新版第8章节课件

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1、1,信号从连续到离散，科技处理速度呈几何级数上升，请问运动本身是连续的还是离散的？,引言,运动归根结底是能量波动，每一个波前后都是不连续的，也不是周期的，但有相似性、循环性，频率非常高（至少达到1280MHz），人类因为无法摆脱时间的束缚，只能生活与低速空间而不能享受更多乐趣！,2,人类超越空间的办法有三种： 1.物质瞬间移动实现超越时间； 2. 提升时域下生活空间维数; 3.加装摄像头，实现时域下的空间转换状态空间法。,3,针对单输入单输出系统的经典控制理论只能揭示I/O之间的外部特性（属于两维平面描述），对于系统内部的结构特性（特别是能量变化）难以分析，所以是不完全描述。 在I/O描述的基

2、础上，引入系统内部必要的能量变化，从而较直观地反映出系统输出受输入和内部能量变化的影响。一个或多个输出（同时）是多个变量的函数，这样的数学模型称为多变量系统模型或者多输入多输出系统（MIMO）。,第8章 线性系统的状态空间分析与设计,4,MIMO变量所张成的空间称为状态空间； MIMO数学模型称为线性系统的状态空间描述。,8.1线性系统的状态空间描述 状态空间描述是现代控制理论的基础。,状态空间描述不仅适合于线性系统，也适应于时变系统、非线性系统和随机控制系统。从这个意义上来讲，状态空间描述是对系统的一种完全描述。,5,8.1.1 基本概念 1. 分析图8-1，能够描述小车行走状态的的变量有；

3、 、 、 ，以及a(t)和t，其中t是隐变量， a(t)与F(t)、v(t)、x(t)线性相关。,。,单输入单输出模型，一次只能看到一个两维平面的变化，不能同时观察到所有平面内的变化。,多余,6,如果已知外力F(t) 、x(t)和v(t)，则可以计算出任意tt0时刻系统未来的状态x(t)和v(t)，这就从简单的两维上升到三维，再考虑 t则为四维。不考虑隐含的时间变量，一个变量一维空间状态空间的“基”。,7,状态：时域内运动信息的集合，包括过去的（是现在的“因”）、现在的（是过去的 “果”；将来的“因”）和将来的（“果”）。 状态变量：独立、完全确定系统状态的一组数目最小的变量称为状态变量。 独

4、立线性无关；,2. 基本术语解释,状态或连续或离散，但因果关系是能量传递链，可显可隐却不会间断 “离散”。,时间轴,8,完全确定给定t时刻的变量组和系统在tt0时间内的输入函数，则系统在tt0的任意时刻的状态就可完全确定。 数目最小 如果状态变量数目大于该值，则必有不独立的变量；小于该值，又不足以描述系统的状态。 状态向量：由状态变量组成的矢量。 小车系统中，状态向量为,9,状态空间：由n个状态变量xi(t),(i=1,2,n)为坐标轴所张成的n维空间。状态向量 X(ti)为某一时刻状态空间中的一个点， X(t)随时间推移在状态空间中的运动轨迹，称为状态轨迹。 状态方程：描述系统状态向量与输入

5、向量之间关系的一阶微分方程或差分方程。 输出方程：,x3(t),x2(t),x1(t),0,(x1(ti), x2(ti), x3(ti),(x1(t), x2(t), x3(t),N维坐标轴都是90正交则为独立。,状态空间可以是希尔伯特空间的子空间或特例。希尔伯特空间是有限维欧几里得空间向无穷维的推广（H），欧几里得空间也是希尔伯特空间的特例。 都在时域下张成。,10,动态方程： 线性时变系统动态方程的一般形式 线性定常系统动态方程的一般形式 其中,11,12,图中，I为（nn）单位矩阵， s是拉普拉斯算子， z为单位延时算子。,对于线性定常系统A、B 、G、H 、C、D为常系数矩阵， G、

6、H形式同A、B。,13,例8-1 试确定图8-4(a)，(b)所示电路的独立状态变量。图中 分别是输入电压和输入电流， 为输出电压， 为电容器电压或电感器电流。,(a) (b),反映内部能量变化,对图（a）,14,图8-4(a)只有一个变量是独立的，状态变量只能任选其中一个。实际上，三个串并联的电容可以等效为一个电容。,图8-4(b) ，因此两者相关，电路只有两个变量是独立的，即 和 或 和 ，可以任用其中一组作为状态变量。,(a) (b),15,8.1.2 动态方程与 传递函数的关系,设初始条件为零，对线性定常系统的动态方程进行拉氏变换,线性定 常系统,：,16,系统的传递函数矩阵（简称传递

7、矩阵）定义为,17,例8-2 已知系统动态方程为,试求系统的传递函数矩阵。,18,解： 已知,故,19,8.1.3 线性定常系统动态方程的建立,8.1.3.1 根据系统物理模型建立动态方程,例8-3 试列写图示RLC电路方程，选择几组状态变量建立相应的动态方程，并就所选状态变量间的关系进行讨论。,20,解： 有明确物理意义的常用变量主要有：电流、电阻器电压、电容器的电压与电荷、电感器的电压与磁通。 根据回路电压定律,21,（1）设 ，则状态方程为,A,b,c,真正的内部变量是i,22,（3）设 ，其中 虽然也有电感电流，但物理意义不明确的，但也可以推出一组动态方程。,（2）设,23,例8-4

8、试列写图示系统的动态方程。,结论：对同一系统，状态变量的选择不具有唯一性，动态方程也不是唯一的。一般选择储能器件上的量做为状态变量。,作为输出都可直接测量,初速度0，速度是内部反映能量变化的变量,24,单输入单输出变为两输入三输出，即增加了对速度和加速度的测量点。,返回,25,例8-5 试列写电枢控制直流电动机的状态空间表达式。,电枢回路微分方程,机械旋转部分的微分方程,电磁感应公式,26,设 则,若 则 , 且,二阶 三阶,27,二阶 三阶,结论：同一系统动态方程的维数、变量、系数矩阵都不唯一。,返 回,若 则 , 且,28,8.1.3.3 由系统传递函数建立动态方程 (P.304) 从SI

9、SOS推出的结论适合MIMOS,1.实现问题 提出： 传递函数动态方程不唯一。 凡能复现同一传递函数的动态方程称为可实现模型，其物理实现也是系统的真实构造。 结论： 可以证明系统可实现的条件是：传递函数必须是真的或者严格真的，即系统分母阶数不小于分子阶数(nm)。,回 放,29,否则，自动态方程返还的传递函数可能不再是原有的结构，因为原系统存在能量自激。 bn为输入输出的前馈系数。 SISOS，若n=m，则 为非最小实现。,设SISOS,30,最小实现,最小实现：,2. 能控标准型P.304（1） 串联分解,31,-1零初值,设,则,32,设x及各阶导数均为储能元件输出，则令,33,8,14,

10、7,8,1,34,一般地,首一,35,3.能观标准型,则,对偶系统,36,前例的能观标准型为,37,4.对角线型P.307（2）、P.309（3）,同前例,求-1,38,A,b,c,推广至一般形式,39,设不相重极点 处的留数,两种画法等价,40,若G(s)含有重实极点,其结构图和动态方程为,U(s),Y(s)=,41,则系数矩阵如下约当型,状态变量的选取如结构图所示,如果另外选择状态变量则可得到块序颠倒的约当型或非约当型,42,例8-8自习。,8.1.3.2 由高阶微分方程建立动态方程,例8-6已知系统的微分方程为,，求系统动态方程的能控、观标准型。,设初始条件为零，则,能控标准型,避开繁琐

11、推导,43,能观标准型,说明：三种标准型状态变量的物理意义不太明确，可从结构图或信号流图中看到微积分关系。,44,解：,则,分母首一且最小实现,加例：已知系统微分方程为,求系统能控标准型动态方程,45,8.1.3.4 由差分方程和脉冲传递函数建立动态方程,两端取Z变换，并整理得脉冲传递函数为,首一最小实现,46,Z-1,Z-1,简记,各种标准型的G、H、C、D的格式同连续系统。,47,8.1.4 动态方程的非唯一性,对同一系统，由于状态变量选取不唯一，便有不同形式的动态方程。这些动态方程之间可以进行非奇异线性变换。设系统的状态方程为,令,则,d1=d,动态方程的非唯一性,+d1u,+du ；,

12、总可以找到非奇异的P,回 放,镜像投影,48,其传递函 数分别为,和,且,则,是否相等？,49,结论：不同的最小实现的动态方程唯一的传递函数；任何实现的传递函数动态方程不唯一。,50,思路：直接求解状态方程 几乎不可能，我们将从 解的形式寻找类推规律。,8.2 动态方程的响应,8.2.1 线性定常系统齐次状态方程的解 零输入解u(t)=0,+Bu,根据一元一阶微分方程的解,类推出,幂级数法,51,拉氏变换法,：,-1,-1,怎样确定？,零输入解,52,8.2.3 线性定常系统非齐次状态方程的解 u(t) 0，x(0) 0,：,-1：,-1,-1,零输入解,零状态解,-1,=,可以证明(P.31

13、6):,53,例8-11 设系统状态方程为,试求在,作用下状态方程的解。,解1：, :,54,-1：,-1,-1,A b,55,=-1,56,I：x(t)=1(t)，x1(0) 0， x2(0) 0，则视系统为3I2O； O： x1(t) ， x2(t)。,解2：利用信号流图求解状态方程。,57,以x2为输出的前向通路,以x1为输出的前向通路,58,-1,8.2.4 线性定常离散系统的运动分析,循环迭代可得：,离散表达式？,递推k步表达式,59,-1,传递函数矩阵与脉冲传递函数矩阵对比：,递推一步,60,8.3 线性系统的稳定性、能控性和能观性,8.3.1 能控性和能观性的定义,1. 稳定性特

14、征方程det(sI-A)=0，即sI-A =0的所有根位于左半s平面。,2能控性输入可以控制状态到达状态空间内的任意点。,例8-12,解： 不受u(t) 控制。,如果改写上式,u直接控制x2 ；通过x2间接控制x1 。,61,解：,例8-13,设系统的初始状态为零,是否可以从状态方程直接观察出能控性？,62,不能从状态方程直接观察能控性。,定义： ，如果存在无约束的分段连续控制函数u(t) ，能使系统从任意初态x(t0)转移至任意终态x(tf) ，则称该系统是状态完全能控的，简称是能控的。 只要有一个状态变量不能控，则称系统状态不完全能控，简称系统不能控。,63,y(t)反映的是x1(0) 与x2(0)的差值随时间衰变的过程，无法得到各自独立的运行状况。,3. 能观性输出可以反映状态空间内的任意状态点。,例8-14,y=x1可直接测量，而 与x1无关，所以不可能从y中间接得到x2。,例8-15,不能从状态方程直接观察能观性。,64,定义：对于任意初始时刻 t0，若能在有限时间tt0之内，根据系统的输出y(