《2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第7节 第二课时 最值、范围、证明专题 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第7节 第二课时 最值、范围、证明专题 （10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二课时最值、范围、证明专题【选题明细表】知识点、方法题号最值问题1,3,5范围问题2证明问题4,6,71.(2017鹰潭市一模)设椭圆C1:+=1(ab0),长轴的右端点与抛物线C2:y2=8x的焦点F重合,且椭圆C1的离心率是.(1)求椭圆C1的标准方程;(2)过F作直线l交抛物线C2于A,B两点,过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C,求ABC面积的最小值,以及取到最小值时直线l的方程.解:(1)因为椭圆C1: +=1(ab0),长轴的右端点与抛物线C2:y2=8x的焦点F(2,0)重合,所以a=2.又因为椭圆C1的离心率是,所以c=,所以b=1,所以椭圆C1的标准方程为+y2=1
2、.(2)过点F(2,0)的直线l的方程设为x=my+2,设A(x1,y1),B(x2,y2).联立得y2-8my-16=0,所以y1+y2=8m,y1y2=-16,所以|AB|=8(1+m2).过F且与直线l垂直的直线设为y=-m(x-2),联立得(1+4m2)x2-16m2x+16m2-4=0,所以xC2=,所以xC=,所以|CF|=|xC-xF|=,ABC面积S=|AB|CF|=.令=t1,则S=f(t)=,f(t)=,令f(t)=0,则t2=0(舍去)或t2=,即1+m2=时,ABC面积最小.即当m=时,ABC面积的最小值为9,此时直线l的方程为x=y+2.2.(2017赣州市、吉安市、
3、抚州市七校联考)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率e=,右顶点、上顶点分别为A,B,直线AB被圆O:x2+y2=1截得的弦长为.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点B且斜率为k的动直线l与椭圆C的另一个交点为M,=(+),若点N在圆O上,求正实数的取值范围.解:(1)由e=,得e2=,所以a=2b,所以直线AB的方程为+=1,即x+2y-2b=0.由题意知圆心O(0,0)到直线AB的距离为d=,得b=1,椭圆C的方程为+y2=1.(2)设点M的坐标为(x0,y0)(x00),则点N的坐标为(x0,(y0+1),所以2+(y0+1)2=1,得2=.又+=1,所以2=,y0(-1,1),所以-3+
4、2y0+5=-3(y0-)2+(0,得2,所以正实数的取值范围是,+).3.(2017桂林市、崇左市联合调研)已知点B(1,0),A是圆C:(x+1)2+y2=20上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M(0,),N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求MPQ面积的最大值.解:(1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=22=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2,所以a2=5,b2=4,动点P的轨迹C1的方程为+=1.(2)设N(t,t2),P(x1,y1)
5、,Q(x2,y2),则切线的斜率k=y=2t,所以PQ的方程为y-t2=2t(x-t)y=2tx-t2.联立方程组消去y整理得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0.有而|PQ|=|x1-x2|=,PQ边上的高就是点M到直线PQ的距离h=,由SMPQ=|PQ|h代入化简得SMPQ=,当且仅当t2=10时,SMPQ可取最大值.4.(2017保定市一模)已知椭圆T:+=1(ab0)的一个顶点A(0,1),离心率e=,圆C:x2+y2=4,从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM,PN.(1)求椭圆T的方程;(2)求证:PMPN.(1)解:由题意可知b=1, =,得a2=3,椭圆的方程为
6、+y2=1.(2)证明:法一当P点横坐标为时,纵坐标为1,PM斜率不存在,PN斜率为0,PMPN.当P点横坐标不为时,设P(x0,y0),则+=4,设kPM=k,PM的方程为y-y0=k(x-x0),联立方程组消去y得(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3k2-6kx0y0+3-3=0,依题意=36k2(y0-kx0)2-4(1+3k2)(3k2-6kx0y0+3-3)=0,化简得(3-)k2+2x0y0k+1-=0,又kPM,kPN为方程的两根,所以kPMkPN=-1.所以 PMPN.综上知PMPN.法二当P点横坐标为时,纵坐标为1,PM斜率不存在,PN斜率为0,PMPN.当P点横坐
7、标不为时,设P(2cos ,2sin ),切线方程为y-2sin =k(x-2cos ),联立得(1+3k2)x2+12k(sin -kcos )x+12(sin -kcos )2-3=0,令=0,即=144k2(sin -kcos )2-4(1+3k2)12(sin -kcos )2-3=0,化简得(3-4cos2)k2+4sin 2k+1-4sin2=0,kPMkPN=-1.所以 PMPN.综上知PMPN.5.(2017遵义市联考)如图,已知椭圆C的方程为+=1(ab0),双曲线-=1的两条渐近线为l1,l2.过椭圆C的右焦点F作直线l,使ll1.设直线l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A
8、,B,直线l与直线l2交于P点.(1)若l1与l2的夹角为60,且双曲线的焦距为4,求椭圆C的方程;(2)求的最大值.解:(1)因为双曲线方程为-=1,所以双曲线的渐近线方程为y=x,因为两渐近线的夹角为60且b0)的焦距为2,离心率为.(1)求椭圆E的方程;(2)设P是椭圆E上在第一象限内的点,如图,点P关于原点O的对称点为A,关于x轴的对称点为Q,线段PQ与x轴交于点C,点D为线段CQ的中点,直线AD与椭圆E的另一个交点为B,证明:点P在以AB为直径的圆上.(1)解:由题意可知2c=2,所以c=.又=,所以a=2.b2=a2-c2=1.所以椭圆E的方程为+y2=1,(2)证明:设P(x0,y0),B(x1,y1),则A(-x0,-y0),C(x0,0),Q(x0,-y0),所以有D(x0,- y0),kAD=,所以直线AD的方程为y=(x+x0)-y0.由消去y并整理得(4+)x2-6x0x+9-16=0,所以x1+(-x0)=x1-x0=,即x1=+x0.而y1=(x1+x0)-y0,所以y1=(+2x0)-y0=.所以kPB=-.而kPA=.所以kPAkPB=-1,故PAPB.所以点P在以AB为直径的圆上.
