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1、.专题三 数学建模与实际应用知识概要我们把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构，称为数学模型。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。初中数学常见的数学模型有：依据相等（或不等）关系抽象成方程（或不等式）模型，以解决利息和税率、百分率、工程及劳力调配等问题；有依据平面几何性质抽象成的几何模型，以解决零件加工、残轮修复、工程选点、道路设计及飞轮、皮带、拱桥等计算的问题；有关测量、航海、机翼、渠坝坡比、燕尾槽、屋架的计算等应用问题可建立三角函数模型予以解决；还可以建立直角坐标系模型，以解决投物、射击、喷灌等物体运动的轨迹有某种规
2、律，或者变量的变化具有某种函数关系的实际问题；在市场经济大潮中，人们更加注重对普遍存在的诸如造价成本最低、产出利润最大，风险决策、股市、期货、开源节流、扭亏增盈、最优化等问题的研究，可透过实际问题的背景，抓住本质，挖掘隐含的数量关系，抽象成函数最值模型等。范例解析【例1】在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量，三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：二环路车流量每小时为10000辆；乙同学说：四环路比三环路车流量每小时多2000辆；丙同学说：三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍。请你根据他们所提供的信息，求出高
3、峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？ 【解析】 此题已知三个常量之间的关系，通过建立方程模型来解决。在建立方程模型时，应注意寻找问题中的已知量、未知量之间的等量关系来建立方程。解：设高峰时段三环路的车流量为每小时x辆，则高峰时段四环路的车流量为每小时(x+2000)辆。根据题意，得3x-(x+2000)=210000。解这个方程，得x=11000。故x+2000=13000。答：高峰时段三环路、四环路的车流量分别为每小时11000辆和13000辆。【例2】 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，
4、价格每提高1元，平均每天少销售3箱。（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。QM PA O 4.5米 B小敏 灯柱 小丽55（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【解析 】（1）y=903（x50） 化简，得y=3x240（2）w=（x40）（3x240）= 3x2360x9600（3）w=3x2360x9600= 3（x60）21125a=30抛物线开口向下.当x=60时，w有最大值，又x60，w随x的增大而增大， 当x=55时， w的最大值为1125
5、元，当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润1125元的最大利润【例3】如图点P表示广场上的一盏照明灯。QE DFM PC A O 4.5米 B小敏 灯柱 小丽55（1）请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子（用线段表示）；（2）若小丽到灯柱MO的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离；结果精确到0.1米；参考数据：tan551.428，sin550.819，cos550.574。【解析】（1）如图，线段AC是小敏的影子。（2）过点Q作QEMO于E，过点P作PFAB于F，交EQ于点D， 则PFEQ。 在RtPDQ中， PQD=55
6、，DQ=EQED=4.51.5=3（米）。tan55=,PD=3 tan554.3（米）DF=QB=1.6米 .PF=PDDF=4.31.6=5.9（米）。答：照明灯到地面的距离为5.9米。【例4】(2006年东营市中考题)某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：测试项目测试成绩/分甲乙丙笔试758090面试937068甲：25%丙：35%乙：40%根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如扇形统计图所示，每得一票记作1分 (1) 请算出三人的民主评议得分
7、； (2) 如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用（精确到0.01分）？ (3) 根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按433的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？【解析】（1）甲的民主评议得分为：200 25%=50(分)，乙的民主评议得分为：200 40%=80(分)，丙的民主评议得分为：200 35%=70(分)。（2）甲的平均成绩为：(分)， 乙的平均成绩为：(分)，丙的平均成绩为：(分).由于76.677672.67, 所以候选人乙将被录用 （3）如果将理论考试、面试、民主评议三项测试得分按433的比例确定个人成绩，那么甲的个人成绩为：(分)，乙的个人成
8、绩为：(分)，丙的个人成绩为：(分).由于丙的个人成绩最高, 所以候选人丙将被录用【例5】（2006年菏泽市中考题）将编号依次为，的四个同样的小球放进一个不透明的袋子中，摇匀后甲、乙二人做如下游戏：每人从袋子中各摸出一个球，然后将这两个球上的数字相乘，若积为奇数，则甲获胜；若积为偶数，则乙获胜请问：这样的游戏规则对甲、乙双方公平吗？请用概率的知识说明理由【解析】这种游戏规则对甲、乙双方不公平理由：不妨设甲先摸，则甲、乙所摸得球的情况如下，开始23412 3 41 3 41 2 41 2 3甲：乙：（2）（3）（4）（2）（6）（8）（3）（6）（12） （4）（8）（12）积：总共有种情况，每
9、种情况发生的可能性相同，其中积为奇数的情况有种，积为偶数的情况有种，所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为因，所以这样的游戏规则对甲、乙双方不公平单元目标训练1. 如图，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（ ）A、一处 B、二处 C、三处 D、四处2.采石场工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在炸药爆破前转移到400米以外的安全区域；导火线燃烧速度是1厘米/秒，人离开的速度是5米/秒，至少需要导火线的长度是( )A . 70厘米 B. 75厘米 C. 79厘米 D. 80厘米 3.某商店如将进货价为8元的商品按每件10元出售
10、，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润4.某工厂生产的产品每件单价是80元，直接生产成本是60元，该工厂每月其它总开支是50000元如果该工厂计划每月至少要获得200000元利润，假定生产的全部产品都能卖出，问每月的生产量应是多少？5.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形 (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段
11、铁丝的长度；若不能，请说明理由6.在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点 C，测得C在A北偏西31的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度（参考数值：tan31，sin31）7.国家教育部规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”.为此,我州今年初中毕业生学业考试体育学科分值提高到40分,成绩记入考试总分.某中学为了了解学生体育活动情况,随机调查了720名毕业班学生,调查内容是:“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”,所得的数据制成了如
12、图9的扇形统计图和频数分布直方图.根据图示,解答下列问题:(1)若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩,选出的恰好是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少？(2)“没时间”的人数是多少？并补全频数分布直方图；(3)2008年恩施州初中毕业生约为4.3万人,按此调查,可以估计2008年全州初中毕业生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？(4)请根据以上结论谈谈你的看法.锻炼未超过1小时人数频数分布直方图原因人数不喜欢没时间其它答案与提示1. D 2. D 3. 简析设每件售价提高x元，则每件得利润(2x)元，每天销售量变为(20020x)件，所获利润y(2x)(20020x)20
13、(x4)2720故当x4时，即售价定为14元时，每天可获最大利润720元4.设每月生产x件产品，则总收入为80x，直接生产成本为60x，每月利润为80x60x5000020x50000问题转化为求不等式20x50000200000的解解得x12500(件)。5. (1) 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm 。（2）不能。6. 过点C作CDAB，垂足为D，设CDx米，在RtBCD中，CBD45，BDCDx米在RtACD中，DAC31，ADABBD（20x）米，CDx米，tanDAC， x30答：这条河的宽度为30米7. (1) 选出的恰好是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是. (2)720(1-)-120-20=400(人) “没时间”的人数是400人.( 补全频数分布直方图略) (3)4.3(1-)=3.225(万人) 2008年全州初中毕业生每天锻炼未超过1小时约有3.225万人. (4)说明:内容健康,能符合题意即可.
