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1、第七章 FIR数字滤波器设计,FIR数字滤波器的特点： 很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号理、数据传输等系统中非常重要； 极点全部在原点（永远稳定），无稳定 性问题； 任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列， 所以因果性总是满足； 无反馈运算，运算误差小。,缺点： 因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价； 无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计 公式，要借助计算机辅助设计程序完成。,本章主要讲述：,7.1 线性相位FIRDF及其特点,7.2 用窗函数法设计FIRDF,7.3 利用频率采样法设
2、计FIRDF,7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIRDF,7.5 IIR与FIR数字滤器的比较,7.1 线性相位FIRDF及其特点,传输函数 幅度特性（可为负值） 相位特性 第一类线性相位FIRDR 严格线性函数： 第二类线性相位 满足 为常数， 为起始相位,返回,系统的群时延： 群时延均为常数称为恒定群延时滤波器：,返回,回到本节,对称：,类型 1:,N为奇数，偶对称,对称中心,返回,回到本节,类型 2:,N为偶数，偶对称,对称中心,返回,回到本节,类型 3:,N为奇数，奇对称,返回,回到本节,类型 4:,N为偶数，奇对称,返回,回到本节,2 线性相位的条件,时域约束： 第一类线性相位： 其
3、中：,返回,回到本节,三角函数的恒等关系,返回,回到本节,满足上式的一组解 关于求和区间的中心奇对称 则要求 关于 偶对称,返回,回到本节,返回,回到本节,第二类线性相位： 其中：,返回,回到本节,三角函数的恒等关系,返回,回到本节,满足上式的一组解 关于求和区间的中心奇对称 则要求 关于 奇对称,返回,回到本节,偶对称,奇对称,图1 线性相位特性,返回,回到本节,（1）h(n)=h(N-n-1)，N为奇数 幅度特性为： 相位特性： 由于 偶对称，因此， 对这些频率也呈偶对称。 可实现低通、高通、带通、带阻滤波器,频率约束：,返回,回到本节,推导：,返回,回到本节,（2）h(n)=h(N-n-
4、1)，N为偶数 幅度特性： 相位特性：,返回,回到本节,证明：,返回,回到本节,幅度特性为： 相位特性： 由于 偶对称，因此 对这些频率也呈偶对称。 由于 因此，这种情况不能用于设计高通、带阻滤波器。,返回,回到本节,(3) h(n)奇对称，N为奇数，h(n)=-h(N-1-n),相位特性:,返回,回到本节,返回,回到本节,由于 点呈奇对称，所以 对这些点也奇对称。 由于 时， 相当于H（z）在 处有两个零点，不能用于 的滤波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计。,返回,回到本节,(4) h(n)奇对称，N为偶数,相位特性: 频率特性:,Hg()在=0，2 处为零，即H(z)在 z=
5、1处有零点； Hg() 在=0，2 奇对称，在=处偶对称。 不能用于低通和带阻,返回,回到本节,返回,回到本节,返回,回到本节,（3）线性相位FIRDF的零点分布特点 将 代入式 得到,返回,回到本节,如果 是H(z)的零点，其倒数 也是其零点； 因为h(n)是实序列 ，H(z)的零点必共轭成对， 和 也是其零点；,零点分别是复数、 纯虚数、实数和 单位圆上的实数,返回,回到本节,由该式可看出，若z=zi是H(z)的零点，则z=z-1i也一定是H(z)的零点。由于h(n)是实数，H(z)的零点还必须共轭成对，所以z=z*i 及 z=1/z*也必是零点。 所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的
6、共轭对，即成四出现，这种共轭对共有四种,返回,回到本节,返回,回到本节,FIR滤波器，h(n)奇对称，N为奇数，因 所以z=1，z=-1都是H(z)的单根； 对于第四种滤波器，h(n)奇对称，N为偶数，H(O)=0，所以z=1是H(z)的单根。 所以，h(n)奇对称H(0)=0 N为偶数H()=0 线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要的一种，应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类型，并在设计时遵循其约束条件。,返回,回到本节,四种线性相位FIR DF的特性： 第一种情况 ，偶、奇，四种滤波器都可设计。,第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计 高通和带阻。 第三种情况，奇、奇，只
7、能设计带通滤波器，其它滤波器 都不能设计。 第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设 计低通和带阻。 一般微分器与90相移器用3、4； 选频性滤波器用1、2。,返回,回到本节,小结:,四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。 幅度特性取决于h(n)。 设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。,返回,回到本节,7.2 窗函数设计FIRDF,设计思想 保证线性相位 逼近理想滤波器 窗口设计法（时域逼近） 频率采样法（频域逼近） 最优化设计（等波纹逼近） 一般情况下是无穷序列，需对其进行截断，即时域加窗 加窗的影
8、响 窗函数的设计,返回,本节主要讲述：,7.2.1 用窗函数法设计FIRDF的基本方法,7.2.2 窗函数法的设计性能分析,7.2.3 典型窗函数介绍,7.2.4 用窗函数法设计FIRDF的步骤及MATLAB 设计函数,返回,7.2.1 用窗函数法设计FIRDF的基本方法,具体设计步骤： （1）构造希望逼近的频率响应函数 。以低通线性相位FIRDF设计为例，一般选择 为线性相位理想低通滤波器，即 （7.2.1） （2）求出 。对 进行IFT得到,返回,回到本节,（3）加窗得到FIRDF的单位脉冲响应h(n) 式中，w(n)称为窗函数，其长度为N。 如果要求设计第一类线性相位FIRDF，则要求h
9、(n)关于 (N-1)/2点偶对称。 而hd(n)关于n=点偶对称，所以要求=(N-1)/2。同时要求w(n)关于(N-1)/2点偶对称。,返回,回到本节,例：理想低通滤波器 N=31，,返回,回到本节,7.2.2 窗函数法的设计性能分析,矩形窗函数： 其频率响应为：,返回,回到本节,理想滤波器 加窗得到的FIRDF的单位脉冲响应为 h(n)的频率响应函数,返回,回到本节,返回,回到本节,幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性与窗函数幅度特性的卷积 相位保持严格线性 因此，只需分析幅度逼近误差,返回,回到本节,返回,回到本节,卷积结果,矩形窗对理想低通幅度特性的影响,返回,回到本节,对加矩形窗处
10、理后，其频率响应的几点影响：,改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为 等于 的主瓣宽度。（决定于窗长） 通带、阻带均有纹波，纹波取决于 的旁瓣，旁瓣幅度大，纹波幅度大，与窗口长度 N无关。（决定于窗口形状） N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。 N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改变的绝对值大小和起伏的密度，当N增加时，幅值变大，起伏变密，而最大肩峰永远为8.95%，这种现象称为吉布斯（Gibbs）效应。,返回,回到本节,改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有 许多种，但要满足以下两点要求：,窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带； 相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集
11、中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。 但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。,返回,回到本节,1矩形窗（Rectangle Window）,窗函数的几个参数: 旁瓣峰值n窗函数的幅频函数 的最大旁瓣的最大值相对主瓣最大值的衰减（dB）； 过渡带宽度B用该窗函数设计的FIRDF的过渡带宽度； 阻带最小衰减s用该窗函数设计的FIRDF的阻带最小衰减。,7.2.3 典型窗函数介绍,返回,回到本节,矩形窗的四种波形如图,返回,回到本节,矩形窗函数的损耗函数曲线 主瓣宽度与N 成反比，即滤波器过渡带宽度与N 成反比，但是旁瓣峰值并不随N增大而
12、变化，,返回,回到本节,2三角窗（Bartlett Window）,单位脉冲响应： 频率响应：,其主瓣宽度为 ，第一旁瓣比主瓣低26dB。,返回,回到本节,三角窗的四种波形如图,返回,回到本节,3升余弦窗（汉宁窗: Hanning Window）,窗函数： 频率响应：,返回,回到本节,当N1，可近似为： 三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加1倍，为,返回,回到本节,汉宁窗的四种波形如图,返回,回到本节,4改进升余弦窗（哈明窗: Hamming Window）,窗函数： 频率响应：,返回,回到本节,当N1，可近似为： 是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度（对应
13、第一零点的宽度）相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在窗谱的主瓣内。,返回,回到本节,哈明窗的四种波形如图,返回,回到本节,5布莱克曼窗（Blackman Window）,窗函数: 增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加，增加N可减少过渡带 频率响应：,返回,回到本节,布莱克曼窗的四种波形如图,返回,回到本节,返回,回到本节,窗口函数的频谱 N=51，A=20lg|W()/W(0)|,四种窗函数的比较,返回,回到本节,返回,回到本节,返回,回到本节,6凯塞窗（Kaiser Window）,以上五种窗函数，滤波器的阻带衰减是固定的 不同的窗函数通过增
14、加主瓣宽度为代价来降低旁瓣。 凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。 对给定的指标，凯塞窗函数可以使滤波器阶数最小。 凯塞窗函数:,返回,回到本节,凯塞窗函数 是调整参数，可自由选择 决定主瓣宽度与 旁瓣衰减。越大，wk(n)窗越窄，其频谱的主瓣变宽，旁瓣变小。一般取 49。 =5.44 接近汉明 =8.5 接近布莱克曼 =0 为矩形,返回,回到本节,I0(x)是零阶修正贝塞尔函数 参数 控制滤波器阻带的最小衰减 通带纹波幅度近似等于阻带纹波幅度，未单独控制,返回,回到本节,图2 凯塞窗函数,图1 零阶修正贝塞尔函数,I0(x),x,0,1,返回,回到本节,返回,回到本节,返回,回到本节,六种
15、窗函数基本参数,返回,回到本节,7.2.4 用窗函数设计FIR滤波器的步骤,选择窗函数的类型和长度 根据阻带最小衰减选择窗函数的类型原则是：在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数。 根据过渡带的宽度选择窗函数的长度 按性能指标要求，构造希望频率响应函数 近似为过渡带中心频率，幅度函数衰减一半（-6dB),返回,回到本节,确定期望滤波器的单位脉冲响应 加窗得到设计结果,返回,回到本节,用窗函数设计线性相位高通FIRDF，要求通带边界频率 ，通带最大衰减 ，阻带截止频率 ，阻带最小衰减 解： 1）选择窗函数 因为阻带最小衰减 ，可选择汉宁窗、哈明窗。这里选择汉宁窗。 求N=？ 根据过渡带宽,返回,回到本节,高通，N为奇数， N=25
