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1、第三章 求和运算,3.1 求和公式的性质 3.2 和式求界,3.1 求和公式的性质,有限和： （求和序数为非整数时默认为其底函数） 无穷和： 即 发散、收敛、绝对收敛,3.1 求和公式的性质,线性性质 （对无穷收敛级数也成立）,3.1 求和公式的性质,算术级数 几何级数 无穷下降几何级数： （|x| 1 ） 积分级数与微分级数,3.1 求和公式的性质,调和级数 套叠级数 和 例：,3.1 求和公式的性质,积,3.2 和式求界,数学归纳法 例：证明 的界是0(3n). 即证明存在常数c满足： n=0 时 c1即可。 假设界对n成立，则n+1时： 只需(1/3 + 1/c) 1 即 c 3/2 即
2、可。,3.2 和式求界,数学归纳法（续） 反例：证明 n=1 时 显然成立。 假设界对n成立，则n+1时：,原因：被O隐藏的常数随n增长，不再是是常数。,3.2 和式求界,对项限界 最大项限界 对级数 设 则：,3.2 和式求界,对项限界（续） 几何级数限界 给定级数 ，设对所有k 0，有ak+1/ak r (r1为常数) 则：ak a0rk 例：可对 求界。 而不能求 的界。,3.2 和式求界,分解和式 例： 利用和式分解：,3.2 和式求界,分解和式（续） 若和式 中的各项ak独立于n，即对任意常量k00，满足： （即可忽略初始的几项）,3.2 和式求界,分解和式（续） 例：求 的界 当n 3时有： 故：,3.2 和式求界,分解和式（续） 例（更复杂）：求 的界 思路：把域1到n分解成 lg n 段，每段上界为1,3.2 和式求界,积分近似公式（续） 对单调增函数：,3.2 和式求界,积分近似公式（续）,3.2 和式求界,积分近似公式（续） 可看出对单调增函数： 同理对单调减函数：,3.2 和式求界,积分近似公式（续） 例：调和函数的紧确界：,作业,证明 由一个常数从上方限界。,The End,Thank you!,
