《2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第十篇第3节 二项式定理 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第十篇第3节 二项式定理 （7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 3 节 二项式定理 【选题明细表】 知识点、方法题号 二项展开式的通项公式 1,3,8,9 二项式系数的性质、系数和 2,4,5,6,7,10,11,12 二项式定理的简单应用 13,14,15 基础巩固(时间:30 分钟) 1.在（x2-）n的展开式中,常数项为 15,则 n 的值可以为( D ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析:因为= (x2)n-r（-）r= (-1)rx2n-3r,所以 (-1)r=15 且 2n- 3r=0,所以 n 可能是 6.故选 D. 2.设（x-）6的展开式中 x3的系数为 A,二项式系数为 B,则等于( A ) (A)4 (B)-4 (C)
2、26 (D)-26 解析:Tk+1= x6-k（-）k= (-2)k,令 6-=3,即 k=2,所以 T3= (- 2)2x3=60x3, 所以 x3的系数为 A=60,二项式系数为 B= =15, 所以=4.故选 A. 3.(2017咸阳市二模)设 a=sin xdx,则（a+）6展开式的常数 项为( D ) (A)-20 (B)20 (C)-160 (D)240 解析:a=sin xdx=(-cos x)=-(cos -cos 0)=2, 则(a+)6=（2+）6展开式的通项公式为 Tr+1= (2)6-r（）r=26-r . 令 3-r=0 得 r=2, 所以展开式中的常数项为 24 =
3、240.故选 D. 4.已知（x2+）n的展开式的各项系数和为 32,则展开式中 x4的系数 为( D ) (A)5(B)40 (C)20 (D)10 解析:令 x=1,得 2n=32,所以 n=5,则 (x2)5-r（）r= x10-3r,令 10-3r=4,得 r=2,所以展开式中 x4的系数为 =10.故选 D. 5.若（x-）n的展开式中第 2 项与第 4 项的二项式系数相等,则直线 y=nx 与曲线 y=x2围成的封闭区域面积为( C ) (A) (B)12 (C) (D)36 解析: 由 =,Tr+1= an-rbr知 n=1+3=4,直线 y=nx=4x 与抛物线 y=x2的交点
4、的横坐标分别是 0 与 4,因此结合图形(图略)可知,所求 的封闭区域的面积等于(4x-x2)dx=（2x2-x3）|=.故选 C. 6.(2017南平市一模)(x+)(2x-)5的展开式中各项系数的和为 2,则 该展开式中常数项为( D ) (A)-40(B)-20(C)20 (D)40 解析:令 x=1 则有 1+a=2,得 a=1, 故二项式为(x+)（2x-）5, 其常数项为-22 +23=40.故选 D. 7.(2017吉林延边模拟)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则 = . 解析:通项公式 Tr+1= (-2x)r=(-2)rxr, 令 r=
5、3,则 a3=(-2)3=-80; 令 r=2,则 a2=(-2)2=40, 所以=-2. 答案:-2 8.若（+）n的展开式的第 7 项与倒数第 7 项的比是 16,则 n= . 解析:由题知,T7= ()n-6（）6, Tn+1-6=Tn-5=()6（）n-6. 由=,化简得=6-1, 所以-4=-1,所以 n=9. 答案:9 能力提升(时间:15 分钟) 9. “n=5”是“（2+）n(nN*)的展开式中含有常数项”的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:因为（2+）n(nN*)展开式的通项 Tr+1= 2n-r,（2+
6、 ）n的展开式中含有常数项时满足-=0,当 n=5 时,=0,解 得 r=3,此时含有常数项;反之,当 n=10 时,r=6,也有常数项,但是不 满足 n=5.故“n=5”是“（2+）n(nN*)的展开式中含有常数项” 的充分不必要条件.故选 A. 10.(2017福建龙岩市一模)(x-1)(x+2)6的展开式中 x4的系数为( A ) (A)100(B)15 (C)-35(D)-220 解析:由于(x+2)6的展开式的通项公式为 Tr+1= x6-r2r,令 6-r=3, r=3,(x+2)6的展开式中 x3 的系数为 8 =160;令 6-r=4,r=2,可得 (x+2)6的展开式中 x4
7、的系数为-4 ,所以(x-1)(x+2)6的展开式中 x4 的系数为 8 -4 =160-60=100.故选 A. 11.(2017陕西渭南市一模)已知 f(x)=x+在区间1,4上的最小值 为 n,则二项式（x-）n展开式中 x2的系数为 . 解析:f(x)=1-=,x1,4. 令 f(x)=0,解得 x=3. 所以 x1,3时,函数 f(x)单调递减; x(3,4时,函数 f(x)单调递增. 所以 x=3 时,函数 f(x)取得最小值 6.所以（x-）6的通项公式 Tr+1= x6-r（-）r=(-1)rx6-2r, 令 6-2r=2,解得 r=2,所以二项式（x-）n展开式中 x2的系数
8、为 =15. 答案:15 12.如果(1+x+x2)(x-a)5(a 为实常数)的展开式中所有项的系数和为 0,则 展开式中含 x4项的系数为 . 解析:因为(1+x+x2)(x-a)5的展开式所有项的系数和为(1+1+12) (1-a)5=0,所以 a=1, 所以(1+x+x2)(x-a)5=(1+x+x2)(x-1)5 =(x3-1)(x-1)4 =x3(x-1)4-(x-1)4, 其展开式中含 x4项的系数为 (-1)3- (-1)0=-5. 答案:-5 13.已知（-）n(nN*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数 的比是 101. (1)求展开式中各项系数的和; (2)求展开式中含
9、 的项. 解:由题意知,第五项系数为 (-2)4, 第三项的系数为 (-2)2,则有=,化简得 n2-5n-24=0,解得 n=8 或 n=-3(舍去). (1)令 x=1 得各项系数的和为(1-2)8=1. (2)通项公式 Tr+1= ()8-r（-）r= (-2)r.令-2r=,得 r=1,故展开式中含 的项为 T2=-16 . 14.(2017海南三亚模拟)已知 fn(x)=(1+x)n. (1)若 f2 017(x)=a0+a1x+a2 017x2 017,求 a1+a3+a2 015+a2 017的值; (2)若 g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),求 g(x)中含 x
10、6项的系数. 解:(1)因为 fn(x)=(1+x)n, 所以 f2 017(x)=(1+x)2 017, 又 f2 017(x)=a0+a1x+a2 017x2 017, 所以 f2 017(1)=a0+a1+a2 017=22 017, f2 017(-1)=a0-a1+a2 016-a2 017=0, -得 2(a1+a3+a2 015+a2 017)=22 017, 所以 a1+a3+a2 015+a2 017=22 016. (2)因为 g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x), 所以 g(x)=(1+x)6+2(1+x)7+3(1+x)8. g(x)中含 x6项的系数为 +
11、2 +3 =99. 15.(2017湖北武汉模拟)已知（+2x）n. (1)若展开式中第 5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列, 求展开式中二项式系数最大的项的系数; (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大 的项. 解:(1)因为 + =2 ,所以 n2-21n+98=0. 所以 n=7 或 n=14, 当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4和 T5. 所以 T4的系数为 （）423=, T5的系数为 （）324=70, 当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8. 所以 T8的系数为（）727=3 432. (2)因为 + + =79,所以 n2+n-156=0. 所以 n=12 或 n=-13(舍去). 设 Tk+1项的系数最大, 因为（+2x）12=（）12(1+4x)12, 所以所以 9.4k10.4, 所以 k=10. 所以展开式中系数最大的项为 T11, T11=（）2210x10=16 896x10.
