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1、第1章 行列式,行列式是线性代数中的一个重要的概念，它广泛用,于数学、工程技术及经济学等众多领域,本章首先从二,元、三元线性方程组的求解公式出发，引出二阶和三,阶行列式的定义，并由此引出本章的中心问题：,未知,量的个数与方程的个数相等的一类特殊线性方程组的,求解公式；,然后通过分析二阶和三阶行列式的定义给,出 n 阶行列式的定义，讨论n阶行列式的性质和计算,最后介绍克拉默（Cramer）法则，从而解决本,章的中心问题,方法；,第1.1节 n 阶行列式,几种特殊的行列式,二阶和三阶行列式,n 阶行列式,在讨论 n 阶行列式之前，先简单回顾一下,1.1.1 二阶和三阶行列式,引例1 用消元法解二元
2、线性方程组,（）,二阶和三阶行列式,解,用加减消元法，可得,当 a11a22-a12a210 时，求得方程组（）的解为,（）,为了记忆该公式，引入记号,并称之为二阶行列式,称 aij 为行列式的 (i , j) 元素,第二个下标称为列标，,表示该元素所在的列，常,置，第一个下标称为行标，,表示该元素所在的行，,素，,aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位,其中 aij 称为行列式的元,由二阶行列式的定义，,若记,则当 时，方程组,注意： 称为系数行列式， j是用常数项b1，b2替换中的第 j 列 (j=1,2),也可写成二阶行列式，即,有唯一解,式中x1、x2 分子,引例 2 用消元法解三
3、元线性方程组,解,由此可得三元方程组,的求解公式,为了记忆三元线性方程组的求解公式，可引入,三阶行列式,三阶行列式的定义如下：,所以三阶行列式也是一个数，而且可转化为二阶行,列式来计算,另外，三阶行列式也可以用,得到,例 1 计算三阶行列式,举例,例 2 求解方程,例 3,的充要条件是什么？,对于三元线性方程组,如果它的系数行列式,利用消元法和三阶行列式的定义，可求得其解为,其中,例 4 求解方程组,用演算系统求解,行列式的概念,现在的问题是，对于n元线性方程组，是否也,有类似的求解公式,但要讨论 n 元线性方程组，首,先就要把二阶和三阶行列式加以推广，引入 n 阶,1.1.2 n 阶行列式,
4、在上面的讨论中，是将三阶行列式转化为二阶,行列式计算,循此思路给出n阶行列式的递归定义,定义1.1.1 将 n2 个数排成 n 行 n 列(横的,称行，竖的称列），并在左、右两边各加一竖线，,记为 Dn ，即,称为 n 阶行列式，它代表由确定的运算关系所,得到的数,当 n = 1时，,当 n 2 时，,其中数ai,j 称为第 i 行第 j 列的元素，,称为ai,j 的代数余子式； Mi,j 为由Dn划去第 i 行第 j,列后余下的元素构成的 n 1 阶行列式，即,称Mij为aij 的余子式,从定义1.1.1知道，一个n阶行列式代表一个数值，,这个数值是第行的所有元素与其相应的代数余子,式乘积之和,我们常将这个定义简称为n阶行列式按,第行展开,例 5 计算三阶行列式,例 6 计算四阶行列式,1.1.3 几种特殊的行列式,下面利用定义来计算几种特殊的n阶行列式,1. 对角行列式,只在对角线上有非零元素的行列式称为对角行列,式,例 7 证明对角行列式,2. 下（上）三角行列式,主对角线以上（下）的元素都为零的行列式称为,下（上）三角行列式,例 8 证明下三角行列式,3. 一个重要的行列式公式,例 9 证明,一般地可用数学归纳法证明,
