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1、第六章第六章 不不 等等 式式 第 1 1 课时 一元二次不等式及其解法 一、 填空题 1. 函数 f(x)的定义域为_ 32xx2 答案：3，1 解析：由 32xx20，解得3x1. 2. 不等式0 的解集是 _ x5 x1 答案：(，5(1，) 解析：由0，得(x5)(x1)0 且 x10，解得 x5 或 x1. x5 x1 3. 不等式 2x2x0 时，f(x)x24x，则不等式 f(x)x 的 解集用区间表示为_ 答案：(5，0)(5，) 解析：由已知得 f(0)0，当 xx 等价于或解得 x5 或 x24x，x 0， x24x，x x) x x，) 52，因此 x0. 解：原不等式等
2、价于(ax2)(x2)0，以下分情况进行讨论： (1) 当 a0 时，x0 时，(x2)0，考虑 22的正负： (x 2 a) 2 a 1a a 当 02，故 x ； 2 a 2 a 当 a1 时， 2，故 x2； 2 a 当 a1 时， 2. 2 a 2 a 综上所述，当 a0 知 g(m)在2，2上为增函数，则由题意只需 g(2)0 所表示的平面区域内，则 m 的取值范围是 _ 答案：(1，) 解析：由 2m350，得 m1. 2. 不等式组所表示的平面区域的面积为 _. y x2， y x1， y 0 ) 答案： 1 4 解析：作出不等式组对应的区域为BCD，由题意知 xB1，xC2.由
3、得 yx2， yx1， ) yD ，所以 SBCD (xCxB) . 1 2 1 2 1 2 1 4 3. 若实数 x，y 满足则 z3x2y 的最大值为_ 2xy 4， x3y 7， x 0， y 0， ) 答案：7 解析：由约束条件作出可行域，可知当过点(1，2)时 z3x2y 的最大值为 7. 4. 已知不等式组所表示的平面区域为 D.若直线 ykx3 与平面区域 xy 1， xy 1， y 0 ) D 有公共点，则 k 的取值范围是_ 答案：(，33，) 解析：依据线性约束条件作出可行域如图阴影部分所示，注意到 ykx3 过定点 (0，3)， 斜率的两个端点值为3，3，两斜率之间存在斜
4、率不存在的情况， k 的 取值范围为(，33，) 5. 若 x，y 满足约束条件则 z3x4y 的最小值为_ xy 0， xy2 0， y 0， ) 答案：1 解析：目标函数即 y x z，其中 z 表示斜率为 k 的直线系与可行域有交点时直 3 4 1 4 3 4 线的截距值的 ，截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点 1 4 A(1，1)处取得最小值 z3x4y1. 6. 已知实数 x，y 满足，如果目标函数 zxy 的最小值为1，则实数 y 1， y 2x1 xy m.) m_ 答案：5 解析：画出可行域便知，当直线 xyz0 通过直线 y2x1 与 xym 的交点
5、时，函数 zxy 取得最小值， ( m1 3 ，2m1 3 ) 1，解得 m5. m1 3 2m1 3 7. 若变量 x，y 满足则 x2y2的最大值是_ xy 2， 2x3y 9， x 0， ) 答案：10 解析：可行域如图所示， 设 zx2y2，联立得由图可知，当圆 x2y2z 过点 xy2， 2x3y9，) x3， y1，) (3，1)时，z 取得最大值，即(x2y2)max32(1)210. 8. 若 x，y 满足约束条件目标函数 zax2y 仅在点(1，0)处取得最 xy 1， xy 1， 2xy 2，) 小值，则实数 a 的取值范围是_ 答案：(4，2) 解析：可行域为ABC，如图
6、，当 a0 时，显然成立当 a0 时，直线 ax2yz0 的斜率 k kAC1，a2.当 a0 时，k kAB2， a4. a 2 a 2 综合得4a2. 9. 某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原 料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为_万元 甲乙原料限额 A(吨) 3212 B(吨) 128 答案：18 解析：设每天甲、乙的产量分别为 x 吨，y 吨，由已知可得 3x2y 12， x2y 8， x 0， y 0， ) 目标函数 z3x4y， 线性约束条件表示的可行
7、域如图阴影部分所示： 可得目标函数在点 A 处取到最大值 由得 A(2，3)， x2y8， 3x2y12，) 则 zmax324318(万元) 10. 设 m 为实数，若(x，y)|(x，y)|x2y225，则 m 的取值 x2y5 0， 3x 0， mxy 0 范围是_ 答案：0， 4 3 解析：由题意知，可行域应在圆内，如图，如果m0，则可行域取到 x5 的点， 不在圆内，故m0，即 m0.当 mxy0 绕坐标原点旋转时，直线过 B 点时为边界位 置此时m ， m ， 0m . 4 3 4 3 4 3 二、 解答题 11. 某客运公司用 A，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务
8、，每车每天 往返一次A，B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆，公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 B 型车不 多于 A 型车 7 辆若每天运送人数不少于 900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小， 那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆？ 解：设 A 型、B 型车辆分别为 x，y 辆，相应营运成本为 z 元，则 z1 600x2 400y. 由题意，得 x，y 满足约束条件 xy 21， y x7， 36x60y 900， x 0，x N N， y 0，y N N. ) 作可行域如图所示，可行
9、域的三个顶点坐标分别为 P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6) 由图可知，当直线 z1 600x2 400y 经过可行域的点 P 时，直线 z1 600x2 400y 在 y 轴上的截距最小，即 z 取得最小值， z 2 400 故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小 12. 某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于 15 吨，已知生产 甲产品 1 吨，需煤 9 吨，电力 4 千瓦时，劳力 3 个；生产乙产品 1 吨，需煤 4 吨，电力 5 千瓦时，劳力 10 个；甲产品每吨的利润为 7 万元，乙产品每吨的利润为 12 万
10、元；但每天 用煤不超过 300 吨，电力不超过 200 千瓦时，劳力只有 300 个问每天生产甲、乙两种产 品各多少吨，才能使利润总额达到最大？ 解：设每天生产甲、乙两种产品分别为 x 吨、y 吨，利润总额为 z 万元， 则线性约束条件为目标函数为 z7x12y，作出可行域如图， 9x4y 300， 4x5y 200， 3x10y 300， x 15， y 15， ) 作出一组平行直线 7x12yt，当直线经过直线 4x5y200 和直线 3x10y300 的交点 A(20，24)时，利润最大，即生产甲、乙两种产品分别为 20 吨、24 吨时，利润总额 最大，zmax7201224428(万元
11、) 答：每天生产甲产品 20 吨、乙产品 24 吨，才能使利润总额达到最大 13. 变量 x，y 满足 x4y3 0， 3x5y25 0， x 1. ) (1) 设 z ，求 z 的最小值； y x (2) 设 zx2y2，求 z 的取值范围； (3) 设 zx2y26x4y13，求 z 的取值范围 解：由约束条件作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示 x4y3 0， 3x5y25 0， x 1， ) 由 x1， 3x5y250，) 解得 A. (1， 22 5) 由解得 C(1，1) x1， x4y30，) 由解得 B(5，2) x4y30， 3x5y250，) (1) z ， y x y0
12、 x0 z 的值是可行域中的点与原点 O 连线的斜率观察图形可知 zminkOB . 2 5 (2) zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方结合图形可知，可 行域上的点到原点的距离中， dmin|OC|，dmax|OB|， 229 故 z 的取值范围是2，29 (3) zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到点 (3，2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3，2)的距离中， dmin1(3)4， dmax8， （35）2（22）2 故 z 的取值范围是16，64第 3 3 课时 基本不等式 一、 填空题 1. 已知 x ，则函数 y4x的
13、最小值为_ 5 4 1 4x5 答案：7 解析：y4x(4x5)5257.当且仅当 4x5，即 x 1 4x5 1 4x5 1 4x5 时取等号 3 2 2. 设 x1，则函数 y的最小值为_ （x5）（x2） x1 答案：9 解析：因为 x1，所以 x10.设 x1z0，则 xz1，所以 y z 5259，当且仅当 z2，即 x1 时取 （z4）（z1） z z25z4 z 4 z z4 z 等号，所以当 x1 时，函数 y 有最小值 9. 3. 若实数 a，b 满足 ，则 ab 的最小值为_ 1 a 2 bab 答案：2 2 解析：依题意知 a0，b0，则 2，当且仅当 ，即 b2a 时等
14、号 1 a 2 b 2 ab 2 2 ab 1 a 2 b 成立因为 ，所以，即 ab2，所以 ab 的最小值为 2. 1 a 2 babab 2 2 ab22 4. 已知正实数 x，y 满足 xy2xy4，则 xy 的最小值为_ 答案：23 6 解析：由 xy2xy4，解得 y，则 xyx2(x1) 42x x1 6 x1 323，当且仅当 x1，即 x1 时等号成立所以 xy 的最小 6 x16 6 x16 值为 23. 6 5. 已知正实数 x，y 满足(x1)(y1)16，则 xy 的最小值为_ 答案：8 解析：由题知 x1，从而 xy(y1)28，当且仅当 y1 16 y1 16 y116 ，即 y3 时取等号所
