来作变换,设,则,可实现点 (x，y) 的所有运动, 且 A 中每个元素都有,意义,实现点(x，y)的所有线性变换；,实现点(x，y)的平移；,(g，h) 实现点(x，y)的投影；,( i ) 实现对点(x，y)的坐标的缩放.,例如,旋转变换,伸缩变换,剪切变换,实验系统,例5 如图所示的大写字母 N 由8个点确定，,顶点 1 2 3 4 5 6 7 8,x 坐标,y 坐标,这些点的坐标可存储在一个数据矩阵D中,对常规的N用矩阵,即得斜体的N,作剪切变换,实验系统,例6 求33矩阵，对应于先乘以0.5的倍乘变换,然后旋转90o，,最后对图形的每个点的坐标加上(-0.5, 2),做平移,原图 缩小后的图 旋转后的图 平移后的图,
