量子力学课件完整版 适 合初 学者

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1、1,量子力学,2,为什么要学习量子力学和统计物理学？,1960年代，著名微波电子学家Pirls曾说，量 子力学、统计物理学是高度抽象的科学，不需 要所有的人都懂得这种理论物理科学。,然而，在1990年代，随着高技术科学的发展， 要求我们必须掌握理论物理学，包括量子力学 和统计物理学。例如：微电子器件的集成度越 来越高，组成器件的每一个元件的体积越来越 小。目前，元件的尺寸可以达到nm级。,3,这面临着两个问题： 1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的元件，每个元件的工作状态有随机性，但器件的响应具有统计性； 2、构成元件的材料的体积属于原子团物理的范畴，即每个粒子含有有限个原子（102109个原

2、子）。这时的统计平均具有显著的涨落，必须考虑量子效应。,4,量子力学,南京工业大学理学院 吴高建,第一章 绪论,5,1.1 经典物理学的困难,6,19世纪末，物理学界建立了牛顿力学、电动力学、热力学与统计物理，统称为经典物理学。其中的两个结论为 1、能量永远是连续的。 2、电磁波（包括光）是这样产生的：带电体做加速运动时，会向外辐射电磁波。,7,牛顿力学-支配天体和力学对象的运动； 杨氏衍射实验-确定了光的波动性； Maxwell方程组的建立-把光和电磁现象建立在牢固的基础上； 统计力学的建立。,经典物理学的成就,8,而一旦深入到分子、原子领域， 一些实验事实就与经典理论发生矛盾或 者无法理解

3、。,9,20世纪初物理学界遇到的几个难题,1 两朵乌云（W.Thomson),电动力学中的“以太”：人们无法通过实 验测出以太本身的运动速度,物体的比热：观察到的物体比热总是低 于经典物理学中能量均分定理给出的值。,10,2 原子的稳定性问题原子塌缩 按照经典理论，电子将掉到原子核里，原子的寿命约为1ns。 3 黑体辐射问题紫外灾难 按照经典理论，黑体向外辐射电磁波的能量E与频率 的关系为,11,4.光电效应的解释 光照射到金属材料上，会产生光电子。但产生条件与光的频率有关，与光的强度无关。,12,能量量子化的假设,造成以上难题的原因是经典物理学认为能量永远是连续的。 如果能量是量子化的，即原

4、子吸收或发射电磁波，只能以“量子”的方式进行，那末上述问题都能得到很好的解释。,13,能量量子化概念对难题的解释,原子寿命 原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中。即E1, E2, . En。 当电子从能级En变化到Em时，将伴随着能量的吸收或发射，能量的形式是电磁波。能量的大小为E =h = EnEm 由此，提出了产生电磁波的量子论观点，即电磁波源于原子中电子能态的跃迁。从而，电子就不会掉到原子核里，原子的寿命就会很长。,14,能量量子化概念对难题的解释,黑体辐射 从能量量子化假设出发，可以推导出同实验观测极为吻合的黑体辐射公式，即Planck公式,15,普朗克（Planck）大胆假设：无

5、论是黑体辐射 也好，还是固体中原子振动也好，它们都是以 分立的能量 显示，即能量模式是不连续 的。,所以，辐射的平均能量可如此计算得：,16,经典的能量分布几率,所以对于连续分布的辐射平均能量为,（玻尔兹曼几率分布）,在 能量范围内，,17,而对于Planck假设的能量分布几率，则为,从而,18,于是，用电动力学和统计力学导出的公式,（RayleighJeans）,这就是Planck假设下的辐射本领，它与实验完全符合。,应改为,19,当 （高频区） Wein公式 当 （低频区） RayleighJeans公式,20,能量量子化概念对难题的解释,对光电效应的解释 如果电子处于分立能级且入射光的能

6、量也是量子化的，那么只有当光子的能量（E =h）大于电子的能级差，即E =h EnEm时，光电子才会产生。如果入射光的强度足够强，但频率足够小，光电子是无法产生的。,21,1.2 光的波粒二象性,22,爱因斯坦方程,对光电效应的解释是爱因斯坦于1905年做出的，他也因此获得诺贝尔奖。其中，他对光子的能量E是如此假定的,23,光子的能量与动量,并用= c / 和狭义相对论中的公式 p =E/c推出光子的动量p为 p=h/，E=h. 频率， 波长， h普朗克常数,24,光的波粒二象性,波粒二象性，又称为波动粒子两重性，是指物体，小到光子、电子、原子，大到子弹、足球、地球，都既有波动性，又有粒子性。

7、 频率为的单色光波是由能量为E =h 的一个个粒子组成的，这样的粒子被称为光子，或光量子。 光子的粒子性光电效应； 光子的波动性光的衍射和干涉。,25,光的波粒二象性,杨氏干涉实验和惠更斯衍射实验都表明了光的波动性。 光电效应又证实了光子的粒子性。,26,1.3 微粒的波粒二象性,27,1 物质波的概念,法国人De Broglie从光的量子论中得到启发，假设任何物体，无论是静止质量为零的光子，还是静止质量不为零的实物粒子，都具有粒子波动两重性。其中的波动，通称为物质波。认为物质波的频率和波长分别为 =E/h，= h /p 这就是著名的德布罗意公式。,28,2 实物粒子的波动,从德布罗意物质波的

8、观点出发，就会得出一种违背常理的结论：躲在靶子后面仍然会被绕过来的子弹打中。 子弹之所以不能绕到靶子后面，是因为子弹的波长= h /p太小了。 h6.6210-34Js，p=mv,29,3 电子与分子的衍射与干涉实验,电子衍射 C60分子干涉图,30,4 波粒二象性既不是经典的粒子，也不是经典的波,5 物理意义：概率波与概率幅,概率波（M.Born,1926)：物质波描述了 粒子在各处发现的概率。,概率幅：波函数也叫概率幅，概率密度,波的叠加是概率幅叠加，而非概率叠加,31,1.4 不确定关系,32,物质波的观点直接导致这样一个结论： 无法同时准确测量一个粒子的坐标和动量 q坐标，p动量,另有

9、：能量和时间的不确定关系：,33,量子力学的特点：,能量量子化； 波粒二象性； 不确定关系。 需要用一个完整的理论将这些离散的假设和概念统一起来：量子力学应运而生。,34,量子力学的作用,一般工科：建立概念与启迪思维，重点在了解。 材料学：重点是建立正确的、系统的、完整的概念，为后续课程以及将来从事材料学领域的研究奠定基础。 理科：四大力学之一，应该精通，并作为日后从事研究的工具。,35,学习量子力学时应注意的问题,概念是灵魂建立起清晰的概念 数学是桥梁不必过分拘泥于数学推导 结论是收获铭记结论在材料学中的作用,36,学习量子力学，其困难在于：,发现它与我们熟悉的经典物理学中的习惯 或概念不一

10、致； b. 量子力学中的新的物理概念不是直观的； c. 处理问题时，与经典物理学在手法上截然 不同。它的重要性在状态，算符和演化。,37,所以，我们强调,掌握实验事实，及它给我们的启示，不直 接与主观经验联系，不先入为主； b.掌握和理解量子力学的基本概念。新的概 念的依据和特点，新在什么地方，如何理解； c.掌握理论中建立的方程和所用的数学方法 以及处理它们的思路和步骤。,38,参考书目,曾谨言量子力学，科学出版社 周世勋量子力学教程，高等教育出版社,39,量子力学,第二章 波函数及薛定谔方程,40,2.1 波函数及其统计解释,41,自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动的质点。因此，其

11、能量E 和动量 都是常量。 根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频率和波长分别为 又因为波矢为 ，因此，自由粒子的 和k都为常量。得到,一、自由粒子的波函数,42,和k都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述 或 将上式代入，得到 这就是自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数，即,43,二、一般粒子的波函数及其物理意义,1 当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是常量，也就无法用简单的函数来描述，但总可以用一个函数 来描述这个粒子的特性，称其为粒子的波函数。,44,2 物理意义： 对实物粒子的波动性有两种解释 （1）第一种解释，认为粒子波就是粒子

12、的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包。波包的大小即粒子的大小，波包的群速度即粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构。,45,能量和动量的关系为， 利用 得到 物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀了粒子性的一面，与实际不符。,46,（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而言， 弱电子密度长时间强电子密度短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以一定的概率存在于空间的某个位置。,47,3、概率波,粒子的波动性可以用波函数来表示， 其中，振

13、幅 表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以， 应该表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率大小的一个量。 因此，粒子的波函数又称为概率波。,48,由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观 察量(以后讲)。所以波函数完全描写了微观粒 子(或一般地说，量子体系)的状态，这种描写 在本质上具有统计的特征。,49,三、波函数的统计诠释,表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。 表示点(x,y,z)处的体积元 中找到粒子的概率。 这就是波函数的统计诠释。必然有以下归一化条件,50,四、常数因子不定性,设C是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。 如果 则有， 等

14、同于,51,说明：,1 即使要求波函数是归一化的，它仍有一个 位相因子的不确定性（相位不确定性）。,例如：常数 ，则 和 对粒子在点（x,y,z）附近 出现概率的描述是相同的。,2 有些波函数不能（有限地）归一，如平面 波。,52,五、对波函数的要求,1、可积性 2、归一化 3、单值性，要求 单值 4、连续性,53,六、态的叠加原理,波的干涉，衍射现象的本质原因是 因为它满足叠加原理。微观粒子所显示 的波动性表明：波函数也应满足叠加原 理。,54,如果1和2是体系可能的状态，那么 =c11+c22也是体系的可能状态。,对于合成的状态：,其中,就是干涉项。,其中,其中,55,一般地说，叠加原理可

15、以写成,这导致了量子力学中的一个重要概念：对于 一个指定的量子体系，如果我们找到了它的 “完备的基本状态”，例如 ，那么任 何状态都可以由这些基本状态叠加而得到。,运动的状态是平面波,因此，自由电子的任何状态都可以写成：,即是各种不同动量的平面波的叠加。,例如：一个自由电子以动量,和能量,56,这个例子在数学上就是函数的Fourier变换。引入,那么任何波函数(不一定是自由粒子的)都可以写成,其中的系数由下式得出：,这个,的物理意义是“动量测量几率振幅”。,对于一维情形，,57,七、动量分布概率,设 ，则 表示粒子出现在点 附件的概率。 设 为粒子的动量，那么粒子具有动量 的概率如何表示？ 平面波的波函数为 任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开,58,其中，,可见， 代表 中含有平面波 的成分，因此， 应该代表粒子具有动量 的概率。,59,2.2 薛定谔方程,60,一 Schrodinger方程,量子力学的基本定律是波函数所满足的偏 微分方程。这个基本定律在本质上是一个 假说。,de Broglie波,满足的方程是：,而, 所以,61,这可以看做是在经典关系,中进行代换,可以推广地说：若粒子在外势场,中运动，其能量的表达式为,62,则它的波函数应该满足方程,