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1、第五章 线性定常系统的综合,5.1 线性反馈控制系统的基本结构,带输出反馈结构的控制系统 带状态反馈结构的控制系统 带状态观测器结构的控制系统 解耦控制系统,一、带输出反馈结构的控制系统,原受控系统 ：,1、输出到系统输入端的反馈,将系统的输出量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。,输出反馈控制规律：,输出反馈系统状态空间描述为：,原受控系统 ：,2、输出到矩阵B后端的反馈,将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。,输出反馈控制规律：,输出反馈系统状态空间描述为：,状态反馈：将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其
2、和作为受控系统的控制输入。,二、带状态反馈结构的控制系统,原受控系统 ：,线性反馈规律：,三、带状态观测器结构的控制系统,状态重构：不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要从系统的可量测参量，如输入u和输出y来估计系统状态 。,状态观测器：状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。,解耦问题：,如何将一个多变量耦合系统，解耦成多个互不相关的单变量系统的 组合。目的是使一个输入仅控制一个输出。,目的：使传递函数阵为一个对角线矩阵。,四、解耦控制系统,原受控系统 ：,一、反馈至输入矩阵B后端的系统,将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，
3、馈送到状态微分处。,输出反馈控制规律：,输出反馈系统状态空间描述为：,5.2 带输出反馈系统的综合,定理证明方法1：若系统 状态可观测，则其对偶系统 状态能控，根据状态反馈系统特性，对偶系统矩阵 特征值可以任意配置，而 的特征值和 一致。 所以，当且仅当 状态可观时， 极点可任意配置,定理：输出到状态微分的反馈，其极点任意配置条件为原系统状态可观测。,定理证明方法2：系统能观测，则化为第二能观测标准型。,能观测标准II型：,能观测标准型下输出到状态微分的反馈系统矩阵：,反馈后，仍然为能观测标准II型。其输出到状态微分的反馈系统特征方程为：,由于反馈阵可以任意选择，所以特征值可以任意配置。,引入
4、反馈阵：,极点配置方法：同状态反馈系统的极点配置。,结论：输出到状态微分的反馈不该变系统能观性，不改变系统的零点。任意配置后，零极点对消可能导致能控性发生变化,原受控系统 ：,二、反馈至输入矩阵B前端的系统,将系统的输出量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。,输出反馈控制规律：,输出反馈系统状态空间描述为：,输出反馈增益矩阵：,闭环传递函数矩阵为：,结论3：由于反馈引自系统输出，所以不影响系统的可观测性。古典控制中常采用的反馈形式。,结论1：当HCK时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。即对于任意的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈。故输出到参考
5、输入的反馈不改变系统的能控性。,结论2：由于输出信息所包含的不一定是系统的全部状态变量，所以输出反馈是部分状态反馈，适合工程应用，性能较状态反馈差。,状态反馈：将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。,一、系统的数学描述,5.3 带状态反馈系统的综合,原受控系统 ：,线性反馈规律：,状态反馈闭环系统：,反馈增益矩阵：,状态反馈闭环传递函数矩阵为：,一般D=0，可化简为：,状态反馈闭环系统表示：,状态反馈系统的特征方程为：,极点配置：通过反馈增益矩阵K的设计，将加入状态反馈后的闭环系统的极点配置在S平面期望的位置上。,二、极点配置,定理5-4
6、：(极点配置定理) 对线性定常系统 进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意配置的充要条件是： 状态完全能控。,注意：矩阵 的特征值就是所期望的闭环极点。,1、闭环极点任意配置的条件,(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：,(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。,(4)由 确定反馈矩阵K：,该系统是状态完全能控的，通过状态反馈，可任意进行极点配置。,例1 考虑线性定常系统,其中：,试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统的极点为-2j4和-10。,解： （1）先判断该系统的能控性,由 得：,（4）确定K阵,求得：,所以状态反馈矩阵K为：,（2）计算闭环系统的特征多项式,设状
7、态反馈增益矩阵为：,（3）计算期望的特征多项式,三、状态反馈下闭环系统的镇定问题,镇定的概念：一个控制系统，如果通过反馈使系统实现渐近稳定，即闭环系统极点具有负实部，则称该系统是能镇定的。如果采用状态反馈来实现这种渐近稳定，则称系统是状态反馈能镇定的。,定理：如果线性定常系统不是状态完全能控的，则它状态能镇定的充要条件是：不能控子系统是渐近稳定的。,定理证明：,按照能控性分解：,引入状态反馈后，系统矩阵变为：,闭环系统特征多项式为：,能控部分，总可以通过状态反馈使之镇定。,5.4状态重构与状态观测器的设计,状态重构： 不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要从系统的可量测参量，如输入u
8、和输出y来估计系统状态 。 状态观测器： 状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。,状态重构： 不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要从系统的可量测参量，如输入u和输出y来估计系统状态 。,状态观测器： 状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。,如果 是状态完全能观测的，那么根据输出y的测量，可以唯一地确定系统的初始状态 ，而系统任意时刻的状态： 所以只要满足一定的条件，即可从可测量y和u中把x间接重构出来。,一、状态观测器的原理和构成,一、全维状态观测器的设计,状态观
9、测器能否起作用的关键： 观测器在任何初始条件下，都能够无误差地重构原状态。,状态观测器的存在条件：,存在性定理：线性定常系统不能观测的部分是渐近稳定的。,存在条件,由状态观测器存在性定理，可以得到以下定理： 定理5-6：线性定常系统的状态观测器极点任意配置，即具有任意逼近速度的充要条件是，原系统为状态完全能观测。,状态观测器极点配置条件和算法：,能观测标准II型：,能观测标准型下状态观测器的系统矩阵：,与输出到状态微分的反馈相似。,状态观测器的设计步骤：,1、第二能观标准型法（维数较大时，n3时，适合计算机求解）,(2)确定将原系统化为第二能观测标准型 的变换阵 。,若给定的状态方程已是能观测
10、标准型，那么 ，无需转换。,(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。,(4)直接写出在第二能观测标准型下观测器的反馈矩阵：,(5)求未变换前系统状态观测器的反馈矩阵：,(3)指定的状态观测器的特征值，写出期望的特征多项式：,(3)写出状态观测器的期望特征多项式：,2、直接法（维数较小时，n 3时）,(2)求观测器的特征多项式：,(4)由 确定状态观测器的反馈矩阵：,(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。,降维观测器出现的原因： 实际上，对于m维输出系统，就有m个变量可以通过传感器直接测量得到。如果选择该m个变量作为状态变量，则这部分变量不需要进行状态重
11、构。观测器只需要估计n-m个状态变量即可。n-m维降维观测器，或最小阶观测器 。,在n个状态中，m个状态可直接测量得到，其余n-m个状态需要借助观测器进行重构，为建立观测器，先求这部分的状态空间描述。,1、不能直接测量的n-m维子系统的状态描述,二、降维观测器,则存在非奇异变换：,则：,则：,含有y的导数项，需要消去：,消掉z和v：,仿照全维状态观测器的设计，由图写出降维观测器方程：,则误差方程为：,降维状态观测器的特征多项式为：,(5)：由下式设计降维状态观测器：,3、n-m维降维观测器的设计步骤：,(1)：求非奇异变换阵T，对系统进行结构分解。,(2)：确定降维观测器的期望多项式：,(3)
12、：求降维观测器的特征多项式：,(4)：由,5.5 带观测器状态反馈系统的综合,一、系统的结构与数学模型 状态观测器的建立，为不能直接量测的状态反馈提供了条件 构成：带有状态观测器的状态反馈系统由观测器和状态反馈两个子系统构成的组合系统。用观测器的估计状态实现反馈。如图5-18所示。,二、闭环系统的基本特性,加入反馈控制规律：,状态反馈部分的状态方程：,观测器部分的状态方程：,原系统状态空间描述为：,则经过非奇异变换后的状态空间描述为：,非奇异变换不改变系统的传递函数阵、特征值和特征多项式。,得组合系统的传递函数为：,得组合系统的特征多项式为：,解耦问题：,方法：前馈补偿器解耦；状态反馈解耦。,
13、如何将一个多变量耦合系统，解耦成多个互不相关的单变量系统的 组合。目的是使一个输入仅控制一个输出。,目的：使传递函数阵为一个对角线矩阵。,5.6 解耦控制系统的综合,一、前馈补偿器解耦,方法：在需要进行解耦的系统前串联一个补偿器，来实现解耦。,例：,有一个MIMO系统结构如图，求补偿器的传递函数阵 ，使闭环系统的传递函数为以下的解耦形式：,解：,系统结构图简化为：,由组合系统的传递函数知道系统为串联反馈混合系统，其中：,由反馈联结的组合系统的传递函数阵有：,整理上式有：,进行矩阵求逆计算：,将以上结果代入（1）式有：,故求得：,PI调节器,PI调节器,PID调节器,二、状态反馈解耦,通过状态反馈阵K和输入增益矩阵H的设计，来实现解耦。,积分器型解耦系统， 每个子系统相当于一个积分器：,1、状态反馈解耦中用到的量：,2、步骤： 1）先计算D阵，然后进行E阵计算。 2）进行可解耦性判断。E阵非奇异性则可以采用状态反馈实现解藕。 3）设计K和H，并得到积分型解耦系统。,
