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1、本章将重点阐述静水压强的特性、等压面的应用、静水压强的分布规律及对各种形状壁面作用力（静水总压力）的计算方法。 静止是相对于坐标系而言的，不论相对于惯性系或非惯性系静止的情况，流体质点之间肯定没有相对运动，这意味着粘性将不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流体是实际流体或理想流体。,第二章 水静力学,第二章 水静力学,2-1静水压强及其特性 2-2重力作用下静水压强的分布规律 2-3压强的计算基准和量度单位 2-4测量压强的仪器 2-5静水压强分布图 2-6作用在平面壁上的静水总压力 2-7作用在曲面壁上的静水总压力 2-8液体的平衡微分方程 2-9重力和惯性力联合作用下液体的相对平衡,第二
2、章 水静力学,一、压强的定义：,单位面积上所受的压力,公式,二、静水压强的特性,第一特性：静水压强垂直于作用面，并指向作用面。,平均压强,点压强,单位：N/m2 （Pa）,2-1 静水压强及其特性,证明：取一处于静止或相对平衡的某一液体,P,静水压强的方向与作用面的内法线方向重合， 静水压强是一种 。,压应力,第二章 水静力学,第二特性：某一点静水压强的大小与作用面的 方向无关。,第二章 水静力学,相应面上的总压力为,第二章 水静力学,C,B,C,B,四面体的体积D V为,总质量力在三个坐标方向的投影为,第二章 水静力学,C,B,按照平衡条件，所有作用于微小四面体上 的外力在各坐标轴上投影的代
3、数和应分别为零,第一式中,第二章 水静力学,C,B,代入第一式,则：,整理后,有,当四面体无限缩小到A点时，,0,因此：,同理，我们可以推出：,第二章 水静力学,这样我们可以得到：,上式表明任一点的静水压强 p是各向等值的，与作用面的方位无关。第二特性得到证明,第二章 水静力学,2-2重力作用下静水压强的分布规律,2.2.1水静力学基本方程,第二章 水静力学,周围静止液体对圆柱体的表面力：,侧面压力，,（无轴向分力）,端面压力P1、P2，,沿轴向平衡：,静止液体中，任意倾斜微小圆柱体，质量力和表面力共同作用下的轴向平衡：,沿轴向平衡：,若上下端面压强为：,任意,静止液体中任意两点的压强差等于深
4、度差乘以重度,对静止液体内某一点的压强，如右图，设液体表面压强为p0，均质液体重度为，该点液面以下水深为h，则可得出静水压强方程式：,静水压强基本方程式,P0,h,例25 水池，,求A、B、C、D点压强,压强的作用方向，只能是压力，沿内法线方向。,第2章 水静力学,如右图，设水箱的水面压强为p0，水中1、2点到任选基准面O-O的高度为z1、z2，压强为p1、p2，则可得出：,即,2.2.2 水静力学基本方程另一表达形式及意义,静止液体内任何一点的测压管水头等于常数，即z+p/C z位置高度（位置水头）， p/测压管高度（压强水头） z+p/测压管水头,静水压强方程式的意义,物理意义 仅在重力作
5、用下，静止液体内任何一点对同一基准面的单位势能为一常数。 即： 单位位能： 单位压能: 单位重量的液体在某点所具有的总势能，简称单位全势能：,几何意义,2.2.3 等压面,在静止液体中，凡是静水压强相等的那些点组成的面，称为等压面。 （1）在连通的同种的静止液体中，水平面必定是等压面。 （2）静止液体的自由液面是一个水平面。 （3）两种液体的分界面是水平面。 成立条件：静止、连通及均质同种液体,不满足 静止、同种、连续条件的液体，水平面是等压面的结论不成立。,输油管道，每隔一段距离要设加压站。,a，b，c 压强不同,例22 重度 ga 和 gb 的两种液体,gb =9810N/m3,解 自由面
6、压强等于大气压强,静止液体任意边界上的压强变化，等值的传递到其他各点（只要静止不被破坏）帕斯卡定律,水压机，液压传动，水利闸门等广泛应用。, 2-3压强的计算基准和量度单位,2.3.1 压强的两种计算基准,绝对压强：数值是以“完全真空”为零（基准）算起的。用Pabs表示。,相对压强：在实际工作中，一般建筑物表面均作用着大气压强，这种以当地大气压强为零算起的压强为相对压强。用P表示。,也称为静水全压强。,也叫计算压强,或称表压，用公式表示：,第二章 水静力学,如果自由表面压强 与当地大气压强 相等,则,也称静水超压强或重量压强,绝对压强永远为正值，最小值为零。,相对压强可正可负，当PabsPa时
7、，相对压强P0,工程上把负的相对压强叫做“真空”,几种压强的关系可表示为：,PabsPa,PabsPa,第二章 水静力学,2.3.2 压强的三种度量单位,用单位面积上的力表示。如：牛顿/米2 （N/m2)，以Pa表示；千牛顿/米2 (KN/m2) 等。,用工程大气压表示。 如： 一个工程大气压=98 KN/m2=9.8 N/cm2 =9.8104Pa,用液柱高度表示。,可写成,对于任一点的静水压强 可以用上式化为对任何一种密度为 的液柱高度。,如：水柱mmH2O、汞柱mmHg等,第二章 水静力学,2-4测量压强的仪器,1、方法,因而，在任一平面的作用面上，其压强分布为一直线。只要算出作用面最上
8、和最下两个点的压强后，即可定出整个压强的分布线。,2、原则,每一点处的压强垂直于该点处的作用面；, 静水压强的大小随着距自由面的深度而增加。,另外：对实际工程有用的是相对压强的图示。如欲绘制绝对压强分布图，则将常量 附加上即可。,第二章 水静力学,2-5 静水压强分布图,例1,ABC 即为相对压强分布图,ABED 即为绝对压强分布图,例2,叠加后余下的红色梯形区域即为静水压强分布图,第二章 水静力学,例3,为一折面的静水压强分布图,先做,再做,则ADEC即为所求压强分布图,第二章 水静力学,例5,右图为一弧形闸门,各点的压强只能逐点计算，且沿半径方向指向圆弧的圆心。,注：,只是要把静水压强的箭
9、头倒转过来即可，并且负的静水压强上大下小，也可以把相对压强改成绝对压强再按上述方法绘制,以上讨论的是P0的例子,对于P0的情况，可同样绘制。,第二章 水静力学,2-6作用在平面壁上的静水总压力,概述：,对于一个平面作用面，静水总压力的作用方向必然垂直地压向这个作用面。需要解决的问题是它的大小和作用点。,方法分有解析法和图解法。,一、解析法：是根据力学和数学的分析方法，来求平面上静水总压力的一般计算公式。,1、总压力的大小和方向,第二章 水静力学,dA上的压力为,Pc为受压面形心的相对压强,形心点上的压强亦即是整个平面上的平均压强,静水总压力的方向是沿着受压面的内法线方向,第二章 水静力学,yD
10、,2、总压力的作用点,静水总压力在平面上的作用点叫做压力中心。,压力中心的位置必然低于形心的位置，只有当平面呈水平时，总压力的作用点才与面积的形心相重合。,设：,压力中心为D,它在水面下的深度为hD,利用力学定理（合力对任一轴的力矩等于各分力对该轴力矩的代数和）,得：,对OX轴,第二章 水静力学,即：,同时，根据惯性矩的平行移轴定理。,有：,于是：,永远大于零,第二章 水静力学,这说明压力中心D总是在平面形心之下,D点与C点在y方向上的距离为：,在实际工程中，受压面多是左右对称的，即总压力的作用点必位于对称轴上，因而，只需求出压力中心在Y方向的位置就可以了。,第二章 水静力学,几种常见平面的J
11、c及形心点位置的计算式,(式中 ),第二章 水静力学,二、图解法,采用图解法时，须先绘出压强分布图，然后根据压强分布图形计算总压力。,总压力为：,所以；平面上静水总压力的大小等于作用在平面上的压强分布图的体积。,=,1、求大小,第二章 水静力学,总压力的作用线通过压强分布图形体积的形心，压向被作用平面。,2、求作用点,对于矩形平板，静水总压力的作用点可由三角形压强分布图形面积的形心定出。,第二章 水静力学,已知闸门直径d=0.5m，距离a=1.0m，闸门与自由水面间的倾斜角=600，水为淡水。,解：,、求总压力,第二章 水静力学,设总压力的作用点沿斜面距水面为yD,则：,（米）,第二章 水静力
12、学,问 题：,作用在自由面上的压强 p0 所形成的压力P0的压力中心在何处？,答：,力P0 的压力中心和平面的形心点C重合，这是因为压强p0在平面上均匀分布的缘故。,第二章 水静力学,例题：,输水水管道在试压时，压强表的读数为10atm，管道直径d=1.0m，求作用在管端法兰堵头上的静水总压力及作用点。,设法兰堵头上静水压强均匀分布,所以堵头上的总压力,作用点通过堵头的中心C点,第二章 水静力学,总压力：,作用点：,第二章 水静力学,比较两种计算方法的结果：,、总压力的相对误差：,、作用点距离误差：,比较结果：,在工程上，方法1计算完全可满足要求。,第二章 水静力学,2-7作用在曲面壁上的静水
13、总压力,一、静水压强的水平分力和垂直分力,将曲面看作无数微小面积所组成，而作用在每一微小面积上的压力可分解成水平分力和垂直分力，这样就把求曲面总压力的问题也变成求Px和Pz的合力的问题。,而：,则：,其中：h(dA)z为平面(dA)z对水平轴oy的静矩。,所以：,第二章 水静力学,同理：,Pz就等于压力体的水重。,当液体与压力体位于曲面的同侧时，pz向下，称为实压力体。,当液体与压力体位于曲面的两侧时，pz向上，称为虚压力体。,第二章 水静力学,二、总压力的作用点,Px的作用线通过压力中心，Pz的作用线通过压力体的重心。,合力P的作用线与曲面的交点即为作用点。,注意：,Px与Pz的交点不一定落
14、在曲面上。,压力体由以下部分围成：,曲面本身,自曲面边缘向自由液面或其延长面作垂直面。,自由液面或其延长面。,第二章 水静力学,第二章 水静力学,例：,如图为一园柱形闸门。半径R=2水深H=R=2m.求作用在闸门AB上的静水总压力和方向。（闸门长度按单宽计）,解：总压力必然通过圆心。,= 9800222=19600N,Pz =gV=g（1/4）R21,= 9800(1/4)221=30800N,tg=Pz/Px=30800/19600=1.57 =57.5,第二章 水静力学,2-8 液体平衡微分方程,第二章 水静力学,A点的压强为一函数p（x,y,z),泰勒级数展开式为：,运用泰勒级数将p(x
15、,y,z)展开，并忽略二阶以上微量,M点的压强？,坐标,第二章 水静力学,N点压强为：,则：M点压强为：,六面体左右两面的表面力为：,第二章 水静力学,另外作用在微小六面体上的质量力在X轴向的分量为：,根据平衡条件上述各力在X轴上的投影应为零，即：,整理得：,同理，在x,y方向上可得：,第二章 水静力学,上式为液体平衡微分方程。,又称欧拉平衡微分方程,第二章 水静力学,依次乘以dx,dy,dz后相加得：,改写成全微分的形式就是液体平衡微分方程,就是说，静水压强的分布规律完全是由单位 质量力决定的。,第二章 水静力学,也是函数U（x,y,z)的全微分即：,则函数U（x,y,z)的全微分为：,由此得：,满足上式的函数U（x,y,z)称为力函数或力的势函数，具有这种势函数的质量力称为有势的力。,由此可见： 液体只在有势的质量力作用下才能平衡,第二章 水静力学,等压面：液体中各点压强相等的面。,在等压面上p=常数，即dp=dU=0，而0故dU=0 即U=常数，等压面即等势面。,等压面的重要特性：等压面恒与质量力正交。证明之,在等压面上,式中dx、dy、dz可设想为液体质点在等压面上的任意微小位移 ds在相应坐标轴上的投影。,质量力作的微功为零，而质量力和ds都不为零，所以等压面与质量力必然正交。,第二章 水静力学
